Film samouczek

Jak opisać ruch obrotowy bryły sztywnej wokół osi?

Obejrzyj prezentowane rysunki i obliczenia trzech przypadków ułożenia osi obrotu, aby zrozumieć ruch obrotowy bryły sztywnej wokół osi.

Zapoznaj się z prezentowanymi rysunkami i obliczeniami trzech przypadków ułożenia osi obrotu, aby zrozumieć ruch obrotowy bryły sztywnej wokół osi.

R79WMmbGqGvc3

Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Polecenie 1

Dla układu Ziemia‑Księżyc (Rys.) oszacuj iloraz różnicy prędkości liniowych punktów Księżyca najbliższych i najdalszych Ziemi i prędkości liniowej środka Księżyca. Prędkości te mierzone są w układzie odniesienia środka Ziemi. Dla uproszczenia przyjmij, że Księżyc porusza się wokół Ziemi po orbicie kołowej, a okres jego obrotu własnego jest równy okresowi ruchu obiegowego (w astronomii taki ruch układu dwóch ciał nosi nazwę rotacji związanej). Zwroty występujących w tym problemie prędkości kątowych są zgodne. Okres obiegu i obrotu Księżyca wokół Ziemi wynosi $T = T' = 27,3\,\text{dnia}$ , średni promień jego orbity $R = 3,84\cdot 10^8\,\text{m}$ , a promień Księżyca $r = 1,74\cdot 10^6\,\text{m}$ .

RZvnf0YxrrZA8

Rys. Ziemia (niebieska kulka) i Księżyc (szara kulka) oraz prędkości, o których mowa w treści polecenia.

Oznaczmy przez $T$ okres obiegu Ziemi przez Księżyc na tej orbicie, przez $T'$ - okres obrotu Księżyca wokół osi własnej. Prędkość liniowa środka masy Księżyca w ruchu obiegowym wokół Ziemi wynosi $v=\frac{2\pi R}{T}$ , a prędkość liniowa punktów na „równiku” Księżyca $v'=\frac{2\pi r}{T'}$ . Wobec tego prędkość punktu najbliższego Ziemi wynosi $V = v - v'$ , a najdalszego $W = v + v'$ . Wstawiając wartości liczbowe otrzymamy $v \approx 1,02\cdot 10^3\,\text{m/s}$ , $v' \approx 4,63\,\text{m/s}$ . Wobec tego względna różnica między $V$ i $W$ wynosi $\frac{2v'}{v} \approx 0,9\%$ .

Polecenie 2

Oszacuj analogiczny iloraz dla układu Słońce‑Ziemia. W tym przypadku odpowiednie wielkości to $R = 1,5\cdot 10^{11}\,\text{m}$ , $T = 1\,\text{rok}\approx 3,16\cdot 10^7\,\text{s}$ , $T' = 1\,\text{doba} \approx 8,64\cdot 10^4\,\text{s}$ , $r = 6,37\cdot 10^6\,\text{m}$ . Zwróć uwagę, że okresy 'T' i 'T'' różnią się. Pomiń efekty związane z nachyleniem osi Ziemi do płaszczyzny ekliptyki.

Prędkość liniowa Ziemi w ruchu obiegowym to $v = \frac{2\pi}{T}R \approx 2,98\cdot 10^4\,\text{m/s}$ , zaś maksymalna prędkość punktu na Ziemi względem osi w ruchu dobowym to $v' = \frac{2\pi}{T'}r \approx 4,63\cdot 10^2\,\text{m/s}$ . Zatem, skoro zarówno w równonoce, jak i w przesilenia rzeczywista prędkość (liniowa, względem środka Ziemi) punktu najbliższego Słońcu nie przekracza $v'$ , to względna różnica prędkości punktów najdalszych i najbliższych Słońcu nie przekracza $\frac{2v'}{v}\approx 3,1\%$ .

Przeczytaj

Sprawdź się

Jak opisać ruch obrotowy bryły sztywnej wokół osi?