Działania na potęgach. Część II

Działania na potęgach

Twierdzenie: Działania na potęgach

Iloczyn potęg o tych samych podstawach

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

a^{n} ∙ a^{m} = a^{n + m} .

R1WKxrD2CezmO1

Iloraz potęg o tych samych podstawach

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m} .

R1X2ngJpF9lV01

Potęga potęgi

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a \neq 0$ i dowolnych liczb całkowitych $n$ i $m$ prawdziwa jest równość

{(a^{n})}^{m} = a^{n ∙ m} .

R1c65xKTWGhCm1

Iloczyn potęg o tych samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a \neq 0$ i $b \neq 0$ i dowolnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest równość

a^{n} ∙ b^{n} = {(a ∙ b)}^{n} .

RSc0RT5yFz1P31

Iloraz potęg o tych samych wykładnikach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a \neq 0$ i $b \neq 0$ i dowolnej liczby całkowitej $n$ prawdziwa jest równość

\frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n} .

RXdhHaVVnbedK1

i1x9zmZeoi_d5e185

Ćwiczenie 1

Oblicz w pamięci.

$2^{- 2} ∙ ({\frac{1}{4})}^{- 2}$
$3^{- 3} ∙ ({\frac{1}{6})}^{- 3}$
${(- 4)}^{- 1} ∙ {(- \frac{1}{16})}^{- 1}$
$({\frac{1}{2})}^{- 2} ∙ ({- 8)}^{- 2}$
${(- 0,01)}^{- 3} ∙ {(10)}^{- 3}$

$4$
$8$
$4$
$\frac{1}{16}$
$- 1000$

Ćwiczenie 2

Oblicz.

$({\frac{1}{2})}^{- 4} ∙ 2^{- 4}$
${(\frac{1}{3})}^{- 2} ∙ 9^{- 2}$
${1,5}^{- 1} ∙ 2^{- 1}$
$({\frac{2}{5})}^{- 2} ∙ 10^{- 2}$
${(\frac{3}{4})}^{- 6} ∙ {(1 \frac{1}{3})}^{- 6}$
${(1 \frac{2}{3})}^{- 3} ∙ {(1 \frac{1}{5})}^{- 3}$

$1$
$\frac{1}{9}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{16}$
$1$
$\frac{1}{8}$

Ćwiczenie 3

RhD95pcZ730Nt1

Połącz w pary.

$2^{- 2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{- 2}$
${(- 2)}^{- 3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{- 3}$
${(- \frac{1}{2})}^{- 3} \cdot 4^{- 3}$
$9^{- 2} \cdot {(- \frac{1}{3})}^{- 2}$
${(\frac{1}{4})}^{- 3} \cdot {(- 2)}^{- 3}$
$- 9^{- 2} \cdot {(- \frac{1}{3})}^{- 2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R1STCQtfFvpoD1

Połącz w pary.

$(2 x)^{- 3}$
$(- 2 x)^{- 3}$
$(- 2 x)^{- 2}$
$- (2 x)^{- 2}$
${(- 2 x^{- 2})}^{2}$
$- {(2 x^{2})}^{- 2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Uzupełnij podstawę potęgi.

$2^{- 2} ∙ 3^{- 2} = \dots^{2}$
$2^{- 3} ∙ {(- 5)}^{- 3} = \dots^{3}$
( ${\frac{1}{2})}^{- 4} ∙ 8^{- 4} = \dots^{4}$
( $2 {\frac{1}{2})}^{- 3} ∙ (- {2)}^{- 3} = \dots^{3}$
( $- {\frac{3}{2})}^{- 5} ∙ (- {\frac{2}{3})}^{- 5} = \dots^{5}$
( ${- 0,01)}^{- 2} ∙ 10^{- 2} = \dots^{2}$
( ${\frac{1}{2})}^{- 3} ∙ 8^{- 3} ∙ {(\frac{1}{2})}^{- 3} = \dots^{3}$
( ${0,75)}^{- 2} ∙ {(1 \frac{1}{3})}^{- 2} ∙ 2^{- 2} = \dots^{2}$

$\frac{1}{6}$
$- 0,1$
$\frac{1}{4}$
$- \frac{1}{5}$
$1$
$- 10$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$

Ćwiczenie 6

Oblicz w pamięci.

$2^{- 3} : (- {2)}^{- 3}$
${(- 3)}^{- 2} : {(- 3)}^{- 2}$
$({\frac{1}{5})}^{- 1} : 5^{- 1}$
${0,2}^{- 5} : {0,4}^{- 5}$
$(- {\frac{1}{2})}^{- 2} : ({- \frac{1}{4})}^{- 2}$

$- 1$
$1$
$25$
$32$
$\frac{1}{4}$

Ćwiczenie 7

Oblicz.

$2^{- 4} : 2^{- 4}$
${(\frac{1}{3})}^{- 3}^{} : ({\frac{1}{9})}^{- 3}$
${4,5}^{- 2} : {1,5}^{- 2}$
$({\frac{5}{2})}^{- 2} : 10^{- 2}$
${(\frac{2}{3})}^{- 1} : {(\frac{5}{6})}^{- 1}$
${(1 \frac{2}{3})}^{- 3} : {(\frac{5}{6})}^{- 3}$

$1$
$\frac{1}{27}$
$\frac{1}{9}$
$16$
$1 \frac{1}{4}$
$\frac{1}{8}$

i1x9zmZeoi_d5e481

Ćwiczenie 8

R1PdNOhMFmM4I1

Połącz w pary.

$2^{- 2} : {(\frac{1}{2})}^{- 2}$
${(- 2)}^{- 3} : 2^{- 3}$
${(- \frac{1}{2})}^{- 3} : {(\frac{1}{4})}^{- 3}$
$9^{- 1} : {(- 3)}^{- 1}$
${(\frac{1}{2})}^{- 3} : {(\frac{1}{4})}^{- 3}$
$- 3^{- 2} : {(- \frac{1}{3})}^{- 2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

R3T6fj4vBaBmn1

Połącz w pary.

${(\frac{2}{x})}^{- 3}$
${(- \frac{2}{x})}^{- 3}$
${(- \frac{2}{x})}^{- 2}$
$- {(\frac{2}{x})}^{- 2}$
${(- \frac{2}{x^{2}})}^{- 2}$
$- {(\frac{2}{x^{2}})}^{- 2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Uzupełnij podstawę potęgi.

$20^{- 3} : 10^{- 3} = \dots^{3}$
$25^{- 2} : {(- 5)}^{- 2} = \dots^{2}$
$({\frac{1}{2})}^{- 4} : ({\frac{1}{4})}^{- 4} = \dots^{4}$
$(- {\frac{3}{2})}^{- 5} : (- {\frac{3}{2})}^{- 5} = \dots^{5}$
$(2 {\frac{1}{2})}^{- 4} : (- {\frac{1}{2})}^{- 4} = \dots^{4}$
$({- 0,01)}^{- 3} : {0,1}^{- 3} = \dots^{3}$
$({\frac{1}{2})}^{- 3} ∙ 8^{- 3} : {(2)}^{- 3} = \dots^{3}$
${(0,75)}^{- 4} : {(\frac{3}{4})}^{- 4} : 2^{- 4} = \dots^{4}$

$\frac{1}{2}$
$- \frac{1}{5}$
$\frac{1}{2}$
$1$
$\frac{1}{5}$
$- 10$
$\frac{1}{2}$
$2$

Ćwiczenie 11

Uzupełnij brakującą podstawę potęgi.

$2^{- 3} ∙ 4^{- 3} ∙ \dots^{18} = 8^{3}$
$3^{- 2} ∙ \dots^{2} : 9^{- 2} = 3^{4}$
$25^{5} : \dots^{5} : 5^{- 5} = 5^{10}$
$8^{4} : 2^{- 4} : 4^{4} : \dots^{4} = 2^{4}$

Ćwiczenie 12

Iloraz $60^{- 15} : (- {15)}^{- 15}$ jest równy

Rtm74uKaMmiDu

$4^{15}$
${(- 4)}^{- 15}$
${(- 4)}^{15}$
${(- 4)}^{0}$

Ćwiczenie 13

Wyrażenie ${(3 x^{- 3} y)}^{- 2}$ jest równe

R8IOmshEVu3JD

$3 x^{6} y^{- 2}$
$\frac{9 y^{2}}{x^{6}}$
$9 x^{6} y^{- 2}$
$\frac{x^{6}}{9 y^{2}}$

Ćwiczenie 14

Wyrażenie $({\frac{9 x^{2} y}{3 x y^{2}})}^{- 4}$ zapisane bez użycia nawiasów ma postać

ROVeVJ3QYDAbY

$\frac{3 x^{4} y^{8}}{9 x^{8} y^{4}}$
$\frac{3 x^{4}}{y^{4}}$
$\frac{y^{4}}{3^{4} x^{4}}$
$\frac{3^{4} x^{4}}{y^{4}}$

classicmobile

Ćwiczenie 15

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1YYNSNNC2ts1

Iloczyn $2^{- 3} ∙ 3^{- 3} ∙ ({\frac{1}{2})}^{- 3} ∙ 2^{- 3}$ zapisany w postaci potęgi to $6^{- 12}$
Iloczyn $2^{- 3} ∙ 3^{- 3} ∙ ({\frac{1}{2})}^{- 3} ∙ 2^{- 3}$ zapisany w postaci potęgi to $6^{- 3}$
Iloraz ${0,0001}^{- 5} : {0,001}^{- 5}$ zapisany w postaci potęgi to $10^{10}$
Iloraz ${0,0001}^{- 5} : {0,001}^{- 5}$ zapisany w postaci potęgi to $10^{5}$
Wyrażenie ${(- 2 x^{2} y)}^{- 3}$ po uproszczeniu wynosi $\frac{1}{8 x^{6} y^{3}}$
Wyrażenie ${(- 2 x^{2} y)}^{- 3}$ po uproszczeniu wynosi $- \frac{1}{8 x^{6} y^{3}}$

static

Ćwiczenie 15

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R7FabRaIbx12p

Iloczyn $2^{- 3} ∙ 3^{- 3} ∙ ({\frac{1}{2})}^{- 3} ∙ 2^{- 3}$ zapisany w postaci potęgi to $6^{- 12}$
Iloczyn $2^{- 3} ∙ 3^{- 3} ∙ ({\frac{1}{2})}^{- 3} ∙ 2^{- 3}$ zapisany w postaci potęgi to $6^{- 3}$
Iloraz ${0,0001}^{- 5} : {0,001}^{- 5}$ zapisany w postaci potęgi to $10^{10}$
Iloraz ${0,0001}^{- 5} : {0,001}^{- 5}$ zapisany w postaci potęgi to $10^{5}$
Wyrażenie ${(- 2 x^{2} y)}^{- 3}$ po uproszczeniu wynosi $\frac{1}{8 x^{6} y^{3}}$
Wyrażenie ${(- 2 x^{2} y)}^{- 3}$ po uproszczeniu wynosi $- \frac{1}{8 x^{6} y^{3}}$

i1x9zmZeoi_d5e793

Ćwiczenie 16

RgajSssRY1KvT1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

RqnadRBkmnbB01

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

W miejsce kropek wstaw odpowiedni znak $<, >, =$ .

$8^{- 3} \dots 4^{- 3}$
$3^{- 6} \dots 12^{- 6}$
${0,2}^{- 9} \dots {0,3}^{- 9}$
${1,4}^{- 5} \dots {1,3}^{- 5}$
${(\frac{2}{7})}^{- 4} \dots {(\frac{1}{4})}^{- 4}$
${(0,75)}^{- 7} \dots {(\frac{3}{4})}^{- 7}$

Ćwiczenie 19

W miejsce kropek wstaw odpowiedni znak $<, >, =$ .

$(- {2,3)}^{- 5} \dots {2,3}^{- 5}$
$(- {3,6)}^{- 6} \dots {3,6}^{- 6}$
$- {(- 7,7)}^{- 7 \dots} {(- 7,7)}^{- 7}$
$- (- (- {0,2)}^{- 9}) \dots - (- {0,2)}^{- 9}$

Ćwiczenie 20

R135VEQiu86Vt1

Połącz w pary.

$a^{3} \cdot a^{- 5}$
$a^{- 4} \cdot a^{1}$
$a^{- 9} : a^{- 5} \cdot a^{- 2}$
$a^{- 3} : a^{- 3}$
$a^{- 16} : a^{- 11}$
$a^{- 8} \cdot a : a^{- 3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 21

Oblicz.

$\frac{{2^{5} ∙ 2}^{- 3}}{2^{7} : 2^{- 3}}$
$\frac{5 ∙ 3^{7}}{3^{8} : 3^{- 2}}$
$\frac{4^{- 7} : 4^{- 9}}{17 - 4^{0}}$
$\frac{5^{3} - 2 ∙ 5^{2}}{5^{- 1}}$

$\frac{1}{256}$
$\frac{5}{27}$
$1$
$375$

Ćwiczenie 22

Uzupełnij brakujący wykładnik potęgi.

$2^{3} ∙ 4 : 2^{- 2} = 2^{\dots}$
$27 : 3^{\dots} ∙ 3^{- 5} = 3^{6}$
$4^{- 4} : 4^{\dots} ∙ 16 ∙ 64 = 4^{- 8}$
$625 : 5^{2} : 5^{\dots} : 5^{- 2} = 1$

$7$
$- 8$
$9$
$4$

Ćwiczenie 23

R1Spfo38gpOaY1

Połącz w pary.

$- 64 \cdot 3^{- 1} \cdot (- 2)^{- 3} \cdot 27$
$128 \cdot 9 \cdot 2^{- 2} : 3^{0} \cdot (- 3)^{4}$
$(- 2)^{13} : 64 \cdot 3^{- 3} \cdot (- 81)$
$- 243 \cdot 3^{- 2} \cdot 32 : 2 : (- 2)^{- 3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 24

Zakładając, że $a \neq 0$ , zapisz wyrażenie w postaci jednej potęgi.

${(a}^{9} ∙ a^{- 4}) : (a^{- 3} ∙ a)$
$a^{8} : [a^{- 9} : (a^{- 2} ∙ a^{4})]$
$\frac{a^{- 3} ∙ a^{2} : a^{- 2}}{a^{- 4} : a^{6}}$
$\frac{a^{3} ∙ [(a^{- 4} ∙ a^{5}) : (a^{- 3} ∙ a^{3})]}{a^{8} : (a^{- 2} ∙ a)}$

$a^{7}$
$a^{19}$
$a^{11}$
$a^{- 5}$

Działania na potęgach o wykładniku całkowitym. Część I

Notacja wykładnicza liczb