Działania na potęgach o wykładniku naturalnym

iqitmMx85h_d5e82

Ćwiczenie 1

R1cx2qVluxpNJ1

Połącz w pary.

$a^{3} \cdot a^{5}$
$a^{2} \cdot a^{1}$
$a^{8} : a^{5} \cdot a^{2}$
$a^{3} : a^{3}$
$a^{12} : a^{11}$
$a^{8} \cdot a : a^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Oblicz.

$\frac{{2^{5} ∙ 2}^{3}}{2^{7} : 2^{3}}$
$\frac{5 ∙ 3^{7}}{3^{8} : 3^{2}}$
$\frac{4^{7} : 4^{5}}{17 - 4^{0}}$
$\frac{5^{3} - 2 ∙ 5^{2}}{5}$

$16$
$15$
$1$
$15$

Ćwiczenie 3

R5Usd0lNOlrVR1

Przeciągnij i upuść.

$2^{3}$ , $4^{3}$ , $5^{0}$ , $2^{4}$ , $3^{4}$ , $4^{2}$ , $5^{2}$ , $3^{2}$ , $4^{1}$ , $5^{1}$ , $2^{5}$

$2^{3} \cdot 4 : 2^{2} =$ ............
$27 :$ ............ $\cdot 3^{5} = 3^{6}$
$4^{4} :$ ............ $\cdot 16 \cdot 64 = 4^{8}$
$625 : 5^{2} :$ ............ $: 5^{2} = 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

R1VELTPK5bPob1

Połącz w pary.

$- 4 \cdot 3^{3} \cdot {(- 2)}^{5} \cdot 27$
$32 \cdot 9 \cdot 2^{4} : 3^{0} \cdot {(- 3)}^{4}$
${(- 2)}^{13} : 64 \cdot 3^{3} \cdot (- 9)$
$- 243 \cdot 3^{2} \cdot 1024 : 2 : {(- 2)}^{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Zapisz w postaci jednej potęgi.

$2^{3} + 2^{3}$
$4^{4} + 4^{4} + 4^{4} + 4^{4}$
$2 ∙ (2^{5} + 2^{5} + 2^{5} + 2^{5})$
$(3^{3} + 3^{3} + 3^{3}) : 3$

$2^{4}$
$4^{5}$
$2^{8}$
$3^{3}$

Ćwiczenie 6

Zapisz na dwa sposoby daną potęgę w postaci iloczynu potęg o takiej samej podstawie.

$2^{15}$
${(- 5)}^{23}$
$3^{2 x + 5}$
$10^{x + 2 y}$

Wskazówka

Zadanie ma wiele rozwiązań np.:

$2^{15} = 2^{10} ∙ 2^{5}$ lub $2^{15} = 2^{8} ∙ 2^{7}$
${(- 5)}^{23} = {(- 5)}^{10} ∙ {(- 5)}^{13}$ lub ${(- 5)}^{23} = {(- 5)}^{3} ∙ {(- 5)}^{20}$
$3^{2 x + 5} = 3^{2 x} ∙ 3^{5}$ lub $3^{2 x + 5} = 3^{x} ∙ 3^{x + 5}$
$10^{x + 2 y} = 10^{x} ∙ 10^{2 y}$ lub $10^{x + 2 y} = 10^{x + y} ∙ 10^{y}$

Ćwiczenie 7

Zapisz na dwa sposoby daną potęgę w postaci ilorazu potęg o takiej samej podstawie.

$2^{15}$
${(- 5)}^{23}$
$3^{2 x - 5}$
$10^{x - 2 y}$

Wskazówka

Wskazówka: zadanie ma wiele rozwiązań np.:

$2^{15} = 2^{20} : 2^{5}$ lub $2^{15} = 2^{35} : 2^{20}$
${(- 5)}^{23} = {(- 5)}^{25} : {(- 5)}^{2}$ lub ${(- 5)}^{23} = {(- 5)}^{35} : {(- 5)}^{12}$
$3^{2 x - 5} = 3^{2 x} : 3^{5}$ lub $3^{2 x - 5} = 3^{x} : 3^{5 - x}$
$10^{x - 2 y} = 10^{x} : 10^{2 y}$ lub $10^{x - 2 y} = 10^{x - y} : 10^{y}$

Ćwiczenie 8

Zakładając, że $a \neq 0$ , zapisz wyrażenie w postaci jednej potęgi.

$(a^{8} ∙ a^{4}) : (a^{4} ∙ a)$
$a^{8} : [a^{9} : (a^{2} ∙ a^{4})]$
$\frac{a^{3} ∙ a^{2} : a^{2}}{a^{7} : a^{6}}$
$\frac{a^{3} ∙ [(a^{4} ∙ a^{5}) : (a^{3} ∙ a^{3})]}{a^{8} : (a^{2} ∙ a)}$

$a^{7}$
$a^{5}$
$a^{2}$
$a$

Ćwiczenie 9

R1R8MHDs2hQnp1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

R12OgQHRkN0Ba1

Przeciągnij i upuść.

${(- 2 p^{2} q^{6})}^{5}$ , ${(4" z^{5})}^{8}$ , ${(- 2 p^{2} q^{6})}^{7}$ , ${(4" z^{5})}^{3}$ , ${(\frac{1}{2}" x^{5}" y^{3})}^{4}$ , ${(- 2 p^{2} q^{6})}^{8}$ , ${(\frac{1}{2}" x^{5}" y^{3})}^{6}$ , ${(2" x^{2})}^{5}$ , ${(y^{4})}^{6}$ , $3^{3}$ , ${(4" z^{5})}^{4}$ , ${(y^{4})}^{7}$ , ${(2" x^{2})}^{4}$ , ${(2" x^{2})}^{2}$ , ${(y^{4})}^{9}$ , $1^{3}$ , $2^{3}$

${(2" x)}^{2} \cdot x^{2} =$ ..............
${(y^{3})}^{6} \cdot {(y)}^{6} =$ ..............
${(8" z^{4})}^{4} \cdot {(\frac{1}{2}" z)}^{4} =$ ..............
${(\frac{1}{4}" x^{3}" y)}^{2} \cdot {(2" x^{2}" y^{2})}^{2} =$ ..............
${(\frac{1}{2}" p^{3}" q^{4})}^{5} \cdot {(- \frac{4}{p} q^{2})}^{5} =$ ..............
${(9" k)}^{3} \cdot {(\frac{1}{3}" k)}^{3} \cdot {(\frac{1}{3 k^{2}})}^{3} =$ ..............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iqitmMx85h_d5e432

Ćwiczenie 11

R21dWSQDW1seM1

Przeciągnij i upuść.

${(- 2 p^{4} q^{2})}^{5}$ , ${(y^{2})}^{8}$ , $2^{5}$ , ${(3" x)}^{2}$ , ${(y^{2})}^{9}$ , ${(y^{2})}^{6}$ , ${(3" x)}^{4}$ , $2^{3}$ , ${(4" z^{3})}^{8}$ , ${(4" z^{3})}^{6}$ , ${(81" k^{2})}^{4}$ , ${(4" z^{3})}^{4}$ , ${(81" k^{2})}^{6}$ , ${(81" k^{2})}^{3}$ , ${(- 2 p^{4} q^{2})}^{8}$ , $2^{4}$ , ${(3" x)}^{3}$ , ${(- 2 p^{4} q^{2})}^{6}$

${(2" x)}^{3} : x^{3} =$ ..............
${(y^{3})}^{6} : {(y)}^{6} =$ ..............
${(8" z^{4})}^{4} : {(2" z)}^{4} =$ ..............
${(6" x^{3}" y^{2})}^{2} : {(2" x^{2}" y^{2})}^{2} =$ ..............
${(\frac{1}{2}" p^{3}" q^{4})}^{5} : {(- \frac{1}{4 p} q^{2})}^{5} =$ ..............
${(9" k)}^{3} : {(\frac{1}{3}" k)}^{3} \cdot {(3" k^{2})}^{3} =$ ..............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Oblicz „sprytnie”.

${(2,5)}^{3} ∙ 2^{4}$
${(0,2)}^{4} ∙ 10^{5}$
${(\frac{1}{3})}^{4} ∙ 3^{6}$
${(\frac{2}{3})}^{4} ∙ {(1,5)}^{3}$
$12^{2} : 3^{3}$
${(2,4)}^{3} : {(0,3)}^{2}$

${2,5}^{3} ∙ 2^{4} = {2,5}^{3} ∙ 2^{3} ∙ 2 = {(2,5 ∙ 2)}^{3} ∙ 2 = 5^{3} ∙ 2 = 125 ∙ 2 = 250$

Pozostałe podpunkty analogicznie.

$250$
$160$
$9$
$\frac{2}{3}$
$5 \frac{1}{3}$
$153,6$

Ćwiczenie 13

Zapisz na dwa sposoby daną potęgę w postaci iloczynu potęg o takich samych wykładnikach.

$2^{15}$
${(- 5)}^{23}$
${(4 xy)}^{6}$
${(2 x^{3} y^{4})}^{9}$

Zadanie ma wiele rozwiązań, np.:

$2^{15} = 4^{15} ∙ {(\frac{1}{2})}^{15}$ lub $2^{15} = 8^{15} ∙ ({\frac{1}{4})}^{15}$
${(- 5)}^{23} = {(- 10)}^{23} ∙ 2^{23}$ lub ${(- 5)}^{23} = {(- 25)}^{23} ∙ 5^{25}$
${(4 xy)}^{6} = {(4 x)}^{6} ∙ y^{6}$ lub ${(4 xy)}^{6} = {(2 x)}^{6} ∙ {(2 y)}^{6}$
${(2 x^{3} y^{4)}}^{9}$ = ${(2 xy)}^{9} ∙ {(x^{2} y^{3})}^{9}$ lub ${(2 x^{3} y^{4)}}^{9} = {(x^{2} y^{2})}^{9} ∙ {(2 x y^{2})}^{9}$

Ćwiczenie 14

Zapisz na dwa sposoby daną potęgę w postaci ilorazu potęg o takich samych wykładnikach.

$2^{15}$
${(- 5)}^{23}$
${(4 xy)}^{6}$
${(2 x^{3} y^{4)}}^{9}$

Zadanie ma wiele rozwiązań, np.:

$2^{15} = 4^{15} : 2^{15}$ lub $2^{15} = 8^{15} : 4^{15}$
${(- 5)}^{23} = {(- 10)}^{23} : 2^{23}$ lub ${(- 5)}^{23} = 25^{23} : {(- 5)}^{23}$
${(4 xy)}^{6} = {(4 x)}^{6} : ({\frac{1}{y})}^{6}$ lub ${(4 xy)}^{6} = {(8 x)}^{6} : {(\frac{2}{y})}^{6}$
${(2 x^{3} y^{4})}^{9}$ = ${(2 xy)}^{9} : {(\frac{1}{x^{2} y^{3}})}^{9}$ lub ${(2 x^{3} y^{4)}}^{9} = {(4 x^{2} y^{2})}^{9} : {(\frac{2}{x y^{2}})}^{9}$

Ćwiczenie 15

Uprość wyrażenie i oblicz jego wartość liczbową.

${(3 a^{2})}^{3} : {(\frac{1}{2} a^{2})}^{2}$ , dla $a = - 1$
${(6 x^{2} y^{3})}^{5} : {(6 x^{2} y)}^{4}$ , dla $x = - \frac{1}{2}$ i $y = - 1$
$({\frac{3 a^{2}}{2 b})}^{3} ∙ {(\frac{4 b^{2}}{3 a})}^{2}$ , dla $a = - \frac{1}{2} i b = 4$
$[{(2 x^{3} y)}^{6} ∙ {(2 x^{2} y^{5})}^{2}] : [{(x^{2} y)}^{2} ∙ {(4 x^{3} y^{5})}^{2}]$ , dla $x = - 1$ i $y = - \frac{1}{3}$

$108$
$- 1,5$
$1,5$
$\frac{16}{81}$

Ćwiczenie 16

Podaj ostatnią cyfrę liczby $k$ .

${k = 2}^{28}$
$k = 3^{51}$
${k = 5}^{67}$

Ćwiczenie 17

Rozwiąż równanie.

$2^{x} = 128$
$5^{2 x} = 1$

$x = 7$
$x = 0$

Ćwiczenie 18

Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ liczba $10^{n} + 2$ jest podzielna przez $3$ .

Suma cyfr liczby $10^{n} + 2$ jest podzielna przez $3$ , więc liczba też jest podzielna przez $3$ .

Ćwiczenie 19

Rozwiąż równanie.

$3^{x + 2} = 81$
$2^{x - 4} = 2$

$x = 2$
$x = 5$

Ćwiczenie 20

Uzasadnij, że liczba $2^{16} + 2^{15} + 2^{14}$ jest podzielna przez $7$ .

$2^{14} (2^{2} + 2 + 1) = 2^{14} ∙ 7$

Porównywanie potęg

Pierwiastki kwadratowe i sześcienne