Dziedzina funkcji - przykłady i zadania

W tym materiale, na przykładach, omówione są sposoby wyznaczania dziedzin różnych funkcji, są tu także ćwiczenia, w których możesz sprawdzić swoje umiejętności z tego zakresu. Aby zrozumieć poruszane zagadnienie, przypomnij sobie informacje zawarte w materiale Co to jest dziedzina funkcji?DvCiFGuJECo to jest dziedzina funkcji?.

Przykład 1

Wyznaczymy dziedzinę funkcji $\frac{x + 1}{2 x + 6}$ .

Zauważmy, że we wzorze funkcji występuje ułamek, a wyrażenie w mianowniku nie może przyjmować wartości $0$ . Sprawdźmy, czy istnieją takie liczby, dla których jej mianownik wynosi $0$ .

2 x + 6 = 0 | - 6

2 x = - 6 | : 2

x = - 3

Dla liczby $- 3$ wzór funkcji nie ma sensu liczbowego, co oznacza że liczba ta nie należy do dziedziny funkcji. Dziedziną tej funkcji jest zatem zbiór $ℝ ∖ \{- 3\}$ .

Ćwiczenie 1

R1V8nlpmlpwXc
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Liczba $7$ nie należy do dziedziny funkcji Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{9}{x + 7}$ , 2. $f (x) = \frac{7 x + 1}{7 x - 7}$ , 3. $f (x) = \frac{6}{2 x - 14}$ , 4. $f (x) = \frac{12}{3 x - 7}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1MAhIg2O0vli
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Liczba $3$ nie należy do dziedziny funkcji Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{5}{x + 3}$ , 2. $f (x) = \frac{3 x + 1}{3 x - 3}$ , 3. $f (x) = \frac{2}{2 x - 6}$ , 4. $f (x) = \frac{8}{3 x - 3}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R91Nc4VboR9k0
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Liczba $9$ nie należy do dziedziny funkcji Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{11}{x + 9}$ , 2. $f (x) = \frac{9 x + 1}{9 x - 9}$ , 3. $f (x) = \frac{14}{3 x - 9}$ , 4. $f (x) = \frac{8}{2 x - 18}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R19ZEOx4wZaJE
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Liczba $4$ nie należy do dziedziny funkcji Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{6}{x + 4}$ , 2. $f (x) = \frac{4 x + 1}{4 x - 4}$ , 3. $f (x) = \frac{9}{3 x - 4}$ , 4. $f (x) = \frac{3}{2 x - 8}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RVLR4pfTUAYOt
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Liczba $6$ nie należy do dziedziny funkcji Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{8}{x + 6}$ , 2. $f (x) = \frac{6 x + 1}{6 x - 6}$ , 3. $f (x) = \frac{11}{3 x - 6}$ , 4. $f (x) = \frac{5}{2 x - 12}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

Wyznaczymy dziedzinę funkcji $f (x) = \sqrt{8 - 2 x}$ .

Zauważmy, że wzór funkcji zawiera pierwiastek kwadratowy. Wiemy, że wyrażenie pod takim pierwiastkiem nie może być mniejsze niż $0$ , ponieważ nie istnieją pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych. Oznacza to, że wyrażenie pod pierwiastkiem musi spełniać następujący warunek:

8 - 2 x \geq 0

Wtedy

8 - 2 x \geq 0 | + 2 x

8 \geq 2 x | : 2

więc

x \leq 4

Dziedziną tej funkcji jest przedział $(- \infty, 4⟩$ .

Ćwiczenie 2

R1oejZURgJURN
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Dziedziną funkcji $f (x) = \sqrt{15 - 3 x}$ jest przedział Możliwe odpowiedzi: 1. $(- \infty, 5⟩$ , 2. $(- \infty, - 5⟩$ , 3. $⟨5, + \infty)$ , 4. $⟨- 5, + \infty)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1YPlak478qAj
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Dziedziną funkcji $f (x) = \sqrt{27 - 3 x}$ jest przedział Możliwe odpowiedzi: 1. $(- \infty, 9⟩$ , 2. $(- \infty, - 9⟩$ , 3. $⟨9, + \infty)$ , 4. $⟨- 9, + \infty)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1KkkSBMOxjkQ
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Dziedziną funkcji $f (x) = \sqrt{18 - 3 x}$ jest przedział Możliwe odpowiedzi: 1. $(- \infty, 6⟩$ , 2. $(- \infty, - 6⟩$ , 3. $⟨6, + \infty)$ , 4. $⟨- 6, + \infty)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1OgsPlgoGoBR
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Dziedziną funkcji $f (x) = \sqrt{12 - 3 x}$ jest przedział Możliwe odpowiedzi: 1. $(- \infty, 4⟩$ , 2. $(- \infty, - 4⟩$ , 3. $⟨4, + \infty)$ , 4. $⟨- 4, + \infty)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RZIzKc3xYLr6K
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Dziedziną funkcji $f (x) = \sqrt{15 - 3 x}$ jest przedział Możliwe odpowiedzi: 1. $(- \infty, 5⟩$ , 2. $(- \infty, - 5⟩$ , 3. $⟨5, + \infty)$ , 4. $⟨- 5, + \infty)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 3

Wyznaczymy dziedzinę funkcji $f (x) = \frac{2 x^{2} + 3 x}{(x + 2) (x - 3) (x + 5)}$ .

Zauważmy, że we wzorze funkcji występuje dzielenie. Wartości funkcji możemy obliczyć wtedy, gdy wyrażenie z mianownika nie będzie przyjmowało wartości
$0$ . Sprawdźmy, dla jakich liczb rzeczywistych wyrażenie przyjmuje wartość $0$ .

(x + 2) (x - 3) (x + 5) = 0

Iloczyn trzech liczb równa się $0$ wtedy i tylko wtedy, kiedy przynajmniej jedna z nich równa się $0$ . Musimy zatem wykluczyć liczby, dla których co najmniej jeden z nawiasów przyjmuje wartość $0$ .

x + 2 = 0

, dla

x = - 2

x - 3 = 0

, dla

x = 3

x + 5 = 0

, dla

x = - 5

Oznacza to, że te trzy liczby nie należą do dziedziny funkcji $f$ . Dziedziną funkcji $f$ jest zatem zbiór $ℝ ∖ \{- 5, - 2, 3\}$ .

Ćwiczenie 3

R1HBcMyl6sgbL
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \frac{4 x^{2} + 5}{(x - 4) (x + 9) (x + 5)}$ należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $- 5$ , 2. $- 9$ , 3. $4$ , 4. $- 4$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1RhtTB6KD0d6
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \frac{6 x^{2} + 5}{(x - 6) (x + 11) (x + 5)}$ należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $- 5$ , 2. $- 11$ , 3. $6$ , 4. $- 4$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1NNed8iOkuJE
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \frac{6 x^{2} + 7}{(x - 6) (x + 13) (x + 7)}$ należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $- 5$ , 2. $- 11$ , 3. $6$ , 4. $- 4$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RGZK4iic6T5Oj
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \frac{3 x^{2} + 3}{(x - 3) (x + 6) (x + 3)}$ należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $- 6$ , 2. $- 3$ , 3. $3$ , 4. $- 2$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RA4IjtWme80yo
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \frac{4 x^{2} + 6}{(x - 4) (x + 10) (x + 6)}$ należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $- 6$ , 2. $- 10$ , 3. $4$ , 4. $- 5$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

Wyznaczymy dziedzinę funkcji $f (x) = \frac{2 x + 6}{3 x^{2} + 1}$ .

Zauważmy, że wzór funkcji jest ilorazem. Sprawdźmy, czy istnieją takie liczby dla których wyrażenie z mianownika przyjmuje wartość $0$ .

3 x^{2} + 1 = 0 | - 1

3 x^{2} = - 1 | : 3

x^{2} = - \frac{1}{3}

Otrzymujemy sprzeczność, ponieważ wiemy, że każda liczba podniesiona do kwadratu jest nieujemna. Oznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej wartość wyrażenia z mianownika jest różna od $0$ , więc dla każdej liczby rzeczywistej wzór funkcji ma sens liczbowy. Zatem dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Ćwiczenie 4

RZYPNRkLdtwU4
Zaznacz funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x - 6}{x - 6}$ , 2. $f (x) = \frac{2 x + 7}{6 x + 1}$ , 3. $f (x) = \frac{8}{6 - 7 x}$ , 4. $f (x) = \frac{x^{2} + 24}{x^{2} + 6}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RALDDkbUIEsk0
Zaznacz funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x - 69}{x - 69}$ , 2. $f (x) = \frac{2 x + 70}{69 x + 1}$ , 3. $f (x) = \frac{71}{69 - 70 x}$ , 4. $f (x) = \frac{4 x^{2} + 276}{x^{2} + 69}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RC4fQkLcJ0Gjw
Zaznacz funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x - 56}{x - 56}$ , 2. $f (x) = \frac{2 x + 57}{56 x + 1}$ , 3. $f (x) = \frac{58}{56 - 57 x}$ , 4. $f (x) = \frac{4 x^{2} + 224}{x^{2} + 56}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RtTWnH5mAIz2C
Zaznacz funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x - 48}{x - 48}$ , 2. $f (x) = \frac{2 x + 49}{48 x + 1}$ , 3. $f (x) = \frac{50}{48 - 49 x}$ , 4. $f (x) = \frac{4 x^{2} + 192}{x^{2} + 48}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R12csg76SMj0U
Zaznacz funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x - 44}{x - 44}$ , 2. $f (x) = \frac{2 x + 45}{44 x + 1}$ , 3. $f (x) = \frac{46}{44 - 45 x}$ , 4. $f (x) = \frac{4 x^{2} + 176}{x^{2} + 44}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 5

Wyznaczymy jaką długość może mieć wybrany bok prostokąta, którego obwód wynosi $50$ .

Zauważmy, że każdy prostokąt ma dwie pary boków o takich samych długościach, oznacza to, że suma długości prostopadłych boków prostokąta musi być równa połowie jego obwodu, w naszym przypadku $25$ .

Wiemy, że bok prostokąta musi mieć długość większą niż $0$ i jednocześnie musi być krótszy niż połowa obwodu tego prostokąta.

Oznacza to, że długość wybranego boku tego prostokąta znajduje się w przedziale $(0, 25)$ .

Ćwiczenie 5

R1R9ta89r9rlF
Rozważmy wszystkie prostokąty, których obwód jest równy $48$ . Zaznacz prawidłowe zakończenia zdania. Wybrany bok takiego prostokąta może być dowolną liczbą rzeczywistą z przedziału Możliwe odpowiedzi: 1. $⟨0, 12⟩$ , 2. $(\frac{1}{2}, \frac{147}{4})$ , 3. $(0, 24)$ , 4. $(1, 27)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1A084kEydS1c
Rozważmy wszystkie prostokąty, których obwód jest równy $28$ . Zaznacz prawidłowe zakończenia zdania. Wybrany bok takiego prostokąta może być dowolną liczbą rzeczywistą z przedziału Możliwe odpowiedzi: 1. $⟨0, 7⟩$ , 2. $(\frac{1}{2}, \frac{87}{4})$ , 3. $(0, 14)$ , 4. $(1, 17)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R11rJj7OM3tdK
Rozważmy wszystkie prostokąty, których obwód jest równy $60$ . Zaznacz prawidłowe zakończenia zdania. Wybrany bok takiego prostokąta może być dowolną liczbą rzeczywistą z przedziału Możliwe odpowiedzi: 1. $⟨0, 15⟩$ , 2. $(\frac{1}{2}, \frac{183}{4})$ , 3. $(0, 30)$ , 4. $(1, 33)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1KxFoxfP7C4E
Rozważmy wszystkie prostokąty, których obwód jest równy $64$ . Zaznacz prawidłowe zakończenia zdania. Wybrany bok takiego prostokąta może być dowolną liczbą rzeczywistą z przedziału Możliwe odpowiedzi: 1. $⟨0, 16⟩$ , 2. $(\frac{1}{2}, \frac{195}{4})$ , 3. $(0, 32)$ , 4. $(1, 35)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RlDqvAgJzvpIX
Rozważmy wszystkie prostokąty, których obwód jest równy $56$ . Zaznacz prawidłowe zakończenia zdania. Wybrany bok takiego prostokąta może być dowolną liczbą rzeczywistą z przedziału Możliwe odpowiedzi: 1. $⟨0, 14⟩$ , 2. $(\frac{1}{2}, \frac{171}{4})$ , 3. $(0, 28)$ , 4. $(1, 31)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

RycqgzXOEyIiZ
Zaznacz funkcję, do dziedziny której należy każda liczba ze zbioru $\{- 15, - 6, 0, 6\}$ . Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{2 x - 15}{3 x + 18}$ , 2. $f (x) = \frac{- 15 x - 6}{4 - 4 x}$ , 3. $f (x) = \frac{21 x - 1}{2 x + 30}$ , 4. $f (x) = \frac{x - 2}{48 - 8 x}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1MHPQF31uDc4
Zaznacz funkcję, do dziedziny której należy każda liczba ze zbioru $\{- 16, - 3, 0, 3\}$ . Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{2 x - 16}{3 x + 9}$ , 2. $f (x) = \frac{- 16 x - 3}{7 - 7 x}$ , 3. $f (x) = \frac{19 x - 1}{2 x + 32}$ , 4. $f (x) = \frac{x - 2}{24 - 8 x}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RUG8qg83buEm2
Zaznacz funkcję, do dziedziny której należy każda liczba ze zbioru $\{- 13, - 9, 0, 9\}$ . Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{2 x - 13}{3 x + 27}$ , 2. $f (x) = \frac{- 13 x - 9}{5 - 5 x}$ , 3. $f (x) = \frac{22 x - 1}{2 x + 26}$ , 4. $f (x) = \frac{x - 2}{72 - 8 x}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RcbEoqLQR7ciy
Zaznacz funkcję, do dziedziny której należy każda liczba ze zbioru $\{- 17, - 5, 0, 5\}$ . Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{2 x - 17}{3 x + 15}$ , 2. $f (x) = \frac{- 17 x - 5}{2 - 2 x}$ , 3. $f (x) = \frac{22 x - 1}{2 x + 34}$ , 4. $f (x) = \frac{x - 2}{40 - 8 x}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RJamZXOAyQaH1
Zaznacz funkcję, do dziedziny której należy każda liczba ze zbioru $\{- 14, - 5, 0, 5\}$ . Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{2 x - 14}{3 x + 15}$ , 2. $f (x) = \frac{- 14 x - 5}{5 - 5 x}$ , 3. $f (x) = \frac{19 x - 1}{2 x + 28}$ , 4. $f (x) = \frac{x - 2}{40 - 8 x}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 6

Wyznaczymy dziedzinę funkcji $f (x) = \sqrt{7 - x} + \sqrt{x - 5}$ .

Zauważmy, że wzór funkcji jest sumą dwóch pierwiastków kwadratowych. Wiemy, że wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym nie może być mniejsze niż $0$ , ponieważ nie istnieją pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych. Oznacza to, że wyrażenia pod pierwiastkami muszą spełniać następujące warunki:

7 - x \geq 0

oraz

x - 5 \geq 0

Zatem, aby można było obliczyć wartości tej funkcji muszą być spełnione jednocześnie warunki:

x \leq 7

oraz

x \geq 5

Oznacza to, że dziedziną tej funkcji jest zbiór $⟨5, 7⟩$ .

Ćwiczenie 7

R1K7HKI6sm35h
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \sqrt{9 - x} + \sqrt{x - 6}$ należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $11$ , 2. $10$ , 3. $7$ , 4. $5$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R9kwaQIINU3da
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \sqrt{7 - x} + \sqrt{x - 4}$ należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $9$ , 2. $8$ , 3. $5$ , 4. $3$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RNCR7LAfA9pgZ
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \sqrt{6 - x} + \sqrt{x - 3}$ należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $8$ , 2. $7$ , 3. $4$ , 4. $2$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Myaya3nXRGk
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \sqrt{12 - x} + \sqrt{x - 9}$ należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $14$ , 2. $13$ , 3. $10$ , 4. $8$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R8xVRD1R15rkc
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \sqrt{10 - x} + \sqrt{x - 7}$ należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $12$ , 2. $11$ , 3. $8$ , 4. $6$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 7

Wyznaczymy dziedzinę funkcji $f (x) = \frac{1}{4 x + 2} + \frac{7}{x - 5}$ .

Zauważmy, że wzór funkcji jest sumą dwóch ułamków, a wartości wyrażeń w mianownikach nie mogą być równe $0$ . Sprawdźmy, czy istnieją takie liczby, dla których mianowniki ułamków wynoszą $0$ . Sprawdźmy, dla jakich liczb zachodzą równości

4 x + 2 = 0

oraz

x - 5 = 0

Rozwiązaniem powyższych równości są liczby

x = - \frac{1}{2}

oraz

x = 5

Oznacza to, że dziedziną tej funkcji jest zbiór $ℝ ∖ \{- \frac{1}{2}, 5\}$ .

Ćwiczenie 8

R1WAOBNoBEGGK
Zaznacz wszystkie prawidłowe zakończenia zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \frac{1}{14 x - 14} + \frac{2}{x + 14}$ nie należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $1$ , 2. $- 12$ , 3. $- 13$ , 4. $- 14$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R10BOyyOhowrd
Zaznacz wszystkie prawidłowe zakończenia zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \frac{1}{7 x - 7} + \frac{2}{x + 7}$ nie należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $1$ , 2. $- 5$ , 3. $- 6$ , 4. $- 7$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1DzAYbTTUvpN
Zaznacz wszystkie prawidłowe zakończenia zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \frac{1}{16 x - 16} + \frac{2}{x + 16}$ nie należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $1$ , 2. $- 14$ , 3. $- 15$ , 4. $- 16$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1HJFXLbvTXbW
Zaznacz wszystkie prawidłowe zakończenia zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \frac{1}{20 x - 20} + \frac{2}{x + 20}$ nie należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $1$ , 2. $- 18$ , 3. $- 19$ , 4. $- 20$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rq4jsCUChYJua
Zaznacz wszystkie prawidłowe zakończenia zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \frac{1}{25 x - 25} + \frac{2}{x + 25}$ nie należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $1$ , 2. $- 23$ , 3. $- 24$ , 4. $- 25$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

RNso6m5TfZqoI
Do dziedziny której z poniższych funkcji, należy każda liczba rzeczywista większa od $9$ ? Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x^{2} + 9 x}{x^{2} - 64}$ , 2. $f (x) = \frac{2 x + 9}{x - 10}$ , 3. $f (x) = \sqrt{9 - x}$ , 4. $f (x) = \frac{3 x - 9}{\sqrt{x - 8}}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rnt0VPGq1Cv9I
Do dziedziny której z poniższych funkcji, należy każda liczba rzeczywista większa od $9$ ? Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} - 4}$ , 2. $f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 4}$ , 3. $f (x) = \sqrt{3 - x}$ , 4. $f (x) = \frac{3 x - 3}{\sqrt{x - 4}}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RPRvkU06YvElz
Do dziedziny której z poniższych funkcji, należy każda liczba rzeczywista większa od $7$ ? Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x^{2} + 7 x}{x^{2} - 36}$ , 2. $f (x) = \frac{2 x + 7}{x - 8}$ , 3. $f (x) = \sqrt{7 - x}$ , 4. $f (x) = \frac{3 x - 7}{\sqrt{x - 8}}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RFwJ3QYBqAzcJ
Do dziedziny której z poniższych funkcji, należy każda liczba rzeczywista większa od $6$ ? Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x^{2} + 6 x}{x^{2} - 25}$ , 2. $f (x) = \frac{2 x + 6}{x - 7}$ , 3. $f (x) = \sqrt{6 - x}$ , 4. $f (x) = \frac{3 x - 6}{\sqrt{x - 7}}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1HiNnQ0GGtUn
Do dziedziny której z poniższych funkcji, należy każda liczba rzeczywista większa od $4$ ? Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x^{2} + 4 x}{x^{2} - 9}$ , 2. $f (x) = \frac{2 x + 4}{x - 5}$ , 3. $f (x) = \sqrt{4 - x}$ , 4. $f (x) = \frac{3 x - 4}{\sqrt{x - 5}}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

R1W0qS9cgHsBQ
Zaznacz wszystkie prawidłowe zakończenia zdania. Każda ujemna liczba całkowita należy do dziedziny funkcji Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x - 12}{x + 11}$ , 2. $f (x) = \frac{4}{x - 11}$ , 3. $f (x) = \sqrt{x - 12}$ , 4. $f (x) = \sqrt{13 - x}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rxj9bU0Qf8xE4
Zaznacz wszystkie prawidłowe zakończenia zdania. Każda ujemna liczba całkowita należy do dziedziny funkcji Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x - 6}{x + 5}$ , 2. $f (x) = \frac{x + 8}{x - 5}$ , 3. $f (x) = \sqrt{x - 6}$ , 4. $f (x) = \sqrt{7 - x}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R16GYYWxJd0zF
Zaznacz wszystkie prawidłowe zakończenia zdania. Każda ujemna liczba całkowita należy do dziedziny funkcji Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x - 16}{x + 15}$ , 2. $f (x) = \frac{x + 18}{x - 15}$ , 3. $f (x) = \sqrt{x - 16}$ , 4. $f (x) = \sqrt{17 - x}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rgksg43WEzoU8
Zaznacz wszystkie prawidłowe zakończenia zdania. Każda ujemna liczba całkowita należy do dziedziny funkcji Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x - 8}{x + 7}$ , 2. $f (x) = \frac{x + 10}{x - 7}$ , 3. $f (x) = \sqrt{x - 8}$ , 4. $f (x) = \sqrt{9 - x}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RUg8xRDPuniw0
Zaznacz wszystkie prawidłowe zakończenia zdania. Każda ujemna liczba całkowita należy do dziedziny funkcji Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x - 4}{x + 3}$ , 2. $f (x) = \frac{x + 6}{x - 3}$ , 3. $f (x) = \sqrt{x - 4}$ , 4. $f (x) = \sqrt{5 - x}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

R1LydLsoY9JtP
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Zbiór $ℝ$ wszystkich liczb rzeczywistych jest dziedziną funkcji Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x - 7}{9}$ , 2. $f (x) = \frac{14 x + 14}{7 x - 7}$ , 3. $f (x) = \frac{7 x + 1}{28 x^{2} - 7}$ , 4. $f (x) = \sqrt{x^{2} + 7}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RBUKNIcMTHn5t
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Zbiór $ℝ$ wszystkich liczb rzeczywistych jest dziedziną funkcji Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x - 5}{7}$ , 2. $f (x) = \frac{10 x + 10}{5 x - 5}$ , 3. $f (x) = \frac{5 x + 1}{20 x^{2} - 5}$ , 4. $f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RGTdzs1T9abIb
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Zbiór $ℝ$ wszystkich liczb rzeczywistych jest dziedziną funkcji Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x - 8}{10}$ , 2. $f (x) = \frac{16 x + 16}{8 x - 8}$ , 3. $f (x) = \frac{8 x + 1}{32 x^{2} - 8}$ , 4. $f (x) = \sqrt{x^{2} + 8}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RVoefi5cqInnF
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Zbiór $ℝ$ wszystkich liczb rzeczywistych jest dziedziną funkcji Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x - 11}{13}$ , 2. $f (x) = \frac{22 x + 22}{11 x - 11}$ , 3. $f (x) = \frac{11 x + 1}{44 x^{2} - 11}$ , 4. $f (x) = \sqrt{x^{2} + 11}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1DWB5PnVBY96
Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania. Zbiór $ℝ$ wszystkich liczb rzeczywistych jest dziedziną funkcji Możliwe odpowiedzi: 1. $f (x) = \frac{x - 6}{8}$ , 2. $f (x) = \frac{12 x + 12}{6 x - 6}$ , 3. $f (x) = \frac{6 x + 1}{24 x^{2} - 6}$ , 4. $f (x) = \sqrt{x^{2} + 6}$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

RaxxVHkiusOg2
Zaznacz wszystkie prawidłowe zakończenia zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \sqrt{3 x - 33} + \sqrt{12 - x}$ należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $14$ , 2. $13$ , 3. $12$ , 4. $11$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RVTMQxCpKNE5Y
Zaznacz wszystkie prawidłowe zakończenia zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \sqrt{3 x - 18} + \sqrt{7 - x}$ należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $9$ , 2. $8$ , 3. $7$ , 4. $6$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RMa9eOT4qEzrg
Zaznacz wszystkie prawidłowe zakończenia zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \sqrt{3 x - 15} + \sqrt{6 - x}$ należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $8$ , 2. $7$ , 3. $6$ , 4. $5$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RSxaxp25XccoI
Zaznacz wszystkie prawidłowe zakończenia zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \sqrt{3 x - 12} + \sqrt{5 - x}$ należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $7$ , 2. $6$ , 3. $5$ , 4. $4$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Yx0jp83yio6
Zaznacz wszystkie prawidłowe zakończenia zdania. Do dziedziny funkcji $f (x) = \sqrt{3 x - 39} + \sqrt{14 - x}$ należy liczba Możliwe odpowiedzi: 1. $16$ , 2. $15$ , 3. $14$ , 4. $13$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 8

Wyznaczymy wzór funkcji opisujący wysokość $h$ trójkąta równoramiennego o podstawie długości $6$ i ramieniu długości $x$ , uzależniony od zmiennej $x$ .

Do wyznaczenia wzoru poszukiwanej funkcji wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa. Zauważmy, że

h^{2} + 3^{2} = x^{2} | - 3^{2}

h^{2} = x^{2} - 3^{2}

h = \sqrt{x^{2} - 9}

Oznacza to, że poszukiwany wzór to

h (x) = \sqrt{x^{2} - 9}

Ćwiczenie 13

RP8nHueWZ4Y5M
Rozpatrzmy wszystkie trójkąty równoramienne, których podstawa ma długość $18$ . Przyjmijmy, że ramię takiego trójkąta ma długość $x$ . Jeżeli wysokość $h$ takiego trójkąta uzależnimy od $x$ , to Możliwe odpowiedzi: 1. $h$ jest funkcją $x$ postaci $h (x) = \sqrt{x^{2} - 81}$ , 2. $h$ jest funkcją $x$ postaci $h (x) = \sqrt{x^{2} + 81}$ , 3. dziedziną otrzymanej funkcji $h$ jest przedział $(0, + \infty)$ , 4. dziedziną otrzymanej funkcji $h$ jest przedział $(9, + \infty)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RrawlHulupyAS
Rozpatrzmy wszystkie trójkąty równoramienne, których podstawa ma długość $11$ . Przyjmijmy, że ramię takiego trójkąta ma długość $x$ . Jeżeli wysokość $h$ takiego trójkąta uzależnimy od $x$ , to Możliwe odpowiedzi: 1. $h$ jest funkcją $x$ postaci $h (x) = \sqrt{x^{2} - 121}$ , 2. $h$ jest funkcją $x$ postaci $h (x) = \sqrt{x^{2} + 121}$ , 3. dziedziną otrzymanej funkcji $h$ jest przedział $(0, + \infty)$ , 4. dziedziną otrzymanej funkcji $h$ jest przedział $(11, + \infty)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RLPXUl1LLq3t7
Rozpatrzmy wszystkie trójkąty równoramienne, których podstawa ma długość $8$ . Przyjmijmy, że ramię takiego trójkąta ma długość $x$ . Jeżeli wysokość $h$ takiego trójkąta uzależnimy od $x$ , to Możliwe odpowiedzi: 1. $h$ jest funkcją $x$ postaci $h (x) = \sqrt{x^{2} - 64}$ , 2. $h$ jest funkcją $x$ postaci $h (x) = \sqrt{x^{2} + 64}$ , 3. dziedziną otrzymanej funkcji $h$ jest przedział $(0, + \infty)$ , 4. dziedziną otrzymanej funkcji $h$ jest przedział $(8, + \infty)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R15gqzitS6g6t
Rozpatrzmy wszystkie trójkąty równoramienne, których podstawa ma długość $3$ . Przyjmijmy, że ramię takiego trójkąta ma długość $x$ . Jeżeli wysokość $h$ takiego trójkąta uzależnimy od $x$ , to Możliwe odpowiedzi: 1. $h$ jest funkcją $x$ postaci $h (x) = \sqrt{x^{2} - 9}$ , 2. $h$ jest funkcją $x$ postaci $h (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ , 3. dziedziną otrzymanej funkcji $h$ jest przedział $(0, + \infty)$ , 4. dziedziną otrzymanej funkcji $h$ jest przedział $(3, + \infty)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1BgzqVocdAHl
Rozpatrzmy wszystkie trójkąty równoramienne, których podstawa ma długość $7$ . Przyjmijmy, że ramię takiego trójkąta ma długość $x$ . Jeżeli wysokość $h$ takiego trójkąta uzależnimy od $x$ , to Możliwe odpowiedzi: 1. $h$ jest funkcją $x$ postaci $h (x) = \sqrt{x^{2} - 49}$ , 2. $h$ jest funkcją $x$ postaci $h (x) = \sqrt{x^{2} + 49}$ , 3. dziedziną otrzymanej funkcji $h$ jest przedział $(0, + \infty)$ , 4. dziedziną otrzymanej funkcji $h$ jest przedział $(7, + \infty)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

R14aoFAFKQo1u
Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Najmniejsza liczba całkowita, które należy do dziedziny funkcji $f (x) = \frac{\sqrt{3 - x}}{x + 8} + \frac{8 x - 1}{\sqrt{x + 10}}$ to Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RbeFQvDkdjA0D
Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Najmniejsza liczba całkowita, która należy do dziedziny funkcji $f (x) = \frac{\sqrt{3 - x}}{x + 10} + \frac{10 x - 1}{\sqrt{x + 12}}$ to Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RFd2zF6v14vVU
Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Najmniejsza liczba całkowita, która należy do dziedziny funkcji $f (x) = \frac{\sqrt{3 - x}}{x + 9} + \frac{9 x - 1}{\sqrt{x + 11}}$ to Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RCKpQypZwQzhV
Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Najmniejsza liczba całkowita, która należy do dziedziny funkcji $f (x) = \frac{\sqrt{3 - x}}{x + 5} + \frac{5 x - 1}{\sqrt{x + 7}}$ to Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RMGMG5KCe7doo
Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Najmniejsza liczba całkowita, która należy do dziedziny funkcji $f (x) = \frac{\sqrt{3 - x}}{x + 4} + \frac{4 x - 1}{\sqrt{x + 6}}$ to Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 9

Wyznaczymy wzór funkcji opisujący obwód $l$ prostokąta o polu równym $25$ i długości jednego z boków równej $x$ , uzależniony od zmiennej $x$ .

Skoro jeden bok tego prostokąta ma długość $x$ , a pole prostokąta wynosi $25$ , to drugi bok tego prostokąta musi mieć długość $\frac{25}{x}$ .

Do wyznaczenia wzoru szukanej funkcji wykorzystajmy wzór na obwód prostokąta.

l = 2 x + 2 \cdot \frac{25}{x}

Oznacza to, że poszukiwany wzór to

l (x) = 2 x + 50 \cdot \frac{1}{x}

Ćwiczenie 15

RLAOfRbw7sibS
Rozpatrzmy wszystkie prostokąty o polu równym $100$ . Oznaczmy wierzchołki takiego prostokąta przez $A$ , $B$ , $C$ , $D$ i przyjmijmy, że $|A B| = x$ . Uzależnij od $x$ obwód $l$ prostokąta $A B C D$ i ustal dziedzinę funkcji $l$ , a następnie uzupełnij poniższe zapisy, wpisując w luki odpowiednie liczby. $l (x) = 2 x +$ Tu uzupełnij $\cdot \frac{1}{x}$ $D_{l} = ($ Tu uzupełnij $, \infty)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1IvJlwPdKy7E
Rozpatrzmy wszystkie prostokąty o polu równym $36$ . Oznaczmy wierzchołki takiego prostokąta przez $A$ , $B$ , $C$ , $D$ i przyjmijmy, że $|A B| = x$ . Uzależnij od $x$ obwód $l$ prostokąta $A B C D$ i ustal dziedzinę funkcji $l$ , a następnie uzupełnij poniższe zapisy, wpisując w luki odpowiednie liczby. $l (x) = 2 x +$ Tu uzupełnij $\cdot \frac{1}{x}$ $D_{l} = ($ Tu uzupełnij $, \infty)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1J3icRfUcBhE
Rozpatrzmy wszystkie prostokąty o polu równym $49$ . Oznaczmy wierzchołki takiego prostokąta przez $A$ , $B$ , $C$ , $D$ i przyjmijmy, że $|A B| = x$ . Uzależnij od $x$ obwód $l$ prostokąta $A B C D$ i ustal dziedzinę funkcji $l$ , a następnie uzupełnij poniższe zapisy, wpisując w luki odpowiednie liczby. $l (x) = 2 x +$ Tu uzupełnij $\cdot \frac{1}{x}$ $D_{l} = ($ Tu uzupełnij $, \infty)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1K6RPpZ1gtbY
Rozpatrzmy wszystkie prostokąty o polu równym $81$ . Oznaczmy wierzchołki takiego prostokąta przez $A$ , $B$ , $C$ , $D$ i przyjmijmy, że $|A B| = x$ . Uzależnij od $x$ obwód $l$ prostokąta $A B C D$ i ustal dziedzinę funkcji $l$ , a następnie uzupełnij poniższe zapisy, wpisując w luki odpowiednie liczby. $l (x) = 2 x +$ Tu uzupełnij $\cdot \frac{1}{x}$ $D_{l} = ($ Tu uzupełnij $, \infty)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1S4Wqx5mBBMG
Rozpatrzmy wszystkie prostokąty o polu równym $64$ . Oznaczmy wierzchołki takiego prostokąta przez $A$ , $B$ , $C$ , $D$ i przyjmijmy, że $|A B| = x$ . Uzależnij od $x$ obwód $l$ prostokąta $A B C D$ i ustal dziedzinę funkcji $l$ , a następnie uzupełnij poniższe zapisy, wpisując w luki odpowiednie liczby. $l (x) = 2 x +$ Tu uzupełnij $\cdot \frac{1}{x}$ $D_{l} = ($ Tu uzupełnij $, \infty)$
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

R1HoDHPk1JSQJ
Wyznacz dziedzinę funkcji $f (x) = \frac{\sqrt{36 - 3 x}}{x - 10} + \frac{\sqrt{x + 13}}{x + 11}$ , a następnie uzupełnij odpowiedź, wpisując w luki odpowiednie liczby. Odpowiedź: $D_{f} = ⟨- 13,-11) \cup (- 11, 10) \cup ($ Tu uzupełnij $,$ Tu uzupełnij $⟩$ .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RYuRSBXENtV2Q
Wyznacz dziedzinę funkcji $f (x) = \frac{\sqrt{12 - 3 x}}{x - 2} + \frac{\sqrt{x + 5}}{x + 3}$ , a następnie uzupełnij odpowiedź, wpisując w luki odpowiednie liczby. Odpowiedź: $D_{f} = ⟨- 5,-3) \cup (- 3, 2) \cup ($ Tu uzupełnij $,$ Tu uzupełnij $⟩$ .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RIv12Kvv2kiNs
Wyznacz dziedzinę funkcji $f (x) = \frac{\sqrt{39 - 3 x}}{x - 11} + \frac{\sqrt{x + 14}}{x + 12}$ , a następnie uzupełnij odpowiedź, wpisując w luki odpowiednie liczby. Odpowiedź: $D_{f} = ⟨- 14,-12) \cup$ $(- 12, 11)$ ∪(Tu uzupełnij $,$ Tu uzupełnij $⟩$ .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ROA4wV0QqtSjy
Wyznacz dziedzinę funkcji $f (x) = \frac{\sqrt{27 - 3 x}}{x - 7} + \frac{\sqrt{x + 10}}{x + 8}$ , a następnie uzupełnij odpowiedź, wpisując w luki odpowiednie liczby. Odpowiedź: $D_{f} = ⟨- 10,-8) \cup (- 8, 7) \cup ($ Tu uzupełnij $,$ Tu uzupełnij $⟩$ .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1QNnK8bbt3M8
Wyznacz dziedzinę funkcji $f (x) = \frac{\sqrt{24 - 3 x}}{x - 6} + \frac{\sqrt{x + 9}}{x + 7}$ , a następnie uzupełnij odpowiedź, wpisując w luki odpowiednie liczby. Odpowiedź: $D_{f} = ⟨- 9,-7) \cup (- 7, 6) \cup ($ Tu uzupełnij $,$ Tu uzupełnij $⟩$ .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.