Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Proste $A K$ i $B L$ są równoległe oraz $|P A| = 3$ , $|A B| = 6 \frac{1}{4}$ , $|K L| = 3 \frac{3}{4}$ .
Zaznacz poprawną odpowiedź. Długość odcinka $P K$ jest równa:

RsB5G0cL4fPF0

Ilustracja przedstawia kąt ostry rozpięty między dwiema półprostymi o wspólnym końcu w punkcie P. Jedno z ramion jest ukośne, drugie poziome. Ramiona przecinają dwie ukośne proste równoległe. Pierwsza prosta przecina górne ramię w punkcie K i dolne w punkcie A. Druga prosta przecina górne ramię w punkcie L, a dolne w punkcie B. Proste te wyznaczają następujące odcinki: na górnym ramieniu kąta mamy: P K o długości x oraz K L o długości 3 i trzy czwarte, na dolnym ramieniu mamy: P A o długości 3 oraz A B o długości 6 i jedna czwarta.

R1OUqcMg8s36H

Ćwiczenie 2

Punkty $D$ i $E$ leżą na bokach trójkąta $A B C$ i odcinek $D E$ jest równoległy do boku $A B$ . Długości odcinków $B E$ , $C E$ , $A D$ i $C D$ są zaznaczone na rysunku.
Zaznacz poprawną odpowiedź. Wynika stąd, że:

RenyeiNVUUVxa

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C o poziomej podstawie A B. Na lewym ramieniu trójkąta zaznaczono punkt D, który podzielił bok na odcinki: A D o długości y oraz D C o długości y dodać jeden. Na prawym ramieniu B C zaznaczono punkt E dzielący bok na dwa odcinki: B E o długości X oraz E C o długości x dodać dwa. Punkty D oraz E połączono w poziomy odcinek.

Rg2gxjZJnMawh

Ćwiczenie 3

Długość boku $B C$ trójkąta $A B C$ jest równa $56$ . Punkty $D$ , $E$ , $F$ i $G$ leżą na bokach tego trójkąta i odcinki $D E$ i $F G$ są równoległe do boku $A B$ .
Długości odcinków $C K$ , $K L$ i $L M$ mają się do siebie jak $2 : 2 : 3$ .

R12l5Fl47Ak4u

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C o poziomej podstawie A B. Na lewym ramieniu trójkąta zaznaczono punkty D oraz F. Na prawym ramieniu B C zaznaczono punkty E oraz G. Punkty D oraz E połączono w poziomy odcinek, a także punkty F oraz G połączono w poziomy odcinek leżący nad odcinkiem D E. Z górnego wierzchołka trójkąta C poprowadzono ukośny odcinek do punktu M, który leży na podstawie A B.

RBTbk7PUdUpXc

Ćwiczenie 4

RPJyEvp3EOzu5

RrqQltvC7tE7j

Ćwiczenie 5

Zaznacz poprawną odpowiedź. Rysunek jest szkicem konstrukcji odcinka o długości $x$ , gdy dane są odcinki o długościach $a$ i $b$ . Proste $k$ i $l$ są równoległe. Wtedy:

RsOg8ZaQsHRli

Ilustracja przedstawia kąt ostry rozpięty między dwiema półprostymi o wspólnym końcu. Jedno z ramion jest ukośne, drugie poziome. Ramiona przecinają dwie ukośne proste równoległe k i l. Każda z prostych przecina górne i dolne ramie kąta w jednym miejscu. Proste te wyznaczają następujące odcinki: od wspólnego końca półprostych do przecięcia prostej k z górnym ramieniem odcinek ma długość a2, odcinek pomiędzy przecięciem prostej k i l z górnym ramieniem wynosi a+b2, od wspólnego końca półprostych do przecięcia prostej k z dolnym ramieniem odcinek ma długość b , a odcinek pomiędzy miejscem przecięcia prostek k i l z dolną podstawą ma długość x.

RrDpJ0T1lRqew

Ćwiczenie 6

Punkt $M$ leży na boku $A B$ trójkąta $A B C$ , a punkt $N$ na boku $A C$ . Odcinek $M N$ jest równoległy do boku $B C$ , $|A N| = 14$ , $|N C| = 10$ , a długości odcinków $A M$ i $M B$ różnią się o $1$ . Oblicz długość boku $A B$ trójkąta $A B C$ .

Ponieważ $M N ∥ B C$ , to z twierdzenia Talesa wynika, że $\frac{|A M|}{|M B|} = \frac{|A N|}{|N C|}$ , czyli $\frac{|A M|}{|M B|} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$ .

Wobec tego odcinek $A M$ jest dłuższy od odcinka $M B$ .

Niech $x$ oznacza długość odcinka $M B$ .

Wtedy $|A M| = x + 1$ , a proporcję możemy zapisać w postaci $\frac{x + 1}{x} = \frac{7}{5}$ .

Stąd $5 x + 5 = 7 x$ , czyli $x = \frac{5}{2}$ .

Zatem $|A B| = |A M| + |M B| = x + 1 + x = 2 x + 1 = 6$ .

Ćwiczenie 7

Proste $a$ i $b$ przecinają się w punkcie $P$ , a proste równoległe $k$ , $l$ i $m$ przecinają je w punktach $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ jak na rysunku. Oblicz długość odcinka $P E$ , gdy dane są $|A C| = 12$ , $|P B| = 2$ , $|D P| = 6$ , $|E F| = 9$ .

RcOrPBJwgqcDr

Ilustracja przedstawia dwie proste a i b przecinające się w punkcie P tworzące w ten sposób kąty wierzchołkowe. Kąty te przecięte są trzema równoległymi, ukośnymi prostymi: k, l i m. Pierwsza prosta przecina kąt wierzchołkowy na lewo od punktu P. Miejsce przecięcia prostej k i b oznaczono punktem D, a miejsce przecięcia prostych k i a punktem A. Dwie pozostałe proste przecinają kąt wierzchołkowy na prawo od punktu P. Prosta l i a przecina się w punkcie B, a prosta l i b w punkcie E. Prosta m i a przecina się w punkcie C, a prosta m i b w punkcie F.

Oznaczmy $|P E| = x$ , $|A P| = y$ i $|B C| = z$ .

R15UO9wpd1TPj

Ponieważ $k ∥ l$ , więc z twierdzenia Talesa wynika proporcja $\frac{|P E|}{|P B|} = \frac{|D P|}{|A P|}$ , czyli $\frac{x}{2} = \frac{6}{y}$ .

Ponieważ $l ∥ m$ , więc ponownie z twierdzenia Talesa otrzymujemy proporcję $\frac{|P E|}{|P B|} = \frac{|E F|}{|B C|}$ , czyli $\frac{x}{2} = \frac{9}{z}$ .

Z otrzymanych równości wynika, że $\frac{6}{y} = \frac{9}{z}$ , skąd $y = \frac{2}{3} z$ .

Ponieważ $|A C| = |A P| + |P B| + |B C| = 12$ , więc $y + 2 + z = 12$ .

Zatem $\frac{2}{3} z + 2 + z = 12$ .

Stąd $\frac{5}{3} z = 10$ , czyli $z = 6$ .

Wobec tego $\frac{x}{2} = \frac{9}{6}$ .

Stąd $x = 3$ .

Wynik ten możemy też otrzymać szybciej, zauważając, że prawdziwa jest proporcja $\frac{|P E|}{|P B|} = \frac{|D F|}{|A C|}$ , czyli $\frac{x}{2} = \frac{6 + x + 9}{12}$ .

Stąd otrzymujemy kolejno:

$6 x = x + 15$

$5 x = 15$

$x = 3$ .

Ćwiczenie 8

Dany jest trapez $A B C D$ o podstawach $A B$ i $C D$ . Punkty $E$ i $F$ są środkami ramion odpowiednio $A D$ i $B C$ , a odcinek $E F$ jest równoległy do podstaw trapezu. Punkt $M$ leży na podstawie $A B$ , a punkt $N$ na podstawie $C D$ trapezu. Odcinki $E F$ i $M N$ przecinają się w punkcie $P$ . Udowodnij, że punkt $P$ jest środkiem odcinka $M N$ .

Rozważmy dwa przypadki.

Gdy odcinek $M N$ jest równoległy do jednego z ramion trapezu. Bez straty ogólności rozumowania możemy przyjąć, że jest on równoległy do ramienia $A D$ .
Wtedy czworokąty $A M P E$ i $E P N D$ są równoległobokami, więc $|A E| = |M P|$ oraz $|E D| = |P N|$ .
Ponieważ $E$ jest środkiem $A D$ , więc $|A E| = |E D|$ .
Zatem $|M P| = |P N|$ , co oznacza, że $P$ jest środkiem odcinka $M N$ .
Gdy odcinek $M N$ nie jest równoległy do żadnego z ramion trapezu.
Wtedy proste $M N$ i $B C$ się przecinają.
Oznaczmy przez $S$ punkt tego przecięcia.
Możemy założyć, że $S$ leży po tej samej stronie prostej $A B$ , co punkt $C$ .
Oznaczmy też $|M P| = m$ , $|P N| = n$ , $|N S| = s$ , $|B F| = |F C| = c$ i $|C S| = d$ .
R1ekvcEsnqgNe
Ilustracja przedstawia trapez A B C D. Na ramionach A D oraz B C zaznaczono odpowiednio punkty E i F będące ich środkami. Punkty te połączono tworząc poziomy odcinek E F równoległy do podstaw trapezu. Na podstawie A B leży punkt M, na podstawie C D punkt N. Poprowadzono ukośny odcinek M N, który nie jest równoległy do żadnego z ramion trapezu. Miejsce przecięcia odcinków E F i M N oznaczono punktem P. Przedłużenie odcinaka M N oraz ramienia B C przecina się w punkcie S tworząc trójkąt N C S nadbudowany na górnej podstawie trapezu. Odcinek M P ma długość m, odcinek P N ma długość n, odcinek N S ma długość S, odcinek S C ma długość d, odcinki C F i F B mają długość c.
Z twierdzenia Talesa otrzymujemy $\frac{|M N|}{|N S|} = \frac{|B C|}{|C S|}$ oraz $\frac{|P N|}{|N S|} = \frac{|F C|}{|C S|}$ , czyli $\frac{m + n}{s} = \frac{2 c}{d}$ oraz $\frac{n}{s} = \frac{c}{d}$ .
Zatem $\frac{m + n}{s} = \frac{2 c}{d} = \frac{2 n}{s}$ .
Stąd $m + n = 2 n$ , więc $m = n$ .
To oznacza, że punkt $P$ jest środkiem odcinka $M N$ . To kończy dowód.

Film edukacyjny

Dla nauczyciela