Odległość na osi liczbowej

Przykład 1

Zaznaczmy na osi liczbowej liczby, które są większe od $3$ .
RxKsu2QDIhEM11
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Liczby te spełniają nierówność $x > 3$ . Jeżeli nierówność jest ostra, tzn. spełniona tylko przez liczby większe od trzech, wtedy kółko jest niezamalowane.
Zaznaczmy na osi liczbowej liczby, które są mniejsze od $4$ .
R1cz2v0xm5j6t1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Liczby te spełniają nierówność $x < 4$ .
Zaznaczmy na osi liczbowej liczby, które są większe lub równe od $1$ .
RctaQlzMF1nbt1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Liczby te spełniają nierówność $x \geq 1$ . Jeżeli nierówność jest nieostra, tzn. spełniona przez liczby większe lub równe jeden, wtedy kółko jest zamalowane.
Zaznaczmy na osi liczbowej liczby, które są mniejsze lub równe $5$ .
R1YlnzkVKnKJ01
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Liczby te spełniają nierówność $x \leq 5$ .

Przykład 2

Jeżeli o pewnej liczbie $x$ wiemy, że jest większa od $- 1$ i mniejsza od $4$ , to znaczy, że liczba $x$ spełnia warunek: $- 1 < x < 4$ .

Wszystkie liczby $x$ spełniające ten warunek możemy zaznaczyć na osi liczbowej.

R10l51aSQaxLr1

Grafika statyczna — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli o pewnej liczbie $x$ wiemy, że jest większa lub równa od $- 1$ i mniejsza od $4$ , to znaczy, że liczba $x$ spełnia warunek: $- 1 \leq x < 4$ .

Wszystkie liczby $x$ spełniające ten warunek możemy zaznaczyć na osi liczbowej.

R17WcAr9e3aSA1

Jeżeli o pewnej liczbie $x$ wiemy, że jest większa od $- 1$ i mniejsza lub równa od $4$ , to znaczy, że liczba $x$ spełnia warunek: $- 1 < x \leq 4$ .

Wszystkie liczby $x$ spełniające ten warunek możemy zaznaczyć na osi liczbowej.

RZr9kvx9ynj3V1

Jeżeli o pewnej liczbie $x$ wiemy, że jest większa lub równa od $- 1$ i mniejsza lub równa od $4$ , to znaczy, że liczba $x$ spełnia warunek: $- 1 \leq x \leq 4$ .

Wszystkie liczby $x$ spełniające ten warunek możemy zaznaczyć na osi liczbowej.

R60GChzrXu8Qs1

Przykład 3

Zaznaczmy na osi liczbowej liczby $2$ i $9$ .
R6jjmMOjIb3gd1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Na osi liczbowej między $2$ i $9$ mieści się $7$ odcinków jednostkowych. a więc odległość między liczbami $2$ i 9 wynosi $7$ . ponieważ
$9 - 2 = 7 .$
Zaznaczmy na osi liczbowej liczby $- 8$ i $- 3$ .
RR3oGiUY3Ey0D1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Na osi liczbowej między $- 8$ i $- 3$ mieści się $5$ odcinków jednostkowych, a więc odległość między liczbami $- 8$ i $- 3$ wynosi $5$ , ponieważ
$- 3 - (- 8) = - 3 + 8 = 5 .$
Zaznaczmy na osi liczbowej liczby $- 6$ i $2$ .
RFmCF4QqiP28Z1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Na osi liczbowej między $- 6$ i $2$ mieści się $8$ odcinków jednostkowych a więc odległość między liczbami $- 6$ i $2$ wynosi $8$ , ponieważ
$2 - (- 6) = 2 + 6 = 8 .$

Przykład 4

Obliczmy odległość między liczbami $a = - 3,5$ i $b = - 8,2$ .
Ponieważ $- 8,2 < - 3,5$ więc aby obliczyć szukaną odległość musimy od $- 3,5$ odjąć $- 8,2$ .

- 3,5 - (- 8,2) = - 3,5 + 8,2 = 4,7

A zatem odległość między liczbami $a$ i $b$ wynosi $4,7$ jednostek.
Możemy również policzyć wartość bezwzględną różnicy liczba $a$ i $b$ , wtedy nie ma znaczenia, czy od większej odejmujemy mniejszą, czy odwrotnie.

|a - b| = |- 3,5 - (- 8,2)| = |- 3,5 + 8,2| = |4,7| = 4,7

|b - a| = |- 8,2 - (- 3,5)| = |- 8,2 + 3,5| = |- 4,7| = 4,7

|a - b| = |b - a|

Odległość między liczbami $a$ i $b$ jest równa $|a - b|$ lub $|b - a|$ .

Przykład 5

Obliczmy odległość na osi liczbowej między liczbami $a = 2,5$ i $b = 9$ .

R1R0RXqnWOOWj1

Ponieważ $2,5 < 9,$ więc aby obliczyć szukaną odległość musimy od $9$ odjąć $2,5$ .

9 - 2,5 = 6,5

A zatem odległość między liczbami $a$ i $b$ wynosi $6,5$ .
Możemy również obliczyć wartość bezwzględną różnicy liczb $a$ i $b$ . Wówczas nie ma znaczenia, czy od liczby większej odejmujemy mniejszą, czy odwrotnie.

|a - b| = |9 - 2,5| = |2,5 - 9| = 6,5

|a - b| = |b - a|

Odległość między liczbami $a$ i $b$ jest równa $|a - b|$ lub $|b - a|$ .

Przykład 6

Oblicz odległość na osi liczbowej liczb $- 1$ i $7,5$ .

RvSiB8GSdWTHl1

Odległość między dwiema dowolnymi liczbami na osi liczbowej

Definicja: Odległość między dwiema dowolnymi liczbami na osi liczbowej

Odległość między dwiema dowolnymi liczbami na osi liczbowej jest równa długości odcinka łączącego punkty odpowiadające tym liczbom.

Zapamiętaj!

Aby obliczyć odległość na osi liczbowej między dwiema liczbami, należy od większej odjąć mniejszą.
Jeżeli nie wiemy, która z liczb $a$ i $b$ jest większa, to aby obliczyć odległość między tymi liczbami na osi liczbowej wystarczy obliczyć $|b - a|$ lub $|a - b|$ .

Przykład 7

R1pvRyI0Nk14n1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 8

RJYdG9JFfuuJ51

Przykład 9

R1CjdlGswe5mN1

Przykład 10

RmdETgBqg351u1

iWafgHS7zM_d5e445

Ćwiczenie 1

Oblicz.

$|4|$
$|0|$
$|- 7|$
$|\frac{7}{9}|$
$|- 3 \frac{1}{3}|$
$|- 1, (4)|$

$4$
$0$
$7$
$\frac{7}{9}$
$3 \frac{1}{3}$
$1, (4)$

Ćwiczenie 2

Oblicz.

$| 5 + 7 |$
$| 7 - 5 |$
$| 5 - 7 |$
$| \frac{1}{3} - \frac{1}{2} |$
$- | 2,3 - 3,2 |$
$- | 1,2 - 1, (2) |$

$12$
$2$
$2$
$\frac{1}{6}$
$- 0,9$
$- \frac{1}{45}$ lub $- 0,0 (2)$

Ćwiczenie 3

Rwyem7kRVuxjC1

Wybierz.

<, <, <, >, >, >, >, =, <, >, =, <, =, <, <, >, >, =, =, <, =, >, =, =

$| - 5 |$ ............ $5$
$| - 2 |$ ............ $- 2$
$- | - 1 |$ ............ $1$
$- | - 7 |$ ............ $- 7$
$| 6 - 2 |$ ............ $| 2 - 6 |$
$1 + | 5 - 3 |$ ............ $| 1 + 5 - 3 |$
$4 + 3 \cdot | 6 - 2 |$ ............ $3 + 4 \cdot | 2 - 6 |$
$| 6 + | 3 - 4 | - 2 |$ ............ $| 2 - | 5 + 2 | - 6 |$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 4

Liczb naturalnych spełniających warunek $|x| < 3$

RjCkZSuCXAC4L

są $3$
jest $5$
jest $7$
jest nieskończenie wiele

static

Ćwiczenie 4

Liczb naturalnych spełniających warunek $|x| < 3$

R1Y0Hbakl5qxY

są $3$
jest $5$
jest $7$
jest nieskończenie wiele

classicmobile

Ćwiczenie 5

Wszystkie liczby całkowite spełniające warunek $|x - 1| < 2,$ to

RfBJTykW7IRfr

$- 1, 0, 1, 2, 3$
$- 1, 2$
$0, 1, 2$
$- 1, 0, 1$

static

Ćwiczenie 5

Wszystkie liczby całkowite spełniające warunek $|x - 1| < 2,$ to

RGetL7qUH8lPr

$- 1, 0, 1, 2, 3$
$- 1, 2$
$0, 1, 2$
$- 1, 0, 1$

classicmobile

Ćwiczenie 6

Jeżeli $|a| = |b|,$ to zachodzi warunek

R1ONU5qHNCPmT

$a = b$
$a = - b$
$- a = b$
$a = b$ lub $a = - b$

static

Ćwiczenie 6

Jeżeli $|a| = |b|,$ to zachodzi warunek

R1DVhCS3PBd2W

$a = b$
$a = - b$
$- a = b$
$a = b$ lub $a = - b$

Ćwiczenie 7

Oblicz $x,$ jeżeli

$|x| = 0$
$|x| = 5$ i $x > 0$
$|x| = 2$ i $x < 0$
$|x| = 4$

$x = 0$
$x = 5$
$x = - 2$
$x = - 4$ i $x = 4$

classicmobile

Ćwiczenie 8

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1dFNqvbwMlyS

Wartość bezwzględna każdej liczby jest liczbą dodatnią.
Liczby przeciwne mają taką samą wartość bezwzględną.
Wartość bezwzględna liczby jest równa liczbie do niej przeciwnej.
Liczby odwrotne mają przeciwne wartości bezwzględne.

static

Ćwiczenie 9

Ribb4k0memrpY1

Połącz w pary.

liczba x jest mniejsza od 5
liczba x jest większa lub równa −5
liczba x jest nie mniejsza od 5
liczba x jest nie większa od −5
liczba x jest ujemna
liczba x jest nieujemna

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby spełniające dany warunek.

$x \leq 3$
$x > - 2,25$
$x < \frac{2}{3}$
$x \geq 5,5$
$x < 2,7$
$x \leq - 1 \frac{3}{4}$

Ćwiczenie 11

Podaj warunek, jaki spełniają liczby zaznaczone na osi liczbowej.

R1AdhDP8fTouz1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R6WpeuqTeVOpJ1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rju6DlgyQff6K1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1FkjDRjviL9u1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$x \geq 4$
$x > 1$
$x \leq 3,5$
$x < 5$

Ćwiczenie 12

Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełniających dany warunek.

$- 2 < x < 0$
$- 1,5 \leq x \leq 2$
$3 \leq x < 5$
$- 3,5 < x \leq - 1$

Ćwiczenie 13

Określ, jaki warunek spełniają liczby zaznaczone na osi liczbowej.

R1aGnEQMvU2in1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ReUl2sBvOVA871
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RcEoG1p9GkoYU1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1FY18X3vaYA41
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$- 1 < x < 5$
$\frac{1}{2} \leq x \leq 2$
$- 3 < x \leq 4$
$1 \frac{1}{2} \leq x < 5 \frac{1}{2}$

iWafgHS7zM_d5e1049

Ćwiczenie 14

Wymień, gdy jest to możliwe, wszystkie liczby spełniające dany warunek.

$x \leq 5$ i $x$ jest liczbą naturalną
$x < 3$ i $x$ jest liczbą całkowitą dodatnią
$- 3,5 < x \leq 1$ i $x$ jest liczbą całkowitą
$- 5 < x \leq 5$ i $x$ jest liczbą całkowitą ujemną
$- 2 \leq x \leq 0$ i $x$ jest liczbą naturalną
$5,5 < x < 10,5$ i $x$ jest liczbą wymierną

$0, 1, 2, 3, 4, 5$
$1, 2$
$- 3, - 2, - 1, 0, 1$
$- 4, - 3, - 2, - 1$
$0$
nieskończenie wiele

Ćwiczenie 15

Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby spełniające podany warunek.

$|x| \leq 5$
$|x| < 3$
$|x| > 0$

Ćwiczenie 16

Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby spełniające podany warunek.

$|x| > 2$
$|x| < - 3$

Ćwiczenie 17

Oblicz $x$ , jeżeli $|x - 2| = 3$ .

$x = - 1$ i $x = 5$

Ćwiczenie 18

Znajdź odległość na osi liczbowej między punktami: $D$ i $H$ , $B$ i $C$ , $C$ i $E$ , $E$ i $F$ , $A$ i $H$ , $A$ i $G$ .

R1XuXQ4C14slj1

Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi punktami od -4 do 6. Na osi zaznaczone punkty A, B, C, D, E, F, G, H o współrzędnych: A =3, B =-2, C = cztery i jedna druga, D =0, E = minus trzy i jedna druga, F = pięć i jedna druga, G = minus jeden i jedna druga, H = minus dwa i jedna druga. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Tabela. Dane
punkty	odległość
$D$ i $H$	$2,5$
$B$ i $C$	$6,5$
$C$ i $E$	$8$
$E$ i $F$	$9$
$A$ i $H$	$5,5$
$A$ i $G$	$4,5$

Ćwiczenie 19

Uzupełnij zdania.

RM94i8HKGcFhF1

Rysunek osi liczbowej z zaznaczonymi punktami od -3 do 3. Na osi zaznaczone punkty A, B, C, D, E, F o współrzędnych: A = minus dwie trzecie, B = minus dwa i dwie trzecie, C = dwa i jedna trzecia, D =0, E =-2, F = dwa i dwie trzecie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Odległość punktu $A$ od punktu $B$ jest $\dots$ odległości punktu $D$ od punktu $E$ .
Odległość punktu $A$ od punktu $B$ jest równa $\dots$ .
Odległość punktu $A$ od punktu $E$ jest o $\dots$ większa od odległości punktu $B$ od punktu $E$ .
Odległość punktu $B$ od punktu $C$ jest $\dots$ razy większa od odległości punktu $A$ od punktu $B$ .
Odległość punktu $D$ od punktu $F$ jest równa podwojonej sumie odległości punktu $A$ od punktu $D$ i punktu $\dots$ od punktu $\dots$ .

równa
$2$
$\frac{2}{3}$
$2, 5$
$B$ do $E$

classicmobile

Ćwiczenie 20

Liczby leżące na osi liczbowej w takiej samej odległości od liczby $- 4,$ to

R1E02LcuVoG4T

$- 6$ i $- 3$
$- 7,5$ i $- 0,5$
$- 8$ i $8$
$- 5 \frac{2}{3}$ i $- 3 \frac{2}{3}$

static

Ćwiczenie 20

Liczby leżące na osi liczbowej w takiej samej odległości od liczby $- 4,$ to

RuwfQ9wmKVqH1

$- 6$ i $- 3$
$- 7,5$ i $- 0,5$
$- 8$ i $8$
$- 5 \frac{2}{3}$ i $- 3 \frac{2}{3}$

classicmobile

Ćwiczenie 21

Liczba leżąca na osi liczbowej w takiej samej odległości od $- 15$ i $2,$ to

R7eoIhQ5RznHo

$- 8,5$
$- 8$
$- 7,5$
$- 6,5$

static

Ćwiczenie 21

Liczba leżąca na osi liczbowej w takiej samej odległości od $- 15$ i $2,$ to

R1YpC5Ar7jbQt

$- 8,5$
$- 8$
$- 7,5$
$- 6,5$

classicmobile

Ćwiczenie 22

Zbiór liczb leżących na osi liczbowej w odległości nie większej niż $3$ od liczby $- 5$ opiszemy nierównością

RayWDMDzoZ7NS

$- 8 < x < - 2$
$- 5 \leq x \leq 3$
$- 5 < x < 3$
$- 8 \leq x \leq - 2$

static

Ćwiczenie 22

Zbiór liczb leżących na osi liczbowej w odległości nie większej niż $3$ od liczby $- 5$ opiszemy nierównością

RYrkvwT1ANWGa

$- 8 < x < - 2$
$- 5 \leq x \leq 3$
$- 5 < x < 3$
$- 8 \leq x \leq - 2$

Ćwiczenie 23

R15FGkZRC3u7U1

Oblicz odległość między danymi liczbami, a następnie przeciągnij i upuść.

$6, 2$ , $3 \frac{1}{2}$ , $2, 84$ , $1 \frac{9}{14}$ , $1, 95$ , $0, (6)$

a) $3 \frac{1}{2}$ i $0$ ............................
b) $2, 5$ i $- 3, 7$ ............................
c) $- 3, 24$ i $- \frac{2}{5}$ ............................
d) $- \frac{3}{4}$ i $1, 2$ ............................
e) $- \frac{1}{3}$ i $0, (3)$ ............................
f) $\frac{1}{7}$ i $- \frac{3}{2}$ ............................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Działania na liczbach wymiernych

Działania na liczbach wymiernych. Kolejność wykonywania działań