Działania na liczbach wymiernych

Zapamiętaj!

Jeżeli dodajemy dwie liczby wymierne tego samego znaku, to znak sumy jest taki sam jak znak obydwu składników, a jej wartość bezwzględna jest sumą wartości bezwzględnych składników.
Jeżeli dodajemy dwie liczby wymierne różnych znaków, to znak sumy jest taki jak znak liczby o większej wartości bezwzględnej, a wartość bezwzględna sumy jest różnicą wartości bezwzględnych składników.

Przypomnijmy teraz, jak ustala się znak wyniku mnożenia liczb wymiernych w zależności od znaków czynników.

Przykład 1

Posiadając w banku konto, zazwyczaj mamy możliwość zaciągnięcia długu (tzw. debetu) w formie tzw. kredytu odnawialnego. Oznacza to, że jeżeli pobierzemy z konta więcej pieniędzy niż się na nim znajdowało, zaciągniemy wobec banku dług. Długi wobec banku oznaczamy za pomocą liczb ujemnych, a wpływy na konto za pomocą liczb dodatnich.
Obliczymy, jaki jest stan konta pana Kowalskiego, który posiadając na koncie $1350 zł,$ wypłacił $1800 zł$ na zakup telewizora.

1350 + (- 1800) =

1350 - 1800 = - 450

Oznacza to, że pan Kowalski aktualnie ma debet w wysokości $450 zł$ .
Obliczymy teraz stan konta pana Nowaka, który mając debet w wysokości $380 zł,$ wypłacił jeszcze $350 zł$ na opłacenie czynszu.

(- 380) + (- 350) =

- 380 - 350 = - 730

Oznacza to, że pan Nowak aktualnie ma debet w wysokości $730 zł$ .
Obliczymy stan konta pani Adamskiej, która mając debet w wysokości $1200 zł,$ wpłaciła na konto $1050 zł .$

- 1200 + 1050 = - 150

Oznacza to, że pani Adamska aktualnie ma debet w wysokości $150 zł$ .

Przykład 2

Obliczymy różnicę wysokości bezwzględnych między najwyższym szczytem w Polsce (Rysy $2499$ m n.p.m.), a największą polską depresją (w miejscowości Raczki Elbląskie, $1,8$ m p.p.m.).

RU1MwCLZcvaQk1

Zdjęcia szczytu Rysy w Tatrach i słupa geodezyjnego w miejscowości Raczki Elbląskie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2499 - (- 1,8) = 2500,8 (m)

Różnica wyskości bezwzględnych szczytu Rysy i miejscowości Raczki Elbląskie wynosi $2500,8 m$ .

iFCWNExXfe_d5e238

Ćwiczenie 1

Oblicz.

$- 2 ∙ (- 3)$
$- 15 + 35$
$- 4 ∙ (- 2) ∙ (- 5)$
$23 - 57 - 3$
$- 5 ∙ (- 3) ∙ (- 4)$
$- 11 + 24 - 17$
$10 ∙ (- 3) ∙ (- 7)$
$19 - 26 + 54$
$5 ∙ 7 ∙ (- 4)$

$6$
$20$
$- 40$
$- 37$
$- 60$
$- 4$
$210$
$47$
$- 140$

Ćwiczenie 2

R1UemnhWZwEjl1

Przeciągnij i upuść.

ujemny, dodatni

Jeżeli w mnożeniu występuje parzysta liczba ujemnych czynników, to znak iloczynu jest ...............
Jeżeli w mnożeniu występuje nieparzysta liczba ujemnych czynników to znak iloczynu jest ...............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 3

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RZfA9O6DdLWRT

Iloczyn piętnastu liczb ujemnych jest liczbą dodatnią.
Liczba przeciwna do ilorazu liczby dodatniej i ujemnej jest liczbą dodatnią.
Liczba odwrotna do kwadratu liczby ujemnej jest liczbą dodatnią.
Iloczyn kwadratów dwóch liczb o przeciwnych znakach jest liczbą ujemną.
Sześcian liczby ujemnej jest liczbą ujemną.
Iloraz sześcianów dwóch liczb o przeciwnych znakach jest liczbą ujemną.

static

Ćwiczenie 4

R1E5eE12F86ru1

Przeciągnij i upuść.

$- 4$ , $4$ , $- 12$ , $- \frac{6}{8}$ , $\frac{6}{8}$ , $64$ , - $\frac{9}{16}$ , $- 6$ , $\frac{8}{125}$ , $- 64$ , $- \frac{8}{125}$ , $6$ , $\frac{6}{15}$ , $12$ , $\frac{9}{16}$ , $- \frac{6}{15}$

a) ${(- \frac{2}{5})}^{3} =$ ............
b) ${- (- 4)}^{3} =$ ............
c) ${- (- \frac{3}{4})}^{2} =$ ............
d) $- [- (- 2)^{2}]$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

RVJr2qD43OOR01

Ustal, czy znak wyniku działania jest dodatni czy ujemny i wybierz.

ujemny, dodatni, ujemny, dodatni, ujemny, dodatni, ujemny, dodatni, dodatni, ujemny

$3 \frac{3}{8} - 3 \frac{1}{2}$ ..............
$- 4, 35 + 4 \frac{9}{20}$ ..............
$- 2,75 - (- 2 \frac{7}{25})$ ..............
$- 4 \frac{1}{3} - (- 4,3)$ ..............
$- 5, 7 + 5 \frac{3}{4}$ ..............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

RDOqLbffV9oMf1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Uporządkuj rosnąco wyniki działań.

$a = 54 ∙ (- 3,25), b = - 4,8 ∙ (- 52), c = - 3,5 ∙ 51, d = 5,2 ∙ 49$
$x = - 3,87 - 4,3, y = - 7,4 + 8, 9, z = - 5,45 - (- 3,92), t = 7, 3 - 5,87$
$k = 52,4 : (- 13,1), l = (- 13,1) : (- 52,4), m = 52,4 : (- 4), n = 52,4 : 4$

Ćwiczenie 8

Oblicz.

$0,3 + \frac{2}{3}$
$7 \frac{1}{2} - 3,4 - 2,7$
$5,34 + 15 \frac{3}{5} - 8,57$
$7,24 - 3,48 - 2, 85 - 3,1 + 9,2$
$5 \frac{3}{5} + 4 \frac{3}{4} - 1 \frac{3}{10} + 3 \frac{1}{2}$
$2 \frac{2}{3} + \frac{3}{8} - 7 - 2 \frac{2}{9} + 5 \frac{2}{5}$
$37,65 - 32 \frac{7}{20} + 4 \frac{1}{4} - 8 \frac{2}{25}$

Ćwiczenie 9

Oblicz.

$- 5 ∙ (- 1,2)$
$- 2 \frac{2}{3} · \frac{3}{4}$
$\frac{3}{5} · (- 1 \frac{1}{2})$
$- 5,1 · (- 1 \frac{2}{3})$
$- 2 \frac{2}{3} : 1 \frac{1}{2}$
$- 1,56 : (- 1,3)$
$8,4 : (- 2,4)$

Ćwiczenie 10

Ustal znak wyniku bez jego obliczania.

${(- 1,3)}^{3} · {(- 2,4)}^{2} · (- 1,7)$
$(- \frac{2}{3}) · {(- 3,5)}^{3} : (- \frac{1}{2})$
$(- 4,7) · (- 2,5) : 4,6 2 : {(- 2,8)}^{3}$
${(3 \frac{3}{4})}^{3} ∙ {(- 1,2)}^{2} : {(- 1,5)}^{2}$

iFCWNExXfe_d5e625

Ćwiczenie 11

RnD4ogGgCLYXk1

Ustal znak wyrażenia nie obliczając jego wartości i wybierz.

=0, >0, >0, =0, <0, <0, <0, =0, >0, =0, 0, =0, >0, <0

$a) (- 1, 3)^{3} \cdot (- 2, 4)^{2} \cdot (- 1, 7)$ ............
$b) (- \frac{2}{3}) \cdot (- 3, 5)^{3} : (- \frac{1}{2})$ ............
$c) (- 4, 7) \cdot (- 2, 5) : 4, 62 : (- 2, 8)^{3}$ ............
$d) (3 \frac{3}{4})^{3} \cdot (- 1, 2)^{2} : (- 1, 5)^{2}$ ............
$e) (3 \frac{3}{4})^{3} \cdot (- 1, 2)^{2} : (- 1, 5)^{2} \cdot (\frac{3}{2} - \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{8})$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 12

Suma liczb $- 3,2$ i $- 3,75$ jest równa

R1OWGM6IU53MP

$- 6,95$
$- 0,55$
$6,95$
$0,55$

static

Ćwiczenie 12

Suma liczb $- 3,2$ i $- 3,75$ jest równa

Rpk5stIjY7bZU

$- 6,95$
$- 0,55$
$6,95$
$0,55$

classicmobile

Ćwiczenie 13

Iloczyn liczb $- 1 \frac{1}{2}$ i $3 \frac{1}{4}$ jest równy

RONa15OCZ7q9g

$4 \frac{7}{8}$
$- 3 \frac{1}{8}$
$- 4 \frac{7}{8}$
$3 \frac{1}{8}$

static

Ćwiczenie 13

Iloczyn liczb $- 1 \frac{1}{2}$ i $3 \frac{1}{4}$ jest równy

RJhCmKjrOFeF0

$4 \frac{7}{8}$
$- 3 \frac{1}{8}$
$- 4 \frac{7}{8}$
$3 \frac{1}{8}$

classicmobile

Ćwiczenie 14

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RTm84OuIwl6xH

Pani Jola, mając debet w wysokości $1300 zł,$ wpłaciła na konto $1250 zł$ , a pani Kasia, mając na koncie $1400 zł,$ wypłaciła z niego $1500 zł$ . Stan konta pani Joli jest wyższy niż pani Kasi.
Pan Bolesław, mając debet w wysokości $550 zł,$ wypłacił z konta $450 zł$ , a pan Jerzy, mając na koncie $600 zł,$ wypłacił z niego $650 zł$ . Stan konta pana Jerzego jest wyższy niż pana Bolesława.
Pani Anna, mając na koncie $3500 zł,$ wypłaciła z niego $2840 zł$ . Pieniędzy pozostałych na koncie wystarczy pani Annie na wykupienie wycieczki, która kosztuje $700 zł$ .

static

Ćwiczenie 14

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1917yWJf4cyL

Pani Jola, mając debet w wysokości $1300 zł,$ wpłaciła na konto $1250 zł$ , a pani Kasia, mając na koncie $1400 zł,$ wypłaciła z niego $1500 zł$ . Stan konta pani Joli jest wyższy niż pani Kasi.
Pan Bolesław, mając debet w wysokości $550 zł,$ wypłacił z konta $450 zł$ , a pan Jerzy, mając na koncie $600 zł,$ wypłacił z niego $650 zł$ . Stan konta pana Jerzego jest wyższy niż pana Bolesława.
Pani Anna, mając na koncie $3500 zł,$ wypłaciła z niego $2840 zł$ . Pieniędzy pozostałych na koncie wystarczy pani Annie na wykupienie wycieczki, która kosztuje $700 zł$ .

Ćwiczenie 15

R1NPeWWfBBwsA1

W miejscowości Bajkowo najniższa temperatura wynosiła

- 2 ° C

, a najwyższa

5 ° C

. W miejscowości Legendowo najwyższa temperatura wynosiła

- 1 ° C

, a najniższa

- 7 ° C

. W miejscowości Komiksowo najniższa temperatura wynosiła

3 ° C

, a najwyższa

8 ° C

. Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w luki odpowiednie liczby lub słowa.

Najwyższa temperatura w Bajkowie była o Tu uzupełnij $° C$ wyższa od najwyższej temperatury w Legendowie.
Największa różnica między najwyższymi temperaturami wynosiła Tu uzupełnij $° C$ i dotyczyła miejscowości Tu uzupełnij i Tu uzupełnij.
Miejscowością, w której była najniższa temperatura jest Tu uzupełnij.
Różnica najniższych temperatur w Komiksowie i Bajkowie wynosiła Tu uzupełnij $° C$ .

Ćwiczenie 16

Stan konta pani Barbary w dniu $1$ marca wynosił $1040 zł$ . W dniu $3$ marca na konto wpłynęła pensja pani Barbary w wysokości $2600 zł$ . Dnia $5$ marca bank, na podstawie pozostawionego przez właścicielkę konta, zlecenia dokonał opłat w wysokości $1020 zł$ . Bieżące wydatki pani Barbary w ciągu marca wyniosły $1800 zł$ . Czy pani Barbarze wystarczy jeszcze pieniędzy na zakup telewizora kosztującego $800 zł$ ?

Ćwiczenie 17

RJ80VL42Agmcb1

Połącz w pary.

$2,5$
$2,5$
$2,4$
$- \frac{3}{4}$
$- 0,25$
$- 9,8$
$1,2$
$- 3,15$
$- 2,5$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Ro1isCVi0P3Lo1

Połącz w pary.

$- 6$
$4,2$
$22,5$
$- 13,5$
$- 9$
$- 10$
$- 0,05$
$- 1,2$
$1 \frac{1}{4}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

Wyszukaj informacje na temat najwyższego i najniższego punktu na Ziemi, a następnie oblicz różnicę ich wysokości bezwzględnych.

Porównywanie liczb wymiernych

Odległość na osi liczbowej