Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są prostokątne oraz podobne, gdyż padające w tym samym czasie promienie słoneczne są do siebie równoległe, co oznacza, że kąty ostre przy wierzchołkach $A$ i $D$ tych trójkątów są równe.

RSlTDvDMlj7Y2

Ilustracja składa się z dwóch części. Część lewa przedstawia mężczyznę w todze, na którego naniesiono trójkąt prostokątny A B C w taki sposób, że pionowy bok B C to wysokość mężczyzny, natomiast podstawa C A pokrywa się z cieniem rzucanym przez postać. Prawa część ilustracji przedstawia piramidę, na którą naniesiono trójkąt prostokątny E F D tak, że punkt E pokrywa się z wierzchołkiem piramidy. Pionowy odcinek E F jest wysokością bryły, natomiast punkt D pokrywa się z końcowym punktem cienia rzucanego przez piramidę, czyli podstawa trójkąta F D biegnie od środka bryły i przez całą długość cienia.

Ponieważ Tales dokonał pomiaru w takim dniu, w którym długość jego cienia była równa jego wzrostowi, a więc gdy $\left|AC\right|=\left|BC\right|$, to wywnioskował, że również $\left|DF\right|=\left|EF\right|$.

RvMv2oiYrfDEe

Ilustracja składa się z dwóch części. Część lewa piramidę o podstawie P S R Q i górnym wierzchołku E, na którą naniesiono trójkąt prostokątny E F D tak, że pionowy odcinek E F jest wysokością bryły oznaczoną jako H, natomiast punkt D pokrywa się z końcowym punktem cienia rzucanego przez piramidę, czyli podstawa trójkąta F D biegnie od środka bryły i przez całą długość cienia. Prawa część ilustracji przedstawia dwa trójkąty o wspólnym wierzchołku E. Trójkąt pierwszy to trójkąt równoramienny K L E, którego wysokość wynosi 146,5, a podstawą trójkąta jest odcinek K L, który wysokość podzieliła na dwa równe odcinki K F oraz F L, każdy o długość a drugich. Drugi trójkąt to trójkąt prostokątny F D E. Podstawa tego trójkąta to F D. Podstawa zawiera punkt L, który dzieli ją na dwa odcinki: F L o długości a drugich i L D o długości 31,5

Trójkąt $DEF$ jest prostokątny i równoramienny. Wierzchołek $F$ kąta prostego w tym trójkącie jest spodkiem wysokości trójkąta równoramiennego $KLE$, którego podstawa $KL$ ma długość równą długości krawędzi podstawy Piramidy Cheopsa. Te informacje wystarczają, żeby obliczyć długość $a$ krawędzi podstawy Piramidy. Zatem $\left|DF\right|=\left|EF\right|=146,5$, czyli $\frac{a}{2}+31,5=146,5$. Stąd $\frac{a}{2}=115$, więc $a=230$.

Gdyby Piramida rzucała cień o „prawie zerowej długości”, to wtedy koniec $D$ tego cienia byłby środkiem $D$ krawędzi podstawy Piramidy.

RQnmuFaGlAedn

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny K D E, którego wysokość H to pionowy odcinek E F. Podstawą trójkąta jest odcinek K D, który wysokość podzieliła na dwa równe odcinki K F oraz F D, każdy o długość a drugich. Przy prawy wierzchołku D zaznaczono kąt ostry alfa.

To oznaczałoby, że wysokość $H$ Piramidy jest równa połowie długości krawędzi podstawy. Zatem trójkąt $DEF$ byłby prostokątny i równoramienny. Zatem kąt ostry $\alpha$ tego trójkąta byłyby równy $45°$. Pod takim kątem byłyby wówczas nachylone ściany Piramidy Cheopsa do płaszczyzny jej podstawy.