Warto przeczytać

Moment bezwładności jest wielkością fizyczną niezbędną do opisu ruchu obrotowego. Odgrywa rolę analogiczną do masy w opisie ruchu postępowego – jest miarą bezwładności ciała lub układu. Dla punktu materialnego definiujemy go jako iloczyn masy m tego ciała i kwadratu jego odległości od osi obrotu r:

Dla bryły sztywnejbryła sztywnabryły sztywnej moment bezwładności to suma momentów bezwładności wszystkich jego elementów:

Przeprowadzając to sumowanie można wyprowadzić poniższe wzory opisujące moment bezwładności niektórych brył sztywnych:

Moment bezwładności jest wielkością pojawiającą się we wzorach opisujących ruch obrotowyruch obrotowyruch obrotowy bryły sztywnej:

• Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej o momencie bezwładności $I$, obracającej się z prędkością kątowąprędkość kątowaprędkością kątową $\omega$, to $E_k=\frac{I{\omega }^2}{2}$. Wzór ten można wyprowadzić z energii kinetycznej ruchu postępowego, korzystając z zależności $v=\omega R$: $E_k=\frac{m{v}^2}{2}=\frac{m{\omega }^2{r}^2}{2}=\frac{m{r}^2{\omega }^2}{2}=\frac{I{\omega }^2}{2}$.

• Moment pędu bryły sztywnej o momencie bezwładności $I$, obracającej się z prędkością kątową $\omega$, to $L=I\omega$. Zależność tę można wyprowadzić przeprowadzając sumowanie momentów pędu każdego z elementów bryły sztywnej

• Przyspieszenie kątowe, zgodnie z drugą zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego, jest ilorazem momentu siły M i momentu bezwładności I bryły sztywnej: $\epsilon =\frac{M}{I}.$

Moment bezwładności bryły sztywnej zależny jest od tego wokół jakiej osi następuje obrót tej bryły. Dla osi przechodzących przez środek masy wartości podane są w tabeli powyżej. Jeśli chcemy obliczyć moment bezwładności względem dowolnej osi, należy skorzystać z twierdzenia Steinera:

gdzie $I_0$ to moment bezwładności bryły względem osi przechodzącej przez środek masy, równoległej do analizowanej osi obrotu, m to masa tej bryły, a d to odległość środka masy od analizowanej osi obrotu (Rys. 1.).

R1FXtViLrACNF

Rys. 1. Na rysunku przedstawiono ciało o nieregularnym kształcie, podobnym do szerokiego rogala, cieńszego z jednej strony. Przez środkową część ciała poprowadzono pionową linię opisaną wielką literą O. Obok linii zapisano oznaczenie wielkie „I” z indeksem dolnym zero. Na lewo od pionowej linii narysowano drugą pionową linię leżącą poza ciałem i opisaną wielką literą O prim. Między pionowymi liniami narysowano poziomy odcinek zakończony z obu stron strzałkami, którego długość jest oznaczona małą literą d.

Przytoczony wzór możemy przekształcić do następującej postaci:

gdzie A to współczynnik odpowiadający różnym bryłom sztywnym – dla walca wynosi ½, dla kuli 2/5, dla obręczy cienkościennej 1. Jak widać, dla ustalonej bryły $I_s\left(d\right)$ jest funkcją kwadratową odległości, z wartością stałą mARIndeks górny 2² oraz ze zmiennym czynnikiem mdIndeks górny 2². W jakiej odległości $d_x$ wartość tych dwóch czynników zrówna się ze sobą?

Dla kuli $\sqrt{A_k}=\sqrt{\frac{2}{5}}\approx 0,63$, dla walca $\sqrt{A_w}=\sqrt{\frac{1}{2}}\approx 0,71$, a dla $\sqrt{A_p}=\sqrt{1}=1$. W takich odległościach od osi obrotu moment bezwładności $I_0$ będzie stanowił 50% całkowitego momentu bezwładności bryły. Przyjmując, że ciała te mają masę m = 1kg a promień R = 50 cm, można wykonać następujący wykres zależności całkowitego momentu bezwładności od odległości osi obrotu od środka masy (Rys. 2.):

R1e6ng0c7YUcQ

Rys. 2. Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono odległość osi obrotu od środka masy, w nawiasie kwadratowym jednostka zapisana jako małe m, w zakresie od zera do 0,4 metra. Na osi pionowej odłożono moment bezwładności, w nawiasie kwadratowym jednostka opisana jako małe kg na małe m do kwadratu, w zakresie od zera do 0,6 kilograma razy metr do kwadratu. W układzie współrzędnych narysowano trzy wykresy. Niebieski wykres dla kuli zaczyna się na osi pionowej w punkcie o współrzędnej 0,1 kilograma razy metr do kwadratu i początkowo wznosi się powoli, a dalej na prawo wznosi się coraz szybciej i dla wartości odległości osi obrotu równej 0,4 metra osiąga wartość około 0,2 kilograma razy metr do kwadratu. Pomarańczowy wykres dla walca zaczyna się na osi pionowej, nieco wyżej niż wykres niebieski, w punkcie o współrzędnej 0,12 kilograma razy metr do kwadratu i dalej biegnie podobnie jak wykres niebieski. Zachowana jest w przybliżeniu stała odległość między wykresem pomarańczowym i niebieskim. Szary wykres dla obręczy zaczyna się na osi pionowej, znacznie wyżej niż wykres niebieski, w punkcie o współrzędnej 0,25 kilograma razy metr do kwadratu i dalej biegnie podobnie jak wykres niebieski. Zachowana jest w przybliżeniu stała odległość między wykresem szarym i niebieskim.

Jeśli ten sam wykres wykonamy dla większych odległości, zobaczymy, że względne różnice pomiędzy bryłami staną się pomijalnie małe (Rys. 3.) – w dużych odległościach możemy traktować dowolne bryły sztywne jako punkty materialne. W szczególności planety w Układzie Słonecznym traktujemy z tego powodu jako punkty materialne.

R1K8b8EDLEwci

Rys. 3. Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono odległość osi obrotu od środka masy, w nawiasie kwadratowym jednostka zapisana jako małe m, w zakresie od zera do czterech metrów. Na osi pionowej odłożono moment bezwładności, w nawiasie kwadratowym jednostka zapisana jako małe kg razy małe m do kwadratu, w zakresie od zera do szesnastu kilogramów razy metr do kwadratu. Trzy wykresy dla kuli, walca i obręczy pokryły się i zlały się w jeden wykres, który zaczyna się w pobliżu punktu przecięcia osi i ma kształt paraboli, która dla wartości odległości osi równej 4 metry osiąga wartość około piętnastu kilogramów razy metr do kwadratu.

Słowniczek