Mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian

iGObeb2iCp_d5e82

Już wiesz

Aby pomnożyć jednomian przez sumę algebraiczną, mnożymy każdy składnik sumy przez ten jednomian.
Aby podzielić sumę algebraiczną przez jednomian, dzielimy każdy składnik sumy przez ten jednomian.

R1WKk9Nh9TZcH1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Pomnóżmy sumę algebraiczną $2 x^{2} - 2 xy + 5 y$ przez liczbę $- 3 .$

- 3 · (2 x^{2} - 2 xy + 5 y) = - 3 · 2 x^{2} - (- 3) · 2 xy + (- 3) · 5 y = - 6 x^{2} + 6 xy - 15 y

Pomnóżmy teraz tę samą sumę przez jednomian $5 x^{2} y .$ Wykorzystamy twierdzenie dotyczące mnożenia potęg o tej samej podstawie.

5 x^{2} y · (2 x^{2} - 2 xy + 5 y) = 5 x^{2} y · 2 x^{2} - 5 x^{2} y · 2 xy + 5 x^{2} y · 5 y = 10 x^{4} y - 10 x^{3} y^{2} + 25 x^{2} y^{2}

Przykład 2

Podzielmy sumę algebraiczną $12 a^{2} b^{3} + 6 a b^{4} - 4 a^{3} b$ przez jednomian $2 ab .$ Skorzystamy z twierdzenia dotyczącego dzielenia potęg o tej samej podstawie.

\frac{12 a^{2} b^{3} + 6 a b^{4} - 4 a^{3} b}{2 ab} = \frac{12 a^{2} b^{3}}{2 ab} + \frac{6 a b^{4}}{2 ab} - \frac{4 a^{3} b}{2 ab} = 6 a b^{2} + 3 b^{3} - 2 a^{2}

Podzielmy teraz tę samą sumę przez jednomian $4 a^{2} b^{2}$ .

\frac{12 a^{2} b^{3} + 6 a b^{4} - 4 a^{3} b}{4 a^{2} b^{2}} = \frac{12 a^{2} b^{3}}{4 a^{2} b^{2}} + \frac{6 a b^{4}}{4 a^{2} b^{2}} - \frac{4 a^{3} b}{4 a^{2} b^{2}} = 3 b + 1,5 a^{- 1} b^{2} - a b^{- 1}

Ćwiczenie 1

Pomnóż jednomiany przez sumy algebraiczne.

$3 x^{2} y (- 2, 5 x^{3} y^{2} + 4 x y^{2} - 5 y)$
- $\frac{1}{3} ab (\frac{3}{4} a b^{3} - \frac{6}{11} a + 9 a^{4} b^{2})$
$- 1,2 k^{2} l^{3} (- 2,5 k l^{2} + 4,8 l^{3} - 5,2 k^{4} + 2 kl)$
$2,5 m^{2} n^{4} (- \frac{1}{2} m n^{2} - 0,4 m^{2} n + 3 \frac{1}{4} m^{3} n^{2})$
$- 2 x y^{6} (- 3, 5 x^{6} y + 4 x y^{2} - 0, 3 x^{3} y^{2})$
$\frac{ab}{2}$ $(- 4 a b^{3} + 12 a^{3} b - 0, 5 ab)$
$2 \sqrt{2} x^{2} y (- \sqrt{2} xy + 3 \sqrt{2} x y^{2} + \sqrt{2})$

$- 7,5 x^{5} y^{3} + 12 x^{3} y^{3} - 15 x^{2} y^{2}$
$- \frac{1}{4} a^{2} b^{4}$ + $\frac{2}{11} a^{2} b - 3 a^{5} b^{3}$
$3 k^{3} l^{5} - 5,76 k^{2} l^{6} + 6,24 k^{6} l^{3} - 2,4 k^{3} l^{4}$
$- 1,25 m^{3} n^{6} - m^{4} n^{5} + 9,375 m^{5} n^{6}$
$- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - 0,25 a^{2} b^{2}$
$- 2 a^{2} b^{4} + 6 a^{4} b^{2} - \frac{a^{2} b^{2}}{4}$
$- 4 x^{3} y^{2} + 12 x^{3} y^{3} + 4 x^{2} y$

Ćwiczenie 2

Podziel sumy algebraiczne przez jednomian.

$\frac{5 x^{2} y^{2} + 3 x^{3} y - 2 x y^{4}}{x^{2} y^{2}}$
$(- 18 x^{3} y^{5} + 3 x^{5} y^{3} - 9 x y^{4}) : (- 3 xy)$
$(24 a^{5} b^{4} - 18 a^{3} b^{4} + 12 a^{2} b) : 3 a^{2} b^{2}$
$\frac{- 1, 2 x^{2} y^{4} - 3, 6 x^{3} y + 2, 4 x y^{5}}{2 x^{3} y^{3}}$
$(3 \sqrt{3} a^{4} b^{3} - 2 \sqrt{3} ab + \sqrt{3} a b^{4}) : \sqrt{3} ab$

$5 + \frac{3 x}{y} - \frac{2 y^{2}}{x}$
$6 x^{2} y^{4} - x^{4} y^{2} + 3 y^{3}$
$8 a^{3} b^{2} - 6 a b^{2} + \frac{4}{b}$
$- \frac{0,6 y}{x} - 1,8 ∙ \frac{1}{y^{2}} + \frac{1,2 y^{2}}{x^{2}}$
$3 a^{3} b^{2} - 2 + b^{3}$

Ćwiczenie 3

R1dzCTddzpY8A1

Przeciągnij i upuść jednomiany tak, aby podane równości były prawdziwe.

$9 a^{3} b^{3}$ , $5 a b$ , $\sqrt{12} a^{2}$ , $3 a^{3} b$ , $5 a^{2} b$ , $- 3 a b^{3}$ , $10$ , $- 6 a b$

a) $4 a b^{2} (- 2 a + 3 b -$ ............ $) = - 8 a^{2} b^{2} + 12 a b^{3} - 20 a^{2} b^{3}$
b) $- 0, 75 a b (- 4 a^{2} + 12 a b^{3} -$ ............ $) =$ ............ $- 9 a^{2} b^{4} + 7, 5 a b$
c) $- \frac{2}{3} a ($ ............ $+ 9 a^{2} b + 12 a b^{2}) = 4 a^{2} b - 6 a^{3} b - 8 a^{2} b^{2}$
d) $\sqrt{3} a b^{2} (2 \sqrt{3} b -$ ............ $+ \sqrt{27} a^{2} b) = 6 a b^{3} - 6 a^{3} b^{2} +$ ............
e) $1, 2 b^{2} (- 2, 5 a b + 0, 1 a -$ ............ $) =$ ............ $+ 0, 12 a b^{2} - 6 a^{2} b^{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

classicmobile

Ćwiczenie 4

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1O6x9MI0eJIJ

static

Ćwiczenie 5

RGwnK5D6qH0hU1

Połącz w pary.

$- 4 x y (- 1, 5 x^{2} y + 2, 5 x y^{2})$
$\sqrt{5} x^{2} (2 \sqrt{5} x y^{2} - \sqrt{20} y^{2})$
$- \frac{3}{4} x y^{2} (8 x + 4 x y)$
$1, 2 x^{2} y^{2} (5 x - 10 y)$
$2 \sqrt[3]{2} x^{2} y (\sqrt[3]{4} x - \sqrt[3]{32} y^{2})$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

iGObeb2iCp_d5e402

Ćwiczenie 6

Dane są wyrażenia algebraiczne:
$A = - 5 x^{2} y^{2} + 3,5 x^{2} y - 7 x y^{2} + 9 xy$
$B = 5 xy$
Wykonaj działania i przedstaw wyniki w najprostszej postaci.

$A ∙ B$
$\frac{A}{B}$

$- 25 x^{3} y^{3} + 17,5 x^{3} y^{2} - 35 x^{2} y^{3} + 45 x^{2} y^{2}$
$- xy + 0,7 x - 1,4 y + 1,8$

Ćwiczenie 7

W trapezie krótsza podstawa ma długość $x + 2$ , dłuższa podstawa jest od niej o $2 y$ dłuższa, a wysokość wynosi $4 xy .$ Zapisz wyrażenie opisujące pole trapezu.

$4 x^{2} y + 4 x y^{2} + 8 xy$

Ćwiczenie 8

Na parkingu stoi $20$ pojazdów, z czego $x$ to samochody, a reszta to rowery. Ile kół mają łącznie wszystkie pojazdy stojące na tym parkingu?

$2 x + 40$

Ćwiczenie 9

Antek kolekcjonuje monety. W zbiorach Antka znajduje się $x$ monet polskich i o $2 y$ więcej monet pochodzenia zagranicznego. Zapisz wyrażenie opisujące ilość monet zgromadzonych przez Antka.

$2 x + 2 y$

Ćwiczenie 10

Przez pierwsze trzy miesiące roku pan Kowalski zarabiał miesięcznie po $x zł$ . W kwietniu, maju i czerwcu jego miesięczna pensja była niższa o $150 zł$ od pensji marcowej. W pozostałych sześciu miesiącach pensja miesięczna wynosiła $115 %$ pensji miesięcznej z pierwszego kwartału. Jakie było średnie miesięczne wynagrodzenie pana Kowalskiego w ciągu tego roku?

$1, 075 x - 37,5$

Jednomiany i sumy algebraiczne

Mnożenie sum algebraicznych