Dziedzina funkcji - przykłady i zadania
W tym materiale, na przykładach, omówione są sposoby wyznaczania dziedzin różnych funkcji, są tu także ćwiczenia, w których możesz sprawdzić swoje umiejętności z tego zakresu. Aby zrozumieć poruszane zagadnienie, przypomnij sobie informacje zawarte w materiale Co to jest dziedzina funkcji?Co to jest dziedzina funkcji?.
Wyznaczymy dziedzinę funkcji .
Zauważmy, że we wzorze funkcji występuje ułamek, a wyrażenie w mianowniku nie może przyjmować wartości . Sprawdźmy, czy istnieją takie liczby, dla których jej mianownik wynosi .
Dla liczby wzór funkcji nie ma sensu liczbowego, co oznacza że liczba ta nie należy do dziedziny funkcji. Dziedziną tej funkcji jest zatem zbiór .
R1V8nlpmlpwXc R1MAhIg2O0vli R91Nc4VboR9k0 R19ZEOx4wZaJE RVLR4pfTUAYOt
Wyznaczymy dziedzinę funkcji .
Zauważmy, że wzór funkcji zawiera pierwiastek kwadratowy. Wiemy, że wyrażenie pod takim pierwiastkiem nie może być mniejsze niż , ponieważ nie istnieją pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych. Oznacza to, że wyrażenie pod pierwiastkiem musi spełniać następujący warunek:
Wtedy
więc
Dziedziną tej funkcji jest przedział .
R1oejZURgJURN R1YPlak478qAj R1KkkSBMOxjkQ R1OgsPlgoGoBR RZIzKc3xYLr6K
Wyznaczymy dziedzinę funkcji .
Zauważmy, że we wzorze funkcji występuje dzielenie. Wartości funkcji możemy obliczyć wtedy, gdy wyrażenie z mianownika nie będzie przyjmowało wartości
. Sprawdźmy, dla jakich liczb rzeczywistych wyrażenie przyjmuje wartość .
Iloczyn trzech liczb równa się wtedy i tylko wtedy, kiedy przynajmniej jedna z nich równa się . Musimy zatem wykluczyć liczby, dla których co najmniej jeden z nawiasów przyjmuje wartość .
Oznacza to, że te trzy liczby nie należą do dziedziny funkcji . Dziedziną funkcji jest zatem zbiór .
R1HBcMyl6sgbL R1RhtTB6KD0d6 R1NNed8iOkuJE RGZK4iic6T5Oj RA4IjtWme80yo
Wyznaczymy dziedzinę funkcji .
Zauważmy, że wzór funkcji jest ilorazem. Sprawdźmy, czy istnieją takie liczby dla których wyrażenie z mianownika przyjmuje wartość .
Otrzymujemy sprzeczność, ponieważ wiemy, że każda liczba podniesiona do kwadratu jest nieujemna. Oznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej wartość wyrażenia z mianownika jest różna od , więc dla każdej liczby rzeczywistej wzór funkcji ma sens liczbowy. Zatem dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
RZYPNRkLdtwU4 RALDDkbUIEsk0 RC4fQkLcJ0Gjw RtTWnH5mAIz2C R12csg76SMj0U
Wyznaczymy jaką długość może mieć wybrany bok prostokąta, którego obwód wynosi .
Zauważmy, że każdy prostokąt ma dwie pary boków o takich samych długościach, oznacza to, że suma długości prostopadłych boków prostokąta musi być równa połowie jego obwodu, w naszym przypadku .
Wiemy, że bok prostokąta musi mieć długość większą niż i jednocześnie musi być krótszy niż połowa obwodu tego prostokąta.
Oznacza to, że długość wybranego boku tego prostokąta znajduje się w przedziale .
R1R9ta89r9rlF R1A084kEydS1c R11rJj7OM3tdK R1KxFoxfP7C4E RlDqvAgJzvpIX
RycqgzXOEyIiZ R1MHPQF31uDc4 RUG8qg83buEm2 RcbEoqLQR7ciy RJamZXOAyQaH1
Wyznaczymy dziedzinę funkcji .
Zauważmy, że wzór funkcji jest sumą dwóch pierwiastków kwadratowych. Wiemy, że wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym nie może być mniejsze niż , ponieważ nie istnieją pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych. Oznacza to, że wyrażenia pod pierwiastkami muszą spełniać następujące warunki:
Zatem, aby można było obliczyć wartości tej funkcji muszą być spełnione jednocześnie warunki:
Oznacza to, że dziedziną tej funkcji jest zbiór .
R1K7HKI6sm35h R9kwaQIINU3da RNCR7LAfA9pgZ R1Myaya3nXRGk R8xVRD1R15rkc
Wyznaczymy dziedzinę funkcji .
Zauważmy, że wzór funkcji jest sumą dwóch ułamków, a wartości wyrażeń w mianownikach nie mogą być równe . Sprawdźmy, czy istnieją takie liczby, dla których mianowniki ułamków wynoszą . Sprawdźmy, dla jakich liczb zachodzą równości
Rozwiązaniem powyższych równości są liczby
Oznacza to, że dziedziną tej funkcji jest zbiór .
R1WAOBNoBEGGK R10BOyyOhowrd R1DzAYbTTUvpN R1HJFXLbvTXbW Rq4jsCUChYJua
RNso6m5TfZqoI Rnt0VPGq1Cv9I RPRvkU06YvElz RFwJ3QYBqAzcJ R1HiNnQ0GGtUn
R1W0qS9cgHsBQ Rxj9bU0Qf8xE4 R16GYYWxJd0zF Rgksg43WEzoU8 RUg8xRDPuniw0
R1LydLsoY9JtP RBUKNIcMTHn5t RGTdzs1T9abIb RVoefi5cqInnF R1DWB5PnVBY96
RaxxVHkiusOg2 RVTMQxCpKNE5Y RMa9eOT4qEzrg RSxaxp25XccoI R1Yx0jp83yio6
Wyznaczymy wzór funkcji opisujący wysokość trójkąta równoramiennego o podstawie długości i ramieniu długości , uzależniony od zmiennej .
Do wyznaczenia wzoru poszukiwanej funkcji wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa. Zauważmy, że
Oznacza to, że poszukiwany wzór to
RP8nHueWZ4Y5M RrawlHulupyAS RLPXUl1LLq3t7 R15gqzitS6g6t R1BgzqVocdAHl
R14aoFAFKQo1u RbeFQvDkdjA0D RFd2zF6v14vVU RCKpQypZwQzhV RMGMG5KCe7doo
Wyznaczymy wzór funkcji opisujący obwód prostokąta o polu równym i długości jednego z boków równej , uzależniony od zmiennej .
Skoro jeden bok tego prostokąta ma długość , a pole prostokąta wynosi , to drugi bok tego prostokąta musi mieć długość .
Do wyznaczenia wzoru szukanej funkcji wykorzystajmy wzór na obwód prostokąta.
Oznacza to, że poszukiwany wzór to
RLAOfRbw7sibS R1IvJlwPdKy7E R1J3icRfUcBhE R1K6RPpZ1gtbY R1S4Wqx5mBBMG
R1HoDHPk1JSQJ RYuRSBXENtV2Q RIv12Kvv2kiNs ROA4wV0QqtSjy R1QNnK8bbt3M8