Warto przeczytać

Aby opisać ruch obrotowy bryły sztywnejBryła sztywnabryły sztywnej, musimy przede wszystkim ustalić, wokół której osi ta bryła się obraca. W wielu znanych z życia codziennego przypadkach obrót następuje dookoła osi przechodzącej przez środek masy bryły. Poniższe fotografie ukazują przykłady takich obracających się brył.

R1H3Qjx8EpQvq

Rys. 1. Na zdjęciu widać trzepaczkę do ubijania piany, która jest elementem elektrycznego robota kuchennego.

R1cNHhBXYJOxH

Rys. 2. Na zdjęciu widać wiertło zamocowane w elektrycznej wiertarko‑wkrętarce.

R1GWUUPyQAn5V

Rys. 3. Na zdjęciu znajduje się płyta CD oraz kieszeń komputera, w której umieszcza się płytę w celu jej odczytania.

Prędkość kątowa $\omega$ każdego z punktów obracającej się bryły jest taka sama. Inaczej jest z ich prędkościami liniowymi $v$, które są tym większe, im dalej od osi obrotu znajdują się te punkty. Związek między wartościami obydwu prędkości ma postać:

gdzie $r$ jest odległością punktu od osi obrotu. W obracającym się kole przedstawionym na Rys. 4. długości strzałek obrazują prędkości liniowe punktów, w których te strzałki są zaczepione. Rysunek ten w intuicyjny sposób ilustruje powyższą zależność.

RgBO9wwMborX1

Rys. 4. Na rysunku znajduje się koło, na którym narysowano dwie średnice: poziomą i pionową. Na poziomej średnicy znajdują się początki wektorów prędkości liniowych o kierunku pionowym. Na lewo od środka koła wektory prędkości skierowane są w dół, a na prawo od środka w górę. Długości wektorów znajdujących się na okręgu koła są największe. Im bliżej środka, tym krótsze są długości wektorów. Końce wszystkich pionowych wektorów prędkości leżą na jednej prostej przechodzącej przez środek koła i skierowanej ukośnie w górę i w prawo. Na pionowej średnicy znajdują się początki wektorów prędkości liniowych o kierunku poziomym. Na dolnej połowie średnicy wektory prędkości skierowane są w prawo, a na górnej połowie w lewo. Długości wektorów znajdujących się na okręgu koła są największe. Im bliżej środka, tym krótsze są długości wektorów. Końce wszystkich poziomych wektorów prędkości leżą na jednej prostej przechodzącej przez środek koła i skierowanej ukośnie w dół i w prawo.

Oczywiście nie zawsze bryła sztywna obraca się wokół osi przechodzącej przez środek masy. Przyjrzyjmy się domowym drzwiom w trakcie ich otwierania. Zawieszone na zawiasach drzwi obracają się dookoła osi przechodzącej przez ich dłuższą (pionową) krawędź (zob. Rys. 5.).

R16y8VwuZOB6X

Rys. 5. Zdjęcie przedstawia uchylone drzwi.

Sytuacja toczącego się koła jest jeszcze bardziej skomplikowana. Wykonuje ono obrót wokół chwilowej osi obrotu, jaką jest linia styku z podłożem. W tym wypadku nadal obowiązuje relacja $v=\omega ·r$, ale odległość $r$ badanego punktu bryły od osi obrotu odpowiada jego odległości od miejsca styku koła z podłożem. Zauważmy, że dla ustalonego punktu toczącego się koła ta odległość stale się zmienia wzdłuż średnicy zaznaczonej na czerwono. Na Rys. 6. zaznaczono prędkości poszczególnych punktów ciała obracającego się wokół takiej osi.

RpPCMoYrPQwWw

Rys. 6. Na rysunku znajduje się koło, na którym narysowano poziomą średnicę. Z lewej strony narysowano przerywaną linię styczną do okręgu koła. Styczna o kierunku pionowym wskazuje chwilową oś obrotu. Na średnicy znajdują się początki wektorów prędkości liniowych o kierunku pionowym. Wszystkie wektory prędkości skierowane są w górę. Długość wektora znajdującego się najdalej od chwilowej osi obrotu jest największa. Im bliżej osi, tym krótsze są długości wektorów. Końce wszystkich wektorów prędkości leżą na jednej prostej przechodzącej przez punkt styczności osi obrotu do okręgu i skierowanej ukośnie w górę i w prawo.

Dlaczego bejsbolista stara się uderzyć piłkę końcem kija? Dlatego że w tym miejscu kij ma największą prędkość liniową (oczywiście, jego wszystkie części mają taką samą prędkość kątową). Piłka uderzona końcem kija uzyska największy pęd!

Niezależnie od tego, gdzie zlokalizowana jest oś obrotu bryły sztywnej, równania opisujące, w jaki sposób kąt obrotu bryły $\alpha$ zmienia się w czasie, wykazują wiele podobieństw do równań opisujących ruch punktu materialnego.

Dla uproszczenia rozważań skupmy się na bryle, która obraca się wokół osi przechodzącej przez jej środek masy. Jeśli taka bryła obraca się ze stałą prędkością kątową $\omega =\mathrm{const}$, wtedy kąt obrotu wszystkich jej punktów spełnia zależność:

gdzie ${\alpha }_0$ jest początkowym kątem, od którego rozpoczyna się obrót bryły. Zauważ, że powyższa zależność przypomina wyrażenie na drogę przebytą przez punkt materialny w ruchu jednostajnym prostoliniowym: $s\left(t\right)=s_0+v·t.$

W podobny sposób można opisać ruch obrotowy bryły wokół osi przechodzącej przez jej środek masy, w sytuacji gdy bryła obraca się ze stałym przyspieszeniem kątowym $\epsilon =\mathrm{const}.$ Wówczas kąt obrotu bryły zależy od czasu w następujący sposób:

gdzie ${\alpha }_0$ jest, jak poprzednio, początkowym kątem, zaś ${\omega }_0$ jest początkową prędkością kątową. Tutaj również łatwo jest dostrzec podobieństwo z ruchem jednostajnie przyspieszonym punktu materialnego, w którym droga zależy od czasu zgodnie z równaniem: $s\left(t\right)=s_0+v_0\cdot t+\frac{1}{2}·a\cdot t^2.$

Słowniczek