Mnożenie sum algebraicznych

il5ox9QHaU_d5e82

Zapamiętaj!

Aby pomnożyć przez siebie dwie sumy algebraiczne, mnożymy każdy wyraz pierwszej sumy przez każdy wyraz drugiej sumy.

Przykład 1

Pomnożymy przez siebie sumy algebraiczne:

(2 x - 3 y) (- x + 5 y) = - 2 x · x + 2 x · 5 y + 3 y · x - 3 y · 5 y = - 2 x^{2} + 10 xy + 3 xy - 15 y^{2} = - 2 x^{2} + 13 xy - 15 y^{2}

Przykład 2

Pomnożymy przez siebie sumy algebraiczne, wykorzystując prawa działań na potęgach o wykładniku naturalnym.

(3 a^{2} b - 5 b) (- 4 ab + 3 b) =

= - 3 a^{2} b · 4 ab + 3 a^{2} b · 3 b + 5 b · 4 ab - 5 b · 3 b =

= - 12 a^{3} b^{2} + 9 a^{2} b^{2} + 20 a b^{2} - 15 b^{2}

Przykład 3

Pomnożymy przez siebie trzy sumy algebraiczne

(2 x + 3 y) (x - 2 y) (- 3 x + y)

W pierwszej kolejności mnożymy przez siebie dwie sumy algebraiczne, a następnie wynik tego działania mnożymy przez trzecią sumę.

(2 x + 3 y) (x - 2 y) (- 3 x + y) =

= (2 x^{2} - 4 xy + 3 xy - 6 y^{2}) (- 3 x + y) =

= (2 x^{2} - xy - 6 y^{2}) (- 3 x + y) =

= - 6 x^{3} + 2 x^{2} y + 3 x^{2} y - x y^{2} + 18 x y^{2} - 6 y^{3} =

= - 6 x^{3} + 5 x^{2} y + 17 x y^{2} - 6 y^{3}

Ćwiczenie 1

Pomnóż sumy algebraiczne.

$(- 2 a + 3 b) (8 a - 5 b)$
$(4 x^{2} - 2 y) (- 3 x + 6 y^{2})$
$(5 xy - 3 x + 2 y) (- 3 x + 7 xy)$
$(- 2 a^{3} + 4 b - 3) (2 b^{2} - 5 a + 1)$
$(- 3 xy + 2 x - 3 y) (x - 5 y + 3)$
$(4 a b^{2} - 3 a^{2} + 1) (- 3 a^{2} b + 2 b - 3)$
$(2,5 x^{2} y - 0,4 x + 1,2 y) (- 2 x y^{2} + 3 y - 0,8 x)$
$(1 \frac{1}{2} a - 2 \frac{2}{3} b) (- 2 ab + \frac{3}{8})$
$(- 1 \frac{3}{4} xy + 4 y) (2 \frac{1}{2} x - 4 xy)$

$- 16 a^{2} + 34 ab - 15 b^{2}$
$- 12 x^{3} + 24 x^{2} y^{2} + 6 xy - 12 y^{3}$
$- 36 x^{2} y + 35 x^{2} y^{2} + 9 x^{2} - 6 xy + 14 x y^{2}$
$- 4 b^{2} x^{3} + 10 {ax}^{3} - 2 x^{3} + 8 b^{3} - 20 ab + 4 b - 6 b^{2} + 15 a - 3$
$- 3 x^{2} y + 15 x y^{2} - 22 xy + 2 x^{2} + 6 x + 15 y^{2} - 9 y$
$- 12 a^{3} b^{3} + 8 a b^{3} - 12 a b^{2} + 9 a^{4} b - 9 a^{2} b + 9 a^{2} + 2 b - 3$
$- 5 x^{3} y^{3} + 8,3 x^{2} y^{2} - 2 x^{3} y - 2,16 xy + 0,32 x^{2} - 2,4 x y^{3} + 3,6 y^{2}$
$- 3 a^{2} b + \frac{9}{16} a + 5 \frac{1}{3} a b^{2} - b$
$- 4 \frac{3}{8} x^{2} y + 7 x^{2} y^{2} + 10 xy - 16 x y^{2}$

Ćwiczenie 2

Zapisz iloczyn w postaci sumy.

$(\sqrt{7} - \sqrt{2}) (- 2 \sqrt{7} + 3 \sqrt{2)}$
$(\sqrt{5} + 2 \sqrt{6}) (- \sqrt{15} + \sqrt{2})$
$(\sqrt{5} + 3) (3 \sqrt{5} - 4)$
$(\sqrt{6} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{3} - 3 \sqrt{6})$
$(- 5 \sqrt{3} + 4 \sqrt{2}) (2 \sqrt{6} - 5)$

$- 20 + 5 \sqrt{14}$
$- \sqrt{3} - 5 \sqrt{10}$
$3 + 5 \sqrt{5}$
$3 \sqrt{2} - 18 - 2 \sqrt{6} + 12 \sqrt{3}$
$- 50 \sqrt{2} + 41 \sqrt{3}$

Ćwiczenie 3

R1W8mrSho0Ev51

Połącz w pary.

$(- 3 x y^{2} + 4 x) (4 x y - 2 y)$
$(\sqrt{2} x - 3 \sqrt{2} y) (- \sqrt{18} x + \sqrt{8} y)$
$(1, 2 x y - 0, 5 y^{2}) (- 5 x y + 10 x^{2})$
$(1 \frac{1}{2} x - 3 \frac{3}{4} y) (- 4 x y + 8 x)$
$(2, 5 x^{2} y^{2} - 4 x y^{3}) (- 2 + 8 x)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

il5ox9QHaU_d5e369

Ćwiczenie 4

RIY2cmkwuXkzH1

Przeciągnij i upuść jednomiany tak, aby podane równości były prawdziwe.

$5 \frac{1}{4} a^{4} b^{2}$ , $- 3 x y^{2}$ , $3 b$ , $- 16, 5 x y^{2}$ , $3 b^{2}$ , $- 5 a^{2} b$ , $4 x^{2} y^{3}$ , $- 2 x$

a) $(2 a b - 3 b^{2}) (- 2, 5 a + 5 b^{2}) =$ ................ $+ 10 a b^{3} + 7, 5 a b^{2} - 15 b^{4}$
b) $(- 4 x y + 5 x) (2 x^{2} y - x y^{2}) = - 8 x^{3} y^{2} +$ ................ $+ 10 x^{3} y - 5 x^{2} y^{2}$
c) $(1, 5 a^{3} b - 2, 2 a b^{2}) (- 4 a + 3, 5 a b) = - 6 a^{4} b +$ ................ $+ 8, 8 a^{2} b^{2} - 7, 7 a^{2} b^{3}$
d) $(1 \frac{1}{2} x - 4, 5 y^{2}) (- 2 y^{2} + 3 x) =$ ................ $+ 4, 5 x^{2} + 9 y^{4} - 13, 5 x y^{2} =$ ................ $+ 4, 5 x^{2} + 9 y^{4}$
e) $(5, 5 x y - 1, 2 y) ($ ................ $+ 10 y) = - 11 x^{2} y + 55 x y^{2} + 2, 4 x y - 12 y^{2}$
f) $(4 a^{2} b^{2} +$ ................ $) (- 2 a b + 5 a) = - 8 a^{3} b^{3} + 20 a^{3} b^{2} - 6 a b^{3} + 15 a b^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Pomnóż sumy algebraiczne.

$(2 a - 3) (a + 1) (- 3 a + 4)$
$(4 x + 2 y) (- 5 x - y) (3 y - x)$
$(2 a + 3 b) (3 b - 2 a) (a - b)$
$(5 x - 4) (- x + 3) (2 x + 1)$

$- 6 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a - 12$
$- 46 x^{2} y - 40 x y^{2} + 20 x^{3} - 6 y^{3}$
$9 a b^{2} - 9 b^{3} - 4 a^{3} + 4 a^{2} b$
$- 10 x^{3} + 33 x^{2} - 5 x - 12$

Ćwiczenie 6

R10frzsUOQCz01

Przeciągnij i upuść jednomiany tak, aby podane równości były prawdziwe.

$28 a^{2} b$ , $20 a^{2} b$ , $3$ , $5 x y$ , $33 x y$ , $7$ , $23 x y$

a) $(- 5 y + 1) (2 y - 3) (y + 2) = - 10 y^{3} -$ ............ $y^{2} + 31 y - 6$
b) $(3 x + 2 y) (- x - 3 y) (x - 3) = - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 11 x^{2} y +$ ............ $- 6 x y^{2} + 18 y^{2}$
c) $(- 2 a + 4 b) (a - b) (4 a - 2 b) = - 8 a^{3} +$ ............ $- 28 a b^{2} + 8 b^{3}$
d) $(7 x - 3) (3 y + 2) (x - y) = 21 x^{2} y - 21 x y^{2} + 14 x^{2} -$ ............ $+ 9 y^{2} - 6 x + 6 y$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Objętość sześcianu o krawędzi długości $x - 1$ można zapisać w postaci

RCv8GcovSflim

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$
$x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 1$
$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$
$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1$

classicmobile

Ćwiczenie 8

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RSzqgHC9Lb9kC

static

Ćwiczenie 9

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości $2 x$ i $y - 1$ . O ile zwiększy się pole tego trójkąta, jeżeli każdą z nich zwiększymy o $4$ ?

$4 x + 2 y + 6$

Ćwiczenie 10

Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego pole trapezu.

RTMd9wtTDo92H1

Rysunek trapezu, którego podstawa górna ma długość a -3b, podstawa dolna 2a +1. Wysokość trapezu jest równa a -1. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$1,5 a^{2} - a - 1,5 ab + 1,5 b - \frac{1}{2}$

Ćwiczenie 11

Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego pole wielokąta.

Rq78faqIGnoFd1

Rysunek wielokąta, który można podzielić na dwa prostokąty: 1) prostokąt o bokach długości y +1 oraz y -2, 2) prostokąt o bokach długości y oraz ? — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$9 y - y^{2} + 7$

il5ox9QHaU_d5e583

Ćwiczenie 12

W poniedziałek w księgarni sprzedano $x$ książek, z których każda kosztowała y złotych. Następnego dnia cenę książki obniżono o $5 zł$ i wtedy sprzedano o $20$ książek więcej niż pierwszego dnia. Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego, ile pieniędzy uzyskała księgarnia ze sprzedaży książek w ciągu dwóch dni.

$2 x y + 20 y - 5 x - 100$

Ćwiczenie 13

Wokół kwadratowego klombu o boku $3 a$ metrów biegnie ścieżka o szerokości $2,5$ metra. Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego pole powierzchni zajmowane przez klomb wraz ze ścieżką.

$9 a^{2} + 30 a + 25$

Ćwiczenie 14

Prostokątny obraz umieszczono w ramie. Obraz wraz z ramą ma długość $3 x + 20 cm$ i szerokość $2 x + 15 cm$ . Jakie jest pole powierzchni obrazu, jeżeli szerokość ramy wynosi $18 cm$ ?

R1KiA4AjUmTv21

Grafika statyczna — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$6 x^{2} - 93 x + 336$

Ćwiczenie 15

Długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka wynoszą $2 x, 3 y$ i $z$ . Jaką objętość będzie miał prostopadłościan, którego każda z krawędzi ma długość o $1$ większą?

$6 xyz + 6 xy + 2 xz + 2 x + 3 yz + 3 y + z + 1$

Ćwiczenie 16

Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego.

Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, z których największa jest równa $n .$
Iloczyn dwóch kolejnych liczb nieparzystych, z których mniejsza jest równa $2 n + 1 .$
Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych, z których najmniejsza jest równa $2 n .$

$n^{3} - 3 n^{2} + 2 n$
$4 n^{2} + 8 n^{2} + 3$
$8 n^{3} + 24 n^{2} + 16 n$

Ćwiczenie 17

Piaskownica jest prostokątem o długości $2 a$ metrów $b$ centymetrów i szerokości $3 b$ metrów $a$ centymetrów. Ile metrów kwadratowych ma pole powierzchni piaskownicy?

R1OwJRQv9ZCin1

Rysunek obrazu w ramie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$6 ab + \frac{a^{2}}{50} + \frac{3 b^{2}}{100} + \frac{ab}{10000}$

Mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian

Działania na wyrażeniach algebraicznych