Element dysku o powierzchni $S$ ma objętość $V = S\cdot h$, zatem jego masa to $m = \varrho S h$, gdzie $\varrho \approx 7,9\cdot 10^3\mathrm{kg/m}^3$ to (objętościowa) gęstość stali. Zatem gęstość powierzchniowa to

Korzystamy z wyprowadzonego w filmiku wzoru i otrzymujemy $M'$ oraz $I$ jako funkcje parametru $x$:

przy czym $\frac{1}{2}\sigma\pi R^4$ to moment bezwładności oryginalnego dysku. Wobec tego masa zmniejszy się dwukrotnie dla  $x = \sqrt{2}$, a moment bezwładności - dla $x = \sqrt[4]{2}$.

Otrzymujemy okrąg o promieniu $R$, nasze wzory opisujące moment bezwładności dają oczywiście $I = 0$. Prawdopodobnie oczekujemy, że okrąg ma niezerową masę i moment bezwładności równy $MR^2$. Tego wyniku nie uzyskamy stosując nasze wzory, ponieważ dla obiektu jednowymiarowego (jakim jest w szczególności okrąg) traci sens pojęcie gęstości powierzchniowej. Innymi słowy: albo rezygnujemy w ogóle z używania $\sigma$, albo dokonujemy przejścia z $r$ do $R$ przy ustalonym $M'$. Z matematycznego punktu widzenia odpowiadałoby to przechodzeniu do coraz większego $\sigma$, w granicy nieskończonego. Jest to przykład ważnego w matematyce obiektu zwanego dystrybucją, tu - proporcjonalną do tzw. delty Diraca. Jedynym sposobem zrealizowania ustalonego $M'$ dla $r = R$ jest użycie „nieskończonej gęstości powierzchniowej” na okręgu i równej zeru poza nim. Na rysunku poniżej przedstawiamy trzy wykresy stałych gęstości odpowiadających ustalonemu $M'$ dla różnych długości przedziału $[r, R]$. Widać, że im bliższe są sobie te dwa promienie, tym „wyższy” jest wykres gęstości:

Rd3hhGDdKzf5R

Na rysunku znajdują się trzy układy współrzędnych. W każdym z układów na poziomej osi odłożono odległość oznaczoną literą małe x, a na osi pionowej gęstość oznaczoną grecką literą sigma. W pierwszym układzie na osi poziomej zaznaczono dwa punkty. Punkt leżący z lewej strony ma współrzędną małe r, a punkt leżący z prawej strony współrzędną wielkie R. Wykres funkcji składa się z trzech poziomych odcinków. Pierwszy odcinek zaczyna się w początku układu współrzędnych i kończy w punkcie na osi poziomej o współrzędnej małe r. Drugi odcinek leży powyżej osi poziomej, a jego końce leżą nad punktami o współrzędnych małe r i wielkie R. Trzeci odcinek leży na osi poziomej i zaczyna się w punkcie wielkie R. W drugim układzie na osi poziomej również zaznaczono dwa punkty oznaczone jako małe r i wielkie R, jednak punkty te leżą bliżej siebie niż w układzie pierwszym. Wykres funkcji jest podobny, lecz odcinek leżący nad osią poziomą jest krótszy i znajduje się wyżej niż w układzie pierwszym. W trzecim układzie na osi poziomej również zaznaczono dwa punkty oznaczone jako małe r i wielkie R. Punkty te leżą jeszcze bliżej siebie niż w układzie drugim. Wykres funkcji jest podobny, lecz odcinek leżący nad osią poziomą jest najkrótszy i znajduje się najwyżej.

Graniczną „funkcją” jest - nieformalnie - następująca:

Nawiasem mówiąc - od dawna znasz tego typu „gęstość”. Masa punktu materialnego jest przecież skończona, jego rozmiary przestrzenne zerowe - jest to geometryczny punkt. Gęstość rozumiana tradycyjnie, jako iloraz masy przez objętość, nie jest określona. Ale napisanie

gdzie $\vec{r}_0$ jest położeniem punktu naterialnego, ma swój sens.