Film samouczek

Łączenie oporników w zadaniach

Obejrzyj film i postaraj się zrozumieć jak wygląda opór zastępczy pojawiających się na ekranie, coraz trudniejszych układów oporników.

Zapoznaj się z filmem i postaraj się zrozumieć jak wygląda opór zastępczy pojawiających się na ekranie, coraz trudniejszych układów oporników.

R14QVD7UbSN2J

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Polecenie 1

Opornik o oporze $R$ łączymy równolegle z opornikami o oporach $4R$ , $9R$ , $16R$ itd., czyli równych $R$ mnożonemu przez kwadraty kolejnych liczb naturalnych. Jaki będzie opór zastępczy układu?

Pokazujemy, że $R_Z = \frac{R}{1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \ldots } = \frac{R}{\sum_{n=1}^{\infty} n^{-2}}.$ Aby znaleźć wartość otrzymanej sumy, zapoznaj się np. w Wikipedii z hasłem „Funkcja dzeta Riemanna”. Znane są jej wartości dla parzystych argumentów, tu argument wynosi 2.

Okazuje się, że $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ , zatem $R_Z = 6 R/\pi^2$ . Wniosek: przez pomiar oporu elektrycznego da się oszacować wartość liczby $\pi$ .

Dla zainteresowanych

Inny dowód, że $S = \sum_{i = 0}^{\infty} 2^{-n} = 2$ . Rozważmy sumę skończoną, $S_N = \sum_{i = 0}^{N} 2^{-n}$ . Sprawdź, np. stosując indukcję względem $N\in\mathbb{N}$ , że dla $x \in\mathbb{R}$

$\displaystyle 1 + x + x^2 + \ldots + x^{N-1} = \frac{1 - x^N}{1-x},$

o ile $x\neq 1$ . Dla $|x| \lt 1$ drugi wyraz w liczniku po prawej stronie maleje w miarę wzrostu $N$ , więc $S_N$ dąży do $1/(1-x)$ . Podstawiając $x =1/2$ dostajemy $2$ .

Dowód, że suma odwrotności kolejnych liczb naturalnych jest nieskończona. Najprostszy sposób to rozpisanie kilkunastu pierwszych wyrazów tej sumy i odpowiednie oszacowanie coraz większych jej części:

R1RQm93qsJW6A

Suma od n=1 do nieskończoności z 1 przez n równa jest 1+1 dzielone na 2+1 dzielone na 3+1 dzielone na 4+1 dzielone na 5+1 dzielone na 6+1 dzielone na 7+1 dzielone na 8+ trzy kropki przy czym 1 dzielone na 3+1 dzielone na 4 jest większe równe 2 dzielone na 4 czyli równe 1 dzielone na 2, a 1 dzielone na 5+1 dzielone na 6+1 dzielone na 7+1 dzielone na 8 jest większe równe 4 dzielone na 8 czyli równe 1 dzielone na 2.

W ten sposób zbieramy po 2, 4, 8 itd. kolejnych wyrazów i stwierdzamy, że ich sumy zawsze przewyższają $1/2$ . Takich zestawów jest nieskończenie wiele, więc cała suma jest nieskończona.

Przeczytaj

Sprawdź się

Łączenie oporników w zadaniach