Przeczytaj

Równość pól trójkątów o wspólnej podstawie

\frac{1}{2} a b^{2} + 15 x - \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}

Trójkąty, które mają wspólną podstawę oraz równe wysokości opuszczone na tę podstawę maja równe pola. Ten prosty fakt wynika wprost ze wzoru na pole trójkąta.

RrodyrjjFwVD9

Ilustracja przedstawia dwie równoległe proste. Na prostej leżącej wyżej zaznaczono kolejno od lewej punkty: D, E, C, F. Na prostej leżącej poniżej zaznaczono od lewej punkty: A i B. Następnie z punktów leżących na górnej prostej poprowadzono odległości do drugiej prostej, czyli odcinki prostopadłe do drugiej prostej i oznaczono przy nich kąty proste. Następnie połączono punkty odcinkami, tworząc trójkąty: A B D oraz A B E oraz A B C oraz A B F.

Na rysunku są to trójkąty $A B C$ , $A B D$ , $A B E$ i $A B F$ . Wszystkie te trójkąty mają wspólną podstawę $A B$ i równe wysokości opuszczone na tę podstawę.

Sformułujemy teraz nieco ogólniejszą własność, którą wykorzystamy w dowodzie twierdzenia Talesa.

O stosunku pól trójkątów o wspólnej wysokości

Twierdzenie: O stosunku pól trójkątów o wspólnej wysokości

Stosunek pól trójkątów o wspólnej wysokości lub równych wysokościach jest równy stosunkowi długości podstaw tych trójkątów. Przy oznaczeniach jak na rysunkach, biorąc pod uwagę trójkąty $A B D$ i $B C D$ lub $A B D$ i $B C E$

R13l8LZBpBf8i

Ilustracja dwie konstrukcje. Konstrukcja pierwsza to dwa trójkąty o wspólnym boku: trójkąt A B D oraz B C D. Z wierzchołka D upuszczono wysokość h na podstawę A B i oznaczono przy niej kąt prosty. Konstrukcja druga to dwa trójkąty o wspólnym jednym wierzchołku B. Trójkąty te to A B D oraz B C E. Wierzchołki D i E leżą na jednej prostej. Z tych wierzchołków poprowadzono dwie identyczne wysokości h: z wierzchołka D na podstawę A B i z wierzchołka E na podstawę B C. Przy wysokościach oznaczono kąty proste.

możemy tę własność zapisać w postaci

\frac{P_{A B D}}{P_{B C D}} = \frac{|A B|}{|B C|}

Rzeczywiście

\frac{P_{A B D}}{P_{B C D}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot |A B| \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot |B C| \cdot h} = \frac{|A B|}{|B C|}

Przejdźmy teraz do sformułowania twierdzenia Talesa.

Twierdzenie Talesa

Twierdzenie: Twierdzenie Talesa

Jeżeli proste równoległe $k$ i $l$ przecinają jedno z ramion kąta o wierzchołku $O$ w punktach odpowiednio $A$ i $B$ oraz drugie ramię tego kąta w punktach odpowiednio $C$ i $D$ , jak na rysunku

R1GtFWcLkdyJu

Ilustracja przedstawia kąt ostry o wierzchołku O. Oba ramiona kąta przecinają równoległe proste k i l. Prosta k przecina górne ramię w punkcie C i dolne w punkcie A. Prosta l przecina górne ramię w punkcie D i dolne w punkcie B.

\frac{|O A|}{|A B|} = \frac{|O C|}{|C D|}

Dowód

Poprowadźmy odcinek $B C$ oraz wysokość $h_{1}$ z wierzchołka $C$ .

RMWELWBpc39ee

Jest to wspólna wysokość trójkątów $O A C$ i $A B C$ , więc z udowodnionego wcześniej twierdzenia o stosunku pól trójkątów o wspólnej wysokości otrzymujemy

\frac{|O A|}{|A B|} = \frac{P_{O A C}}{P_{A B C}}

Poprowadźmy teraz odcinek $A D$ . Ponieważ proste $k$ i $l$ są równoległe, to trójkąty $A B C$ i $A D C$ mają równe wysokości opuszczone na wspólną podstawę $A C$ .

R1QWQsUMlfIqm

Zatem te trójkąty mają równe pola. Wobec tego równość $\frac{|O A|}{|A B|} = \frac{P_{O A C}}{P_{A B C}}$ możemy zapisać w postaci

\frac{|O A|}{|A B|} = \frac{P_{O A C}}{P_{A D C}}

Na koniec zauważmy, że trójkąty $O A C$ i $A D C$ mają wspólną wysokość $h_{3}$ opuszczoną z wierzchołka $A$ .

RXummTqrIicR1

Wobec tego stosunek pól tych trójkątów jest równy stosunkowi długości podstaw tych trójkątów, czyli

\frac{P_{O A C}}{P_{A D C}} = \frac{|O C|}{|C D|}

Zatem

\frac{|O A|}{|A B|} = \frac{P_{O A C}}{P_{A D C}} = \frac{|O C|}{|C D|}

To kończy dowód.

wnioski z twierdzenia Talesa

Twierdzenie: wnioski z twierdzenia Talesa

Przy założeniach z twierdzenia Talesa prawdziwe są także równości:

$\frac{|O C|}{|O D|} = \frac{|O A|}{|O B|}$

$\frac{|A C|}{|B D|} = \frac{|O C|}{|O D|} = \frac{|O A|}{|O B|}$

Ta ostatnia wynika z podobieństwa trójkątów $O A C$ oraz $O B D$ .

Twierdzenie Talesa można sformułować nieco ogólniej i zamiast o ramionach kąta można mówić o dwóch prostych przecinających się w punkcie $O$ , które przecinamy dwiema prostymi równoległymi $k$ i $l$ , przy czym żadna z tych prostych nie przechodzi przez punkt $O$ . Wtedy uogólnione twierdzenie Talesa możemy sformułować następująco:

Proste $m$ i $n$ przecinają się w punkcie $O$ . Jeżeli proste równoległe $k$ i $l$ przecinają prostą $m$ w punktach odpowiednio $A$ i $B$ oraz prostą $n$ w punktach odpowiednio $C$ i $D$ , jak na rysunku

RlJ0xnifLDGtT

Ilustracja przedstawia cztery proste. Proste k i l są równoległe. Prosta m przecina je odpowiednio: w punkcie B prostą l i w punkcie A prostą k. Prosta n przecina prostą l w punkcie D i prostą k w punkcie C oraz prostą m w punkcie O.

to:

\frac{|O A|}{|A B|} = \frac{|O C|}{|C D|}

Dowód tego twierdzenia można przeprowadzić w taki sam sposób, jak podany wcześniej.

Zauważy, że prawdziwe są także równości:

\frac{|O A|}{|O B|} = \frac{|O C|}{|O D|}

\frac{|A C|}{|B D|} = \frac{|O C|}{|O D|} = \frac{|O A|}{|O B|}

Ta ostatnia wynika z podobieństwa trójkątów $O A C$ oraz $O B D$ .

Przykład 1

Prosta równoległa do boku $B C$ trójkąta $A B C$ przecina boki $A B$ i $A C$ w punktach odpowiednio $D$ i $E$ . Długości odcinków $A D$ , $A E$ i $E C$ są równe: $|A D| = 14$ , $|A E| = 9$ , $|E C| = 10$ . Obliczymy długość odcinka $B D$ .

Rozwiązanie:

RvZfWrnLf32Uh

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C. Trójkąt przecina prosta równoległa do boku B C. Prosta przecina bok A C w punkcie E, dzieląc bok na dwa odcinki: A E o długości 9 oraz E C o długości dziesięć. Prosta ta przecina podstawę A B w punkcie D, dzieląc ją na dwa odcinki: A D o długości 14 oraz D B o długości x.

Oznaczmy $|B D| = x$ .

Z twierdzenia Talesa wynika proporcja $\frac{|A D|}{|B D|} = \frac{|A E|}{|E C|}$ , czyli $\frac{14}{x} = \frac{9}{10}$ .

Stąd $x = \frac{14 \cdot 10}{9} = \frac{140}{9} = 15 \frac{5}{9}$ .

Przykład 2

Dane są trzy odcinki o długościach $a$ , $b$ i $c$ . Skonstruujemy odcinek o długości $x = \frac{a \cdot b}{c}$ .

Rozwiązanie:

Zapiszmy równość $x = \frac{a \cdot b}{c}$ w postaci równoważnej, dzieląc obie jej strony przez $b$ .

Otrzymujemy w ten sposób proporcję $\frac{x}{b} = \frac{a}{c}$ , w której $x$ jest jednym z wyrazów skrajnych.

Narysujmy teraz dowolny kąt wypukły o wierzchołku $A$ , na jednym z jego ramion odłóżmy odcinek $A B$ o długości $b$ , a na drugim odcinek $A C$ o długości $c$ oraz odcinek $C D$ o długości $a$ tak, żeby punkt $C$ leżał między punktami $A$ i $D$ .

R10AOnlQMNVgJ

Odcinki a, b i c zostały narysowane nad całą konstrukcją. Znajdująca się pod nimi lustracja przedstawia kąt o wierzchołku A i dwie przecinające go równoległe proste. Prosta bliżej wierzchołka przecina górne ramię w punkcie C i dolne w punkcie B. Prosta leżąca dalej od wierzchołka A przecina górne ramię w punkcie D i dolne w punkcie E. Mamy więc następujące odcinki powstałe na ramionach kąta. Ramię górne: odcinek A C o długości c oraz odcinek C D o długości a. Ramię dolne: odcinek A B o długości b oraz odcinek B E o długości x.

Poprowadźmy prostą $B C$ i skonstruujmy prostą $k$ równoległą do prostej $B C$ i przechodzącą przez punkt $D$ .

Punkt jej przecięcia z prostą $A B$ oznaczmy literą $E$ . Odcinek $B E$ jest szukanym odcinkiem czwartym proporcjonalnymodcinek czwarty proporcjonalnyodcinkiem czwartym proporcjonalnym.

Rzeczywiście, z twierdzenia Talesa otrzymujemy $\frac{|A B|}{|A C|} = \frac{|B E|}{|C D|}$ , czyli $\frac{b}{c} = \frac{x}{a}$ , skąd $x = \frac{a \cdot b}{c}$ .

Przykład 3

Dany jest odcinek o długości $a$ , a także odcinek jednostkowy, czyli odcinek o długości $1$ . Skonstruujemy odcinek o długości $\frac{1}{a}$ .

Rozwiązanie:

Niech $x = \frac{1}{a}$ .

Tę równość możemy zapisać w postaci $\frac{x}{1} = \frac{1}{a}$ .

W ten sposób problem sprowadziliśmy do konstrukcji, którą wykonaliśmy w poprzednim przykładzie.

Zilustrujmy tę konstrukcję na rysunku

R18wSHMzz49cu

Odcinek o długości 1 oraz odcinek a zostały narysowane nad całą konstrukcją. Znajdująca się pod nimi lustracja przedstawia kąt o wierzchołku A i dwie przecinające go równoległe proste. Prosta bliżej wierzchołka przecina górne ramię w punkcie C i dolne w punkcie B. Prosta leżąca dalej od wierzchołka A przecina górne ramię w punkcie D i dolne w punkcie E. Mamy więc następujące odcinki powstałe na ramionach kąta. Ramię górne: odcinek A C o długości a oraz odcinek C D o długości jeden. Ramię dolne: odcinek A B o długości 1 oraz odcinek B E o długości x.

Słownik

odcinek czwarty proporcjonalny

dane są trzy odcinki o długościach $a$ , $b$ i $c$ ; odcinek o długości $x$ takiej, że liczby $x$ , $a$ , $b$ i $c$ są wyrazami proporcji, np. $\frac{x}{a} = \frac{b}{c}$ nazywamy czwartym proporcjonalnym

Wprowadzenie

Film edukacyjny

Równość pól trójkątów o wspólnej podstawie

Słownik