Warto przeczytać

Opór zastępczyopór zastępczyOpór zastępczy to taka wartość oporu jednego opornika zastępującego cały ich układ, że zewnętrzne parametry elektryczne układu jako całości - napięcie i natężenie prądu - są takie same. Więcej na ten temat można przeczytać w e‑materiale „Jak zdefiniować opór zastępczy?”.

Poniżej znajdziesz spis sposobów, jakie można zastosować, by uprościć skomplikowane układy oporników i łatwo obliczyć ich opory zastępcze. Rozwiązując zadania sprawdzisz, czy potrafisz zastosować nasze rady w praktyce.

Połączenie szeregowe i równoległe

Metodę wyznaczania oporów zastępczych w tych podstawowych sytuacjach wytłumaczyliśmy w innych e‑materiałach. Tu podamy więc tylko, dla porządku i Twojej wygody, odpowiednie wzory.

Opór zastępczy $n$ oporników połączonych szeregowo jest sumą oporów poszczególnych elementów:

Odwrotność oporu zastępczego $n$ oporników połączonych równolegle jest sumą odwrotności oporów poszczególnych elementów:

Kombinacja połączeń szeregowych i równoległych

W niektórych układach oporników można wyodrębnić fragmenty lub grupy oporników połączonych szeregowo lub równolegle. Stosując kolejne uproszczenia schematów można łatwo obliczyć ich opór zastępczy. W przykładzie przedstawionym na Rys. 1. widzimy trzy elementy połączone równolegle, z których górny i dolny stanowią bloki oporników połączonych szeregowo.

R1dPYPZa8DG3X

Rys. 1. Na rysunku znajduje się układ oporników. Przewody łączące ułożone są w prostokąt, który przedzielony został na połowy poziomą linią. Linia ta z lewej i prawej strony wychodzi poza obszar prostokąta, tworząc przewody, które stanowią wejście i wyjście układu. Na górnej krawędzi prostokąta znajdują się dwa oporniki przedstawione w postaci długich, wąskich prostokątów. Oporniki połączone są szeregowo, czyli koniec lewego opornika połączony jest z początkiem prawego opornika. Na dolnej krawędzi prostokąta znajdują się dwa takie same oporniki połączone szeregowo. Jeden opornik znajduje się na linii dzielącej prostokąt na połowy.

Jeśli wszystkie oporniki mają jednakowy opór o wartości $R$, układ ten możemy zastąpić schematem pokazanym na Rys. 2. Wykorzystaliśmy tu właściwości połączenia szeregowego.

RgXIVUMCTCKpi

Rys. 2. Na rysunku znajduje się układ oporników. Przewody łączące ułożone są w prostokąt, który przedzielony został na połowy poziomą linią. Linia ta z lewej i prawej strony wychodzi poza obszar prostokąta, tworząc przewody, które stanowią wejście i wyjście układu. Na górnej i dolnej krawędzi prostokąta znajduje się opornik z napisem dwa razy wielkie R. na linii dzielącej prostokąt na połowy znajduje się opornik z napisem wielkie R.

Opór zastępczy ($R_{z}$) całego układu możemy teraz łatwo policzyć wykorzystując właściwości połączenia równoległego:

Zamienianie schematów połączeń na równoważne

Niektóre schematy można zamienić tak, by łatwiej zobaczyć podstawowe połączenia szeregowe i równoległe. Dokonując takiego „przerysowania” układu należy pamiętać jedynie o tym, by w nowym układzie połączone były ze sobą te same oporniki, co w pierwotnym. Położenie oporników i przebieg przewodów łączących można dowolnie zmieniać. Przykład pokazano na Rys. 3.

RlfPcMM1rofg3

Rys. 3. Na rysunku znajduje się długa pozioma linia, na której zaznaczono z lewej strony punkt wielkie A, a z prawej strony punkt wielkie B. Między punktami narysowano na linii pięć oporników przedstawionych w postaci długich, wąskich prostokątów. Koniec jednego opornika połączony jest z początkiem następnego. Na opornikach zapisano kolejne numery: jeden, dwa, trzy, cztery i pięć, zaczynając od lewej strony. Narysowano dwa dodatkowe przewody. Przewód czerwony łączy punkt wielkie A z punktem znajdującym się między opornikami trzy i cztery. Przewód niebieski łączy punkt wielkie B z punktem znajdującym się między opornikami dwa i trzy.

Punkt A połączony jest jednocześnie z opornikiem 1, 3 i 4 (połączenia czerwone), a więc wpływający tędy prąd dzieli się na trzy części tak, jak przy połączeniu równoległym tych trzech oporników. Podobnie, punkt B łączy oporniki 2, 3 i 5 (połączenia niebieskie). Pomiędzy czerwonym punktem A a niebieskim B, znajdują się: a) oporniki 1 i 2, b) opornik 3, c) oporniki 4 i 5. Opierając się na tych spostrzeżeniach przerysuj układ na taki, w którym od razu widać połączenia szeregowe i równoległe. Jeśli otrzymasz układ z Rys. 1 – gratulujemy. To poprawna odpowiedź.

Korzystanie z symetrii obwodu

Symetria schematów połączeń może doprowadzić nas do dwóch rodzajów wniosków.

1. Dwa punkty mają ten sam potencjał – wtedy można te punkty połączyć przewodem lub opornikiem albo wykreślić ze schematu łączący je element. Między tymi punktami nie popłynie prąd, więc dodanie lub usuniecie elementów może ułatwić nam uzyskanie prostych połączeń szeregowych lub równoległych.
   W przykładzie na Rys. 4., z symetrii wynika, że punkty B i F mają taki sam potencjał, więc można je połączyć przewodem. Oporniki 1 i 2 są wiec połączone równolegle. To samo dotyczy punktów C i E oraz oporników 4 i 5.

2. Natężenie prądu wpływającego do węzła jest równe natężeniu jednego z prądów wypływających – wtedy oba te przewody możemy usunąć z węzła i połączyć w jeden, oddzielny przewód.
   W przykładzie na Rys. 4, z symetrii wynika, że natężenia prądów płynących przez oporniki 8 i 11 są takie same. Można je więc wyłączyć ze środowego węzła i uznać, że są ze sobą połączone szeregowo w gałęzi rozpiętej miedzy punktami F i C. To samo dotyczy oporników 12 i 9. Podobnie, oporniki 7 i 10 można wyłączyć z węzła, połączyć ze sobą i taka gałąź będzie połączona równolegle z wejściem i wyjściem z całego układu.

Korzystając z powyższych spostrzeżeń, dokonano przekształcenia skomplikowanego obwodu na taki, w którym widać połączenia szeregowe i równoległe (patrz Rys. 4.). Odwrotność oporu zastępczego czterech centralnych gałęzi połączonych równolegle (opory 3, 12+9, 8+11, 6) wynosi:

Górna część obwodu jest połączeniem szeregowym dwóch układów równoległych i obliczonego powyżej układu centralnego, a więc:

Obliczony w tej sposób opór zastępczy jest połączony z dolną gałęzią równolegle, więc:

Opór zastępczy całego sześciokąta z przekątnymi jest wiec równy:

RW8XGUCJ2ZofM

Rys. 4. Rysunek składa się z dwóch części. Na lewej części znajduje się sześciokąt foremny z trzema przekątnymi. Dwie krawędzie sześciokąta są poziome. Wierzchołki sześciokąta oznaczono kolejnymi literami alfabetu od A do F. Lewy koniec górnej poziomej krawędzi oznaczono literą wielkie A, prawy koniec literą wielkie B. Dolny koniec krawędzi o początku w punkcie wielkie B i skierowanej w prawo i w dół oznaczono literą wielkie C. Dolny koniec krawędzi o początku w punkcie wielkie C i skierowanej w lewo i w dół oznaczono literą wielkie D. Lewy koniec dolnej poziomej krawędzi oznaczono literą wielkie E. Górny koniec krawędzi o początku w punkcie wielkie E i skierowanej w lewo i w górę oznaczono literą wielkie F. Lewy koniec górnej poziomej krawędzi, czyli punkt A, oraz prawy koniec dolnej poziomej krawędzi, czyli punkt D, stanowią wejście i wyjście układu. Na każdej krawędzi oraz połówce przekątnych sześciokąta umieszczone są oporniki ponumerowane od jednego do dwunastu. Opornik numer jeden leży na krawędzi AB, numer dwa na krawędzi AF, numer trzy na krawędzi FE, numer cztery na krawędzi ED, numer pięć na krawędzi DC, numer sześć na krawędzi CB. Na przekątnych między środkiem i wierzchołkiem A leży opornik numer siedem, między środkiem i wierzchołkiem F opornik numer osiem, między środkiem i wierzchołkiem E opornik numer dziewięć, między środkiem i wierzchołkiem D opornik numer dziesięć, między środkiem i wierzchołkiem C opornik numer jedenaście, między środkiem i wierzchołkiem B opornik numer dwanaście. Na lewej części rysunku jest ten sam układ oporników, ale narysowany tak, aby było widać połączenia szeregowe i równoległe. Z lewej strony jest punkt wielkie A, z prawej strony punkt D, które stanowią wejście i wyjście układu. Punkt A połączony jest z początkami oporników numer jeden, dwa i siedem. Koniec opornika siedem połączony jest z początkiem opornika dziesięć, a koniec opornika dziesięć połączony jest z punktem D. Oporniki siedem i dziesięć leżały na poprzednim rysunku na przekątnej AD sześciokąta. Prawe końce oporników jeden i dwa są ze sobą połączone, tworząc układ dwóch oporników połączonych równolegle. Układ ten połączony jest szeregowo z kolejnym układem sześciu oporników. W układzie sześciu oporników są cztery poziome odcinki położone jeden nad drugim, których początki i końce są połączone. Na najwyższym odcinku leży opornik numer trzy. Na drugim od góry leżą dwa oporniki numer dwanaście i numer dziewięć połączone szeregowo. Niżej leżą dwa oporniki numer osiem i numer jedenaście połączone szeregowo. Najniżej leży opornik numer sześć. Układ sześciu oporników połączony jest szeregowo z kolejnym układem dwóch oporników połączonych równolegle. Są to oporniki numer cztery i pięć. Prawe końce oporników cztery i pięć połączone są z punktem D.

Wykorzystanie praw Kirchhoffa i definicji oporu zastępczego

W niektórych schematach oporniki nie są połączone ani szeregowo ani równolegle i żaden z powyższych sposobów nie może zostać zastosowany. Wtedy należy napisać równania praw Kirchhoffaprawo Kirchhoffapraw Kirchhoffa dla tego obwodu tak, by znaleźć napięcie panujące na końcach układu oraz prąd wpływający do niego (lub wypływający z niego). Stosując definicję oporu zastępczego oraz prawo Ohmaprawo Ohmaprawo Ohma, należy podzielić tak uzyskane wartości: napięcie przez natężenie prądu.

Tę metodę obliczeń można zastosować w każdej sytuacji, ale korzystanie ze sposobów wymienionych powyżej jest czasami postępowaniem łatwiejszym i szybszym.

Zachęcamy do zapoznania się z e‑materiałami poświęconymi sposobom rozwiązywania zadań z wykorzystaniem II prawa Kirchhoffa, np. „Analiza dodawania i odejmowania napięć w obwodzie, czyli zastosowanie II prawa Kirchhoffa”.

Słowniczek