Działania na logarytmach – zadania

Pokaż ćwiczenia:

W tym materiale będziesz mógł sprawdzić swoją wiedzę na temat logarytmów rozwiązując ćwiczenia. Jeśli potrzebujesz informacji dotyczących logarytmów i praw działań na logarytmach zajrzyj do materiałów Definicja logarytmu. Własności logarytmuDaVXIAIkmDefinicja logarytmu. Własności logarytmu oraz Działania na logarytmach. PrzykładyD1HkdfKUzDziałania na logarytmach. Przykłady.

Przypomnijmy definicję logarytmu.

Logarytm

Definicja: Logarytm

Logarytmem liczby $b$ przy podstawie $a$ nazywamy taką liczbę $c$ , że $a$ podniesione do potęgi $c$ daje liczbę $b$ .

\log_{a} b = c

, to

a^{c} = b

Ćwiczenie 1

RTPSmGDxfiyLs1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0, licencja: CC BY 3.0.

RTgO2Ofm2306z

Dopasuj punkty do wzorów funkcji.

f (x) = \log_{2} x

Możliwe odpowiedzi: 1.

(4; 1)

, 2.

(2; - 1)

, 3.

(9; 2)

, 4.

(16; - 2)

, 5.

(3; - 1)

, 6.

(2; 1)

f (x) = \log_{3} x

Możliwe odpowiedzi: 1.

(4; 1)

, 2.

(2; - 1)

, 3.

(9; 2)

, 4.

(16; - 2)

, 5.

(3; - 1)

, 6.

(2; 1)

f (x) = \log_{4} x

Możliwe odpowiedzi: 1.

(4; 1)

, 2.

(2; - 1)

, 3.

(9; 2)

, 4.

(16; - 2)

, 5.

(3; - 1)

, 6.

(2; 1)

f (x) = \log_{\frac{1}{2}} x

Możliwe odpowiedzi: 1.

(4; 1)

, 2.

(2; - 1)

, 3.

(9; 2)

, 4.

(16; - 2)

, 5.

(3; - 1)

, 6.

(2; 1)

f (x) = \log_{\frac{1}{3}} x

Możliwe odpowiedzi: 1.

(4; 1)

, 2.

(2; - 1)

, 3.

(9; 2)

, 4.

(16; - 2)

, 5.

(3; - 1)

, 6.

(2; 1)

f (x) = \log_{\frac{1}{4}} x

Możliwe odpowiedzi: 1.

(4; 1)

, 2.

(2; - 1)

, 3.

(9; 2)

, 4.

(16; - 2)

, 5.

(3; - 1)

, 6.

(2; 1)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RGHjgHkd11vFk11

Ćwiczenie 2

Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz właściwą odpowiedź.

\log_{2} 4 =

- 3

, 2.

- 1

, 3.

1

, 4.

- 2

, 5.

4

, 6.

3

, 7.

5

, 8.

2

, 9.

- 5

\log_{\frac{1}{2}} 2 =

- 3

, 2.

- 1

, 3.

1

, 4.

- 2

, 5.

4

, 6.

3

, 7.

5

, 8.

2

, 9.

- 5

\log_{\frac{1}{3}} 27 =

- 3

, 2.

- 1

, 3.

1

, 4.

- 2

, 5.

4

, 6.

3

, 7.

5

, 8.

2

, 9.

- 5

\log_{\frac{1}{4}} 16 =

- 3

, 2.

- 1

, 3.

1

, 4.

- 2

, 5.

4

, 6.

3

, 7.

5

, 8.

2

, 9.

- 5

\log_{\sqrt{2}} 4 =

- 3

, 2.

- 1

, 3.

1

, 4.

- 2

, 5.

4

, 6.

3

, 7.

5

, 8.

2

, 9.

- 5

\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \sqrt{32} =

- 3

, 2.

- 1

, 3.

1

, 4.

- 2

, 5.

4

, 6.

3

, 7.

5

, 8.

2

, 9.

- 5

\log_{5} 125 =

- 3

, 2.

- 1

, 3.

1

, 4.

- 2

, 5.

4

, 6.

3

, 7.

5

, 8.

2

, 9.

- 5

Przeciągnij i upuść.

$1$ , $- 2$ , $2$ , $4$ , $- 5$ , $5$ , $- 1$ , $- 3$ , $3$

$\log_{2} 4 =$ ............
$\log_{\frac{1}{2}} 2 =$ ............
$\log_{\frac{1}{3}} 27 =$ ............
$\log_{\frac{1}{4}} 16 =$ ............
$\log_{\sqrt{2}} 4 =$ ............
$\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \sqrt{32} =$ ............
$\log_{5} 125$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0, licencja: CC BY 3.0.

R1e1p3ZOXwr9811

Ćwiczenie 3

Uzupełnij poniższe równości odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę aby wyświetlić listę rozwijalną i wybierz właściwą odpowiedź.

\log_{2} 2 + \log_{2} 4 =

13

, 2.

26

, 3.

2

, 4.

- 13 \frac{1}{4}

, 5.

1 \frac{3}{4}

, 6.

15

, 7.

1

, 8.

17

, 9.

3

\log_{2} 16 - \log_{2} 4 =

13

, 2.

26

, 3.

2

, 4.

- 13 \frac{1}{4}

, 5.

1 \frac{3}{4}

, 6.

15

, 7.

1

, 8.

17

, 9.

3

\log_{3} 5 + \log_{3} 6 - \log_{3} 10 =

13

, 2.

26

, 3.

2

, 4.

- 13 \frac{1}{4}

, 5.

1 \frac{3}{4}

, 6.

15

, 7.

1

, 8.

17

, 9.

3

\log_{4} \sqrt{2} + 2 \log_{4} 2 \sqrt{2} =

13

, 2.

26

, 3.

2

, 4.

- 13 \frac{1}{4}

, 5.

1 \frac{3}{4}

, 6.

15

, 7.

1

, 8.

17

, 9.

3

{\log^{2}}_{3} \sqrt{3} - 3 \log_{3} 81 - \log_{3} 3 \sqrt{3} =

13

, 2.

26

, 3.

2

, 4.

- 13 \frac{1}{4}

, 5.

1 \frac{3}{4}

, 6.

15

, 7.

1

, 8.

17

, 9.

3

3^{\log_{3} 26} =

13

, 2.

26

, 3.

2

, 4.

- 13 \frac{1}{4}

, 5.

1 \frac{3}{4}

, 6.

15

, 7.

1

, 8.

17

, 9.

3

3^{\log_{3} 26 - \log_{3} 2} =

13

, 2.

26

, 3.

2

, 4.

- 13 \frac{1}{4}

, 5.

1 \frac{3}{4}

, 6.

15

, 7.

1

, 8.

17

, 9.

3

Przeciągnij i upuść.

$3$ , $1 \frac{3}{4}$ , $26,$ $- 13 \frac{1}{4}$ , $13,$ $2,$ $15$ , $1,$ , $17$

$\log_{2} 2 + \log_{2} 4 =$ ............
$\log_{2} 16 - \log_{2} 4 =$ ............
$\log_{3} 5 + \log_{3} 6 - \log_{3} 10 =$ ............
$\log_{4} \sqrt{2} + 2 \log_{4} 2 \sqrt{2} =$ ............
${\log^{2}}_{3} \sqrt{3} - 3 \log_{3} 81 - \log_{3} 3 \sqrt{3} =$ ............
$3^{\log_{3} 26} =$ ............
$3^{\log_{3} 26 - \log_{3} 2} =$ ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R1bwltSTFo8dp1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0, licencja: CC BY 3.0.

R1ExYlZokbzn7

Dopasuj pary punktów do wzorów funkcji.

f (x) = \log_{2} (x + 1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

(1; 0)

(2; 1)

, 2.

(0; 0)

(1; 1)

, 3.

(2; 0)

(4; 1)

, 4.

(2; 0)

(3; 1)

, 5.

(1; 1)

(2; 2)

, 6.

(3; 0)

(5; 1)

f (x) = \log_{2} (x) + 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

(1; 0)

(2; 1)

, 2.

(0; 0)

(1; 1)

, 3.

(2; 0)

(4; 1)

, 4.

(2; 0)

(3; 1)

, 5.

(1; 1)

(2; 2)

, 6.

(3; 0)

(5; 1)

f (x) = \log_{2} (x - 1) - 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

(1; 0)

(2; 1)

, 2.

(0; 0)

(1; 1)

, 3.

(2; 0)

(4; 1)

, 4.

(2; 0)

(3; 1)

, 5.

(1; 1)

(2; 2)

, 6.

(3; 0)

(5; 1)

f (x) = \log_{2} x

Możliwe odpowiedzi: 1.

(1; 0)

(2; 1)

, 2.

(0; 0)

(1; 1)

, 3.

(2; 0)

(4; 1)

, 4.

(2; 0)

(3; 1)

, 5.

(1; 1)

(2; 2)

, 6.

(3; 0)

(5; 1)

f (x) = \log_{2} (x - 1)

Możliwe odpowiedzi: 1.

(1; 0)

(2; 1)

, 2.

(0; 0)

(1; 1)

, 3.

(2; 0)

(4; 1)

, 4.

(2; 0)

(3; 1)

, 5.

(1; 1)

(2; 2)

, 6.

(3; 0)

(5; 1)

f (x) = \log_{2} (x) - 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

(1; 0)

(2; 1)

, 2.

(0; 0)

(1; 1)

, 3.

(2; 0)

(4; 1)

, 4.

(2; 0)

(3; 1)

, 5.

(1; 1)

(2; 2)

, 6.

(3; 0)

(5; 1)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

R1L4xdFcpexzg1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0, licencja: CC BY 3.0.

R1758AFgQgVFL

Uzupełnij poniższe zdania, dopasowując do podanych wzorów odpowiednie dziedziny funkcji. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę i wybierz właściwą odpowiedź. Dziedziną funkcji

f (x) = \log_{2} (x + 1)

jest zbiór 1.

x \in (- \infty, 3)

, 2.

x \in (- \infty, 2)

, 3.

x \in (- \frac{1}{2}, + \infty)

, 4.

x \in (- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)

, 5.

x \in (- \infty, \frac{1}{3})

, 6.

x \in (- 1, + \infty)

.Dziedziną funkcji

f (x) = \log_{2} (2 x + 1)

jest zbiór 1.

x \in (- \infty, 3)

, 2.

x \in (- \infty, 2)

, 3.

x \in (- \frac{1}{2}, + \infty)

, 4.

x \in (- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)

, 5.

x \in (- \infty, \frac{1}{3})

, 6.

x \in (- 1, + \infty)

.Dziedziną funkcji

f (x) = \log_{4} (- 3 x + 1)

jest zbiór 1.

x \in (- \infty, 3)

, 2.

x \in (- \infty, 2)

, 3.

x \in (- \frac{1}{2}, + \infty)

, 4.

x \in (- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)

, 5.

x \in (- \infty, \frac{1}{3})

, 6.

x \in (- 1, + \infty)

.Dziedziną funkcji

f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (- 3 x + 9)

jest zbiór 1.

x \in (- \infty, 3)

, 2.

x \in (- \infty, 2)

, 3.

x \in (- \frac{1}{2}, + \infty)

, 4.

x \in (- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)

, 5.

x \in (- \infty, \frac{1}{3})

, 6.

x \in (- 1, + \infty)

.Dziedziną funkcji

f (x) = \log_{\frac{1}{3}} (- 4 x + 8)

jest zbiór 1.

x \in (- \infty, 3)

, 2.

x \in (- \infty, 2)

, 3.

x \in (- \frac{1}{2}, + \infty)

, 4.

x \in (- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)

, 5.

x \in (- \infty, \frac{1}{3})

, 6.

x \in (- 1, + \infty)

.Dziedziną funkcji

f (x) = \log_{2} (x^{2} - 1)

jest zbiór 1.

x \in (- \infty, 3)

, 2.

x \in (- \infty, 2)

, 3.

x \in (- \frac{1}{2}, + \infty)

, 4.

x \in (- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)

, 5.

x \in (- \infty, \frac{1}{3})

, 6.

x \in (- 1, + \infty)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfXNRBb773ba321

Ćwiczenie 6

$a + b = 2$
$a + c = 1$
$b - c = 1$
$a + b + c = 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RBqLSxAy5Kjx121

Ćwiczenie 7

$A = lo g_{9} 3 - lo g_{9} 243$
$B = lo g_{12} 2 + lo g_{12} 3 + lo g_{12} 24$
$C = \log (0,25) + \log (0,008) + \log (0,5)$
$D = lo g_{\frac{1}{6}} 4 - (lo g_{\frac{1}{6}} 5 - lo g_{\frac{1}{6}} 45)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RL7ZoS3dZppXS21

Ćwiczenie 8

$f (x) = 6$ dla $x = 1 + lo g_{3} 2$
$f (x) = 625$ dla $x = 4 lo g_{3} 5$
$f (x) = \frac{10}{9}$ dla $x = lo g_{3} 10 - 2$
$f (x) = \frac{27}{32}$ dla $x = 3 - 5 lo g_{3} 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RTKQ7OFQKhmQ221

Ćwiczenie 9

Suma $lo g_{21} 3 + lo g_{21} 7$ jest równa $1$ .
Różnica $lo g_{5} 20 - lo g_{5} 100$ jest równa $- 1$ .
Liczba $lo g_{3} 2$ jest o 27 mniejsza od liczby $lo g_{3} 54$ .
Liczba $lo g_{2} 20$ jest o $2$ większa od liczby $lo g_{2} 5$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RQCTKvBs2uWV921

Ćwiczenie 10

$lo g_{2} 15 = a + b$
$lo g_{2} \frac{5}{3} = a - b$
$lo g_{2} 675 = 3 a + 2 b$
$lo g_{2} (16,2) = 4 a - b$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RwKLAuyLZPlm121

Ćwiczenie 11

$x = 3 lo g_{5} 2$
$x = 3 lo g_{2} 5$
$x = 2 lo g_{3} 5$
$x = 2 lo g_{5} 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1FtcqTbQzYy821

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1bcrPlVksw2q21

Ćwiczenie 13

$lo g_{15} 34$
$lo g_{30} 34$
$2$
$1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RCKkCMxdpFIBQ21

Ćwiczenie 14

$lo g_{3} 53 \frac{1}{3}$
$lo g_{6} 27$
$2$
$4$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1dDMEhlOT7zr21

Ćwiczenie 15

$\log 1 + \log 2 + \log 4$
$7 lo g_{7} 1 + lo g_{7} 7$
$5 lo g_{4} 2 + 9 lo g_{25} 5$
$2 lo g_{9} 3 + 5 lo g_{32} 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rst0fiJENVKeS21

Ćwiczenie 16

$\log 25 - \log 4$
$\log 7 + \log 3$
$\log 20 + \log 1$
$\log 3 \cdot \log 7$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ri7GBUoKVrWUh21

Ćwiczenie 17

$\frac{1}{2} \log 50$
$\log 100 - \log 75$
$\log 10 + \log 15$
$2 \log 5$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RcK62h3Cx6SGq21

Ćwiczenie 18

$48$
$16$
$12$
$8$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 19

R10evmpI4Y1ax

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\log 2 + \log 5 = \log (2 \cdot 5) = \log 10 = 1$ ,
$\log_{21} 9 + \log_{21} 49 = \log_{21} (9 \cdot 49) = \log_{21} 441 = 2$ ,
$\log_{15} 45 + \log_{15} 75 = \log_{15} (45 \cdot 75) = \log_{15} 3375 = 3$ ,
$\log_{6} 3 + \log_{6} 4 + \log_{6} 18 = \log_{6} (3 \cdot 4) + \log_{6} 18 =$
$= \log_{6} (3 \cdot 4 \cdot 18) = \log_{6} 216 = 3$ .

Ćwiczenie 20

ROpyFa4IiHy35

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\log_{2} 40 - \log_{2} 5 = \log_{2} \frac{40}{5} = \log_{2} 8 = 3$ ,
$\log_{3} 90 - \log_{3} 10 = \log_{3} \frac{90}{10} = \log_{3} 9 = 2$ ,
$\log_{5} 60 - \log_{5} 12 = \log_{5} \frac{60}{12} = \log_{5} 5 = 1$ ,
$\log_{7} 21 - (\log_{7} 24 - \log_{7} 8) = \log_{7} 21 - \log_{7} \frac{24}{8} = \log_{7} 21 - \log_{7} 3 =$
$= \log_{7} \frac{21}{3} = \log_{7} 7 = 1$ .

Ćwiczenie 21

R1APfOTMPnp6A

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$10 \log_{4} 2 = \log_{4} 2^{10} = \log_{4} 4^{5} = 5$ ,
$9 \log_{27} 3 = \log_{27} 3^{9} = \log_{27} 27^{3} = 3$ ,
$12 \log_{25} \sqrt{5} = \log_{25} {(\sqrt{5})}^{12} = \log_{25} 5^{6} = \log_{25} 25^{3} = 3$ ,
$8 \log_{12} (2 \sqrt{3}) = \log_{12} {(2 \sqrt{3})}^{8} = \log_{12} {(\sqrt{12})}^{8} = \log_{12} 12^{4} = 4$ .

Ćwiczenie 22

R1asbJwM8fxEk

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$g (\log_{3} 2 + \log_{3} 5) = g (\log_{3} (2 \cdot 5)) = g (\log_{3} 10) = 3^{\log_{3} 10} = 10$ ,
$g (\log_{4} 55 - \log_{4} 5) = g (\log_{4} \frac{55}{5}) = g (\log_{4} 11) = 4^{\log_{4} 11} = 11$ ,
$g (6 \log_{7} 2) = g (\log_{7} 2^{6}) = g (\log_{7} 64) = 7^{\log_{7} 64} = 64$ .

Ćwiczenie 23

R10DSQz2wbFZq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\log_{5} 6 - \log_{5} 30 = \log_{5} \frac{6}{30} = \log_{5} \frac{1}{5} = - 1$ ,
$\log_{2} 7 - \log_{2} 56 = \log_{2} \frac{7}{56} = \log_{2} \frac{1}{8} = - 3$ ,
$\log_{3} 7 - \log_{3} 63 = \log_{3} \frac{7}{63} = \log_{3} \frac{1}{9} = - 2$ ,
$\log 143 - (\log 26 + \log 55) = \log 143 - \log (26 \cdot 55) = \log 143 - \log 1430 =$
$= \log \frac{143}{1430} = \log \frac{1}{10} = - 1$ .

Ćwiczenie 24

RQVtwY4Xc0Whz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\log 15 + \log 1250 - \log \frac{3}{16} = \log (15 \cdot 1250) - \log \frac{3}{16} = \log \frac{18750}{\frac{3}{16}} =$
$= \log \frac{18750 \cdot 16}{3} = \log 100000 = 5$ .

Ćwiczenie 25

RFuBsDBN9a9L9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$3 \log_{5} 4 + 2 \log_{5} 7 = \log_{5} 4^{3} + \log_{5} 7^{2} = \log_{5} (4^{3} \cdot 7^{2}) = \log_{5} (64 \cdot 49) = \log_{5} 3136$ .

Ćwiczenie 26

RGEbDfbZYw0fu

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\log_{2} 405 - 4 \log_{2} 3 = \log_{2} 405 - \log_{2} 3^{4} = \log_{2} 405 - \log_{2} 81 = \log_{2} \frac{405}{81} = \log_{2} 5$ .

Ćwiczenie 27

Wykaż, że liczby $\log 9$ , $\log 21$ , $\log 49$ tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

RIh1hWAXxqW98

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Sprawdź, czy $\frac{\log 9 + \log 49}{2} = \log 21$ .

Ponieważ $\frac{\log 9 + \log 49}{2} = \frac{\log (9 \cdot 49)}{2} = \frac{\log 441}{2} = \frac{\log 21^{2}}{2} = \frac{2 \cdot \log 21}{2} = \log 21$ , więc ciąg $(\log 9, \log 21, \log 49)$ jest arytmetyczny.

Ćwiczenie 28

RXGbQGHWIgLjq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$\log_{5} (27 \sqrt{5}) = \log_{5} 27 + \log_{5} \sqrt{5} = \log_{5} 3^{3} + \log_{5} 5^{\frac{1}{2}} =$
$= 3 \log_{5} 3 + \frac{1}{2} = 3 a + \frac{1}{2} = \frac{6 a + 1}{2}$ .

Ćwiczenie 29

R9Tw9BULn79WG

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$2 a + 3 b = 2 \log 125 + 3 \log 4 = 2 \log 5^{3} + 3 \log 2^{2} = 3 \cdot 2 \log 5 + 2 \cdot 3 \log 2 =$
$= 6 (\log 2 + \log 5) = 6 \log (2 \cdot 5) = 6 \log 10 = 6$ .

Ćwiczenie 30

Wykaż, że wartość wyrażenia ${(\log_{6} 2)}^{2} + \log_{6} 3 \cdot \log_{6} 12$ jest liczbą całkowitą.

RcqP3pmsfKEnN

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

${(\log_{6} 2)}^{2} + \log_{6} 3 \cdot \log_{6} 12 = {(\log_{6} 2)}^{2} + \log_{6} 3 \cdot \log_{6} (3 \cdot 4) =$

$= {(\log_{6} 2)}^{2} + \log_{6} 3 \cdot (\log_{6} 3 + \log_{6} 4) = {(\log_{6} 2)}^{2} + {(\log_{6} 3)}^{2} + \log_{6} 4 \cdot \log_{6} 3 =$

$= {(\log_{6} 2)}^{2} + {(\log_{6} 3)}^{2} + \log_{6} 2^{2} \cdot \log_{6} 3 = {(\log_{6} 2)}^{2} + {(\log_{6} 3)}^{2} + 2 \log_{6} 2 \cdot \log_{6} 3 =$

$= {(\log_{6} 2 + \log_{6} 3)}^{2} = {(\log_{6} (2 \cdot 3))}^{2} = {(\log_{6} 6)}^{2} = 1^{2} = 1$ .

Ćwiczenie 31

Funkcja $f$ każdej dodatniej liczbie $x$ przyporządkowuje wykładnik potęgi, do której należy podnieść liczbę $2$ , aby otrzymać $x$ . Wykaż, że $2 \cdot f (5) + f (0, 1) + 1 = f (40) + f (\frac{1}{8})$ .

RANe4jvjdAvXY

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że funkcja $f$ jest określona wzorem $f (x) = \log_{2} x$ .

Z treści zadania wynika, że funkcja $f$ jest określona wzorem $f (x) = \log_{2} x$ .

Wówczas

$2 \cdot f (5) + f (0, 1) + 1 = 2 \log_{2} 5 + \log_{2} \frac{1}{10} + \log_{2} 2 = \log_{2} 5^{2} + \log_{2} (\frac{1}{10} \cdot 2) =$
$\log_{2} 25 + \log_{2} \frac{1}{5} = \log_{2} (25 \cdot \frac{1}{5}) = \log_{2} 5$

oraz

$f (40) + f (\frac{1}{8}) = \log_{2} 40 + \log_{2} \frac{1}{8} = \log_{2} (40 \cdot \frac{1}{8}) = \log_{2} 5$ .

Zatem $2 \cdot f (5) + f (0, 1) + 1 = f (40) + f (\frac{1}{8})$ .

Ćwiczenie 32

RHTJV6ev1FjGK

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy:

$\{\begin{cases} a = \log_{2} x \\ b = \log_{3} y \end{cases}$ .

Wtedy:

$\{\begin{cases} a + 2 b = 1, 5 \\ 4 a + 3 b = 3, 5 \end{cases}$ ,

stąd $a = 0, 5$ i $b = 0, 5$ .

Wynika stąd, że $x = \sqrt{2}$ , $y = \sqrt{3}$ .

$2 \log_{6} (x y) = \log_{6} {(\sqrt{2} \cdot \sqrt{3})}^{2} = \log_{6} 6 = 1$ .