Działania na wyrażeniach algebraicznych

i5BMzIRKYF_d5e82

Wykorzystując poznane wcześniej wiadomości, możemy wykonywać działania na sumach algebraicznych. Pamiętamy także o tym, że obowiązuje dla nich kolejność wykonywania działań, taka sama jak dla działań na liczbach.

Przykład 1

- 2 x (3 x - 5 y) + (x - 2 y) - (- 3 x^{2} + 4 xy) + (- x + 5 y) (3 x + y) =

= - 6 x^{2} + 10 xy + x - 2 y + 3 x^{2} - 4 xy - 3 x^{2} - xy + 15 xy + 5 y^{2} =

= - 6 x^{2} + 20 xy + x - 2 y + 5 y^{2}

Przykład 2

- 3 a (2 a - 5) - 4 (a - 2 b) (3 a + b) - (- 7 a - 8 b) =

= - 6 a^{2} + 15 a - 4 (3 a^{2} + ab - 6 ab - 2 b^{2}) + 7 a + 8 b =

= - 6 a^{2} + 15 a - 12 a^{2} - 4 ab + 24 ab + 8 b^{2} + 7 a + 8 b =

= - 18 a^{2} + 20 ab + 22 a + 8 b + 8 b^{2}

Ćwiczenie 1

Wykonaj działania.

$(3 x^{2} y - 2 x) (- 2 y + 3 xy) - (5 xy + 8 y) (- x + 3)$
$- 7 a (ab + 2 a^{2} b^{3}) + (3 a - 5 b) (4 b - 8 a)$
$5 x^{2} y (- 2 x + 4 y) - (x^{3} y - 7 x^{2} y^{2}) + 7, 5 x^{2} y^{2} - 0, 75 xy$
$(2 \sqrt{2} x - \sqrt{3} y) (2 \sqrt{2} x + \sqrt{3} y) - (2 \sqrt{2} x - \sqrt{3} y) (2 \sqrt{2} x - \sqrt{3} y)$
$(1 \frac{2}{3} a + 2 \frac{1}{2} b) (1 \frac{2}{3} a + 2 \frac{1}{2} b) - 2 \frac{2}{5} (a^{2} + 3 ab - 5 b^{2})$
$(7, 5 x - 3, 4 xy) (- 2 x + 5 y) - 2, 8 (5 x^{2} - 10 xy)$
$(\sqrt{6} ab - \sqrt{2} a) (2 \sqrt{2} a + \sqrt{6} ab) - 2 \sqrt{3} a (3 ab - 2 \sqrt{12} a)$

$- 6 x^{2} y^{2} + 9 x^{3} y^{2} - 3 xy - x^{2} y - 24 y$
$- 7 a^{2} b - 14 a^{3} b^{3} + 52 ab - 24 a^{2} - 20 b^{2}$
$- 11 x^{3} y + 34,5 x^{2} y^{2} + 0,75 xy$
$4 \sqrt{6} xy - 6 y^{2}$
$\frac{17}{45} a^{2} + 1 \frac{2}{15} ab + 18 \frac{1}{4} b^{2}$
$65,5 xy - 29 x^{2} + 6,8 x^{2} y - 17 x y^{2}$
$- 4 \sqrt{3} a^{2} b + 6 a^{2} b^{2} + 32 a^{2}$

Ćwiczenie 2

RjQ89O8DvFHHa1

Przeciągnij i upuść jednomiany tak, aby podane równości były prawdziwe.

$8 k^{2}$ , $8 l^{2}$ , $k l$ , $2 k^{2} l^{3}$ , $2 k^{3} l^{2}$ , $- 8 l^{2}$

a) $- 5 k (k^{2} + l) (k - l^{2}) - 3 (k^{4} + k^{3} l^{2} - 8) = - 8 k^{4} +$ ............ $- 5 k^{2} l + 5 k l^{3} + 24$
b) $5 k l (k - 2 l) - (k + 3 l) (- 2 k + 5 l) = 5 k^{2} l - 10 k l^{2} + 2 k^{2} +$ ............ $- 15 l^{2}$
c) $- (k^{2} l^{2} + 3 k l) - 2 (k l - 2 l) (k l + 2 l) = - 3 k^{2} l^{2} - 3 k l +$ ............
d) $(\sqrt{2} k - \sqrt{3} l) (\sqrt{2} k + \sqrt{3} l) - 2 k (- 3 k + 5 l) =$ ............ $- 3 l^{2} - 10 k l$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 3

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1YnfoQ3nb6YY

Pole prostokąta o bokach $3 a - 1$ i $3 a + 1$ wynosi $9 a^{2} - 6 a + 1$ .
Wynikiem działania $(- 2 x + y) (3 x - 2 y) - 3 xy$ jest $- 6 x^{2} + 4 xy - 2 y^{2}$ .
Objętość sześcianu o krawędzi $k - 2$ wynosi $k^{3} - 6 k^{2} + 12 k - 8$ .
Kwadrat liczby $x + 3$ jest o $9$ większy od kwadratu liczby $x$ .
Wyrażenia $(a - 1) (a - 1)$ i $(a - 1) (a + 1) - (2 a + 2)$ są równe.

static

Ćwiczenie 3

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RMpcPeaogBFM7

Pole prostokąta o bokach $3 a - 1$ i $3 a + 1$ wynosi $9 a^{2} - 6 a + 1$ .
Wynikiem działania $(- 2 x + y) (3 x - 2 y) - 3 xy$ jest $- 6 x^{2} + 4 xy - 2 y^{2}$ .
Objętość sześcianu o krawędzi $k - 2$ wynosi $k^{3} - 6 k^{2} + 12 k - 8$ .
Kwadrat liczby $x + 3$ jest o $9$ większy od kwadratu liczby $x$ .
Wyrażenia $(a - 1) (a - 1)$ i $(a - 1) (a + 1) - (2 a + 2)$ są równe.

Ćwiczenie 4

Po odjęciu od iloczynu wyrażeń $2 x + 1 i 2 x - 1$ liczby $1$ otrzymamy

RvAFinPwfQxzp

$4 x^{2} - 2$
$4 x^{2}$
$4 x^{2} - 4 x$
$4 x^{2} + 4 x$

i5BMzIRKYF_d5e310

Ćwiczenie 5

R1XdezE2kAxhq1

Połącz w pary.

$\sqrt{3} x (2 \sqrt{3} x - 4 \sqrt{8}) - (\sqrt{6} x + 2 x^{2})$
$(\sqrt{3} x - \sqrt{2}) (\sqrt{3} x - \sqrt{2})$
$(2 \sqrt{2} x - \sqrt{3}) (2 \sqrt{2} x + \sqrt{3}) - (5 x^{2} + \sqrt{6} x + 1)$
$- (- 2 \sqrt{6} x + 8) - (2 \sqrt{3} x - \sqrt{2}) (2 \sqrt{3} x + \sqrt{2})$
$\sqrt{3} (3 \sqrt{2} x - \sqrt{3} x^{2}) - (2 \sqrt{6} x + 4 x^{2})$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Dane są wyrażenia algebraiczne:
$A = 3 xy - 2$
$B = - 2 x + 5 y$
$C = x + 2 xy$
$D = 3 x$
Wykonaj działania i przedstaw wyniki w najprostszej postaci.

$2 ·A - B·C$
$C·D - B$
$A·B·D$

$xy - 4 - 2 x^{2} + 4 x^{2} y - 10 x y^{2}$
$3 x^{2} + 6 x^{2} y + 2 x - 5 y$
$- 18 x^{3} y + 45 x^{2} y^{2} + 12 x^{2} - 30 xy$

Ćwiczenie 7

Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego i doprowadź do najprostszej postaci

różnicę iloczynu liczby $2 a + 5$ przez liczbę $a - 2$ i iloczynu liczby $a + 3$ przez liczbę $a - 4$
sumę podwojonego iloczynu liczby $2 x$ przez liczbę $x + 5$ i iloczynu liczby $x - 1$ przez liczbę $x + 1$
liczbę o $2 x$ większą od iloczynu liczby $3 x - 2$ przez liczbę $3 x$

$a^{2} + 2 a + 2$
$5 x^{2} + 20 x - 1$
$9 x^{2} - 4 x$

Ćwiczenie 8

Dane są dwa wielokąty $F$ i $G$ . O ile pole wielokąta $G$ jest większe od pola wielokąta $F$ .

RG28m4Y1ttZMH1

Rysunek dwóch wielokątów. Wielokąt F można podzielić na prostokąt o bokach równych x +4 i x +2 oraz na trapez prostokątny o podstawie górnej równej x +4, podstawie dolnej 2x -1 i wysokości równej x +1. Wielokąt G można podzielić na dwa prostokąty: jeden o bokach równych 4x +4 i 2x -2 oraz drugi o bokach 2x +4 i 2x -1. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$9,5 x^{2} - 3 x - 21,5$

Ćwiczenie 9

Pole której figury jest większe: prostokąta o bokach $2 x + 3$ i $x - 1$ czy trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $4 x - 1$ i $x + 4$ ? O ile jest większe?

Pole trójkąta prostokątnego jest większe o $6,5 x + 1$ .

Ćwiczenie 10

Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego iloczyn liczby trzycyfrowej, której cyfrą setek jest $a$ , cyfrą dziesiątek jest $b$ i cyfrą jedności jest c przez liczbę trzycyfrową, w której przestawiono cyfry setek i jedności, pozostawiając cyfrę dziesiątek bez zmiany.

$10001 ac + 1010 ab + 1010 bc + 100 a^{2} + 100 b^{2} + 100 c^{2}$

Ćwiczenie 11

Zeszyt kosztuje $x$ złotych, książka jest od niego o $4,40 zł$ droższa, długopis jest $4$ razy tańszy od książki, a cena ołówka stanowi $20 %$ ceny zeszytu. Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego i doprowadź je do najprostszej postaci.

Ile zapłacimy za $2$ zeszyty, książkę i długopis?
O ile droższa jest książka od dwóch ołówków?
Jaką resztę otrzymała Kasia, która za książkę, $3$ długopisy i ołówek zapłaciła banknotem pięćdziesięciozłotowym?

$3,25 x + 5,5$
$0,6 x + 4,4$
$42,3 - 1,95 x$

i5BMzIRKYF_d5e494

Ćwiczenie 12

Sok kosztuje $k$ złotych $m$ groszy, a bułka $m$ złotych $k$ groszy. Ala kupiła $x$ soków i $y$ bułek, a Jola $x$ bułek i $y$ soków. Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego różnicę wydatków Ali i Joli w złotych i sprowadź to wyrażenie do najprostszej postaci.

$0, 99 xk - 0, 99 xm + 0, 99 ym - 0, 99 yk$

Ćwiczenie 13

R1f0bNFc0TqTf1

Rysunek trapezu o podstawie górnej równej x -2y i podstawie dolnej równej 2x +y. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jaka jest wysokość trapezu przedstawionego na rysunku, jeżeli wiadomo, że jego pole jest równe $3 x^{2} + 5 xy - 2 y^{2}$ ?

R11mm7HtKm0eJ

$4 x + 2 y$
$4 x - 2 y$
$2 x + 4 y$
$2 x - 4 y$

Ćwiczenie 14

Zapisz w najprostszej postaci wyrażenie opisujące pole pięciokąta $ADCFE$ .

R17K1x5HGnbE11

Rysunek prostokąta A B C D o bokach długości 3x +1 i 3x -1. Z prostokąta odcięto trójkąt prostokątny B E F o przyprostokątnych równych x -2 oraz x +1 i otrzymano pięciokąt A D C F E. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$8, 5 x^{2} + 0, 5 x + 2$

classicmobile

Ćwiczenie 15

Rysunek przedstawia trapez.

R1PMANm8ymN6Y1

Rysunek trapezu o podstawie górnej równej x -a, podstawie dolnej 3x +a oraz wysokości równej 2x -a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Które wyrażenia opisują pole trapezu?

R16rVCe4koATA

$(3 x + a) (2 x - a) - (x + a) (2 x - a)$
$(3 x + a) (2 x - a) - x (2 x - a)$
$\frac{1}{2} (2 x - a) · 4 x$
$\frac{1}{2} (2 x - a) (4 x + 2 a)$

static

Ćwiczenie 15

Rysunek przedstawia trapez.

R1PMANm8ymN6Y1

Które wyrażenia opisują pole trapezu?

R5UtGSMTGyRu9

$(3 x + a) (2 x - a) - (x + a) (2 x - a)$
$(3 x + a) (2 x - a) - x (2 x - a)$
$\frac{1}{2} (2 x - a) · 4 x$
$\frac{1}{2} (2 x - a) (4 x + 2 a)$

Ćwiczenie 16

Zapisz w najprostszej postaci wyrażenie algebraiczne opisujące

różnicę kwadratu liczby nieparzystej $2 n + 1$ i iloczynu dwóch kolejnych liczb nieparzystych mniejszych od niej
sumę kwadratu liczby parzystej $2 n$ i iloczynu dwóch kolejnych liczb parzystych większych od niej

$12 n - 2$
$8 n^{2} + 12 n + 8$

Ćwiczenie 17

Obraz bez ramy jest prostokątem o długości $2 x - 1$ i szerokości $x + 4 .$ Szerokość ramy, w której znajduje się obraz stanowi $10 %$ długości obrazu. Jakie pole powierzchni zajmuje obraz z ramą? O ile większe jest pole powierzchni obrazu od pola powierzchni ramy?

Obraz z ramą zajmuje $3,36 x^{2} + 7,44 x - 4,56$ . Powierzchnia obrazu jest o $0,64 x^{2} + 6,56 x - 3,44$ większa od powierzchni ramy.

Mnożenie sum algebraicznych

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias