Warto przeczytać

Aby opisać ruch obrotowy bryły sztywnej musimy przede wszystkim ustalić, wokół jakiej osi ta bryła się obraca. W wielu, znanych z życia codziennego, przypadkach obrót następuje dookoła osi przechodzącej przez środek masy bryły. Poniższe fotografie ukazują przykłady takich obracających się brył.

R1H3Qjx8EpQvq

R1cNHhBXYJOxH

R1GWUUPyQAn5V

Prędkość kątowa $\omega$ każdego z punktów obracającej się bryły jest taka sama. Inaczej jest z ich prędkościami liniowymi $v$, które są tym większa im dalej od osi obrotu znajdują się te punkty. Związek między wartościami obydwu prędkości ma postać:

gdzie $r$ jest odległością punktu od osi obrotu. W obracającym się kole przedstawionym na Rys. 4., długości strzałek obrazują prędkości liniowe punktów, do których te strzałki są 'doczepione'. Rysunek ten w intuicyjny sposób ilustruje powyższą zależność.

RgBO9wwMborX1

Oczywiście nie zawsze bryła sztywna obraca się wokół osi przechodzącej przez środek masy. Przyjrzyjmy się domowym drzwiom w trakcie ich otwierania. Zawieszone na zawiasach drzwi obracają się dookoła osi przechodzącej przez ich dłuższą (pionową) krawędź (zob. Rys. 5.).

R16y8VwuZOB6X

Sytuacja toczącego się koła jest jeszcze bardziej skomplikowana. Wykonuje ono obrót wokół chwilowej osi obrotu, jaką jest linia styku z podłożem. W tym wypadku nadal obowiązuje relacja $v=\omega ·r$, ale odległość $r$ badanego punktu bryły od osi obrotu odpowiada jego odległości od miejsca styku koła z podłożem. Zauważmy, że dla ustalonego punktu toczącego się koła, ta odległość stale się zmienia. Na Rys. 6. zaznaczono prędkości poszczególnych punktów ciała obracającego się wokół takiej osi.

RpPCMoYrPQwWw

Dlaczego bejsbolista stara się uderzyć piłkę końcem kija? Dlatego, ponieważ w tym miejscu kij ma największą prędkość liniową (oczywiście, jego wszystkie części mają taką samą prędkość kątową). Piłka uderzona końcem kija uzyska największy pęd!

Niezależnie od tego, gdzie zlokalizowana jest oś obrotu bryły sztywnej, kinetyczne równania ruchu opisujące, w jaki sposób kąt obrotu bryły $\alpha$ zmienia się w czasie są bardzo podobne do równań opisujących ruch punktu materialnego.

Dla uproszczenia rozważań skupmy się na bryle, która obraca się wokół osi przechodzącej przez jej środek masy. Jeśli taka bryła obraca się ze stałą prędkością kątową $\omega =const$, wtedy kąt obrotu wszystkich jej punktów spełnia zależność:

gdzie ${\alpha }_0$ jest początkowym kątem, od którego rozpoczyna się obrót bryły. Zauważ, że powyższa zależność przypomina wyrażanie na drogę przebytą przez punkt materialny w ruchu jednostajnym prostoliniowym: $s\left(t\right)=s_0+v·t.$

W podobny sposób można opisać ruch obrotowy bryły wokół osi przechodzącej przez jej środek masy, w sytuacji gdy bryła obraca się ze stałym przyspieszeniem kątowym $\epsilon =const.$ Wówczas kąt obrotu bryły zależy od czasu w następujący sposób:

gdzie ${\alpha }_0$ jest, jak poprzednio, początkowym kątem, zaś ${\omega }_0$ jest początkową prędkością kątową. Tutaj również łatwo jest dostrzec podobieństwo z ruchem jednostajnie przyspieszonym punktu materialnego, w którym droga zależy od czasu zgodnie z równaniem: $s\left(t\right)=s_0+v_0\cdot t+\frac{1}{2}·a\cdot t^2.$

Słowniczek