Film samouczek

Emmy Noether o równaniach - dla uczniów

Interesujesz się fizyką i matematyką? Chcesz usłyszeć, co mogłaby powiedzieć Emmy Noether o badaniu równań nastolatkowi? Jakie napisałaby przy tym wzory?

Uruchom wyobraźnię, wsiądź do machiny czasu, nastaw ją na środę, 7 września 1932 roku, godz. 10:45. Miejsce: Zurych, budynek ETH (Politechnika Federalna). Za kwadrans zacznie się godzinne wystąpienie Emmy Noether na sesji plenarnej Międzynarodowego Kongresu Matematycznego. Po kolejnym wystąpieniu, o 13:00, jest dwugodzinna przerwa – na pewno uda Ci się ją namówić na kilka minut rozmowy.

Pamiętaj tylko, że jest ona przyzwyczajona do naukowych dyskusji ze studentami i doktorantami matematyki – możesz nie wszystko od razu zrozumieć. W razie czego, po powrocie do współczesności, dopytaj swoich nauczycieli matematyki i fizyki o te parę niejasnych szczegółów.

No i ogranicz się do słuchania. Jeśli wiesz coś z matematyki czy fizyki, co nie było wiadome wtedy - nie opowiadaj o tym. Nie chcesz przecież zaburzać związków przyczynowo‑skutkowych.

R1IUHcZWDAhSi

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Polecenie 1

Wykaż, że iloraz różnicowy kwadratu prędkości jest w przybliżeniu równy podwojonemu iloczynowi chwilowej prędkości i ilorazu różnicowego prędkości:

\frac{Δ (v^{2} (t))}{Δ t} \approx 2 v (t) \frac{Δ v}{Δ t}

Wykaż następnie, że przybliżenie to jest tym dokładniejsze, im odstęp czasu $Δ t$ jest bliższy zeru.

Zapisz swoje rozumowanie w przygotowanym polu i porównaj z wzorcowym rozwiązaniem.

Wyobraź sobie dwie bliskie chwile: początkową $t_{p}$ i końcową $t_{k}$ ; $Δ t = t_{k} - t_{p}$ . Funkcja $v (t)$ przybiera w nich wartości $v (t_{p})$ oraz $v (t_{k})$ . Zapisz wyrażenie dla ilorazu różnicowego kwadratu prędkości i przekształć go, stosując jeden ze wzorów skróconego mnożenia.

\frac{Δ v^{2} (t)}{Δ t} = \frac{v^{2} (t_{k}) - v^{2} (t_{p})}{Δ t} = . . .

Dalszy ciąg dowodu to:

. . . = \frac{(v (t_{k}) + v (t_{p})) \cdot (v (t_{k}) - v (t_{p}))}{Δ t} = 2 \cdot \frac{1}{2} (v (t_{k}) + v (t_{p})) \cdot \frac{(v (t_{k}) - v (t_{p}))}{Δ t} = 2 \cdot v_{ś r} \cdot \frac{Δ v}{Δ t}

Prędkość średnia jest w przybliżeniu równa którejkolwiek z prędkości $v (t_{p})$ , $v (t_{k})$ czy innej wartości $v (t)$ dla dowolnego czasu t z tego przedziału. Im węższy przedział
( $t_{p}$ ; $t_{k}$ ), czyli im mniejsze $Δ t$ , tym bardziej średnia prędkość zbliża się do chwilowej.

Polecenie 2

W samouczku zastosowano wyrażenia na energię kinetyczną i energię potencjalną w postaci:

E_{k} (v) = \frac{1}{2} m v^{2}; E_{p} (h) = m g h

Ta postać jest efektem zastosowania dwóch konwencji. Dla energii kinetycznej konwencja polega na ustaleniu, że energia kinetyczna ciała o zerowej prędkości jest równa zero. Niezależnie od tego przyjmujemy najczęściej, że energia potencjalna ciała na poziomie ziemi jest równa zero.
W ogólnym zapisie jednak, energie te wyrażają się w postaci

E_{k} (v) = \frac{1}{2} m v^{2} + E_{0 k}; E_{p} (h) = m g h + E_{0 p}

Dwa czynniki addytywne, $E_{0 k}$ oraz $E_{0 p}$ mogą zostać wybrane dowolnie, choć po dokonaniu wyboru, ich wartość musi być w rozpatrywanym zagadnieniu utrzymana jako stała. Taki wybór nazywa się, nieco żargonowo, ustalaniem zera energii (kinetycznej lub potencjalnej).

E_{0 k}

E_{0 p}

Zbadaj, czy równanie opisujące zasadę zachowania energii jest niezmiennicze ze względu na wartości tych stałych, gdy poddamy je procedurze opisanej w samouczku.

Zbadaj, czy można zastąpić równanie

\frac{1}{2} m v^{2} (t) + m g h (t) = E_{c}

równaniem ogólniejszym

\frac{1}{2} m v^{2} (t) + E_{0 k} + m g h (t) + E_{0 p} = E_{c}

i uzyskać ten sam wynik wyprowadzenia zaprezentowanego w samouczku.

Przekształćmy drugie równanie, podobnie jak pierwsze w samouczku, do postaci różnicowej

\frac{Δ [\frac{1}{2} m v^{2} (t) + E_{0 k} + m g h (t) + E_{0 p} = E_{c}]}{Δ t}

Skorzystajmy z możliwości przedstawienia różnicy sumy jako sumę różnic

\frac{Δ \frac{1}{2} m v^{2} (t) + Δ E_{0 k} + Δ m g h (t) + Δ E_{0 p} = Δ E_{c}}{Δ t}

Zauważmy, że podobnie jak całkowita energia $E_{c}$ , oba czynniki addytywne $E_{0 k}$ i $E_{0 p}$ są stałe w czasie. Ich zmiany (przyrosty, różnice) wynoszą zatem zero. W efekcie otrzymujemy równanie

\frac{\frac{1}{2} m Δ v^{2} (t) + m g Δ h (t) = 0}{Δ t}

Takie równanie wystąpiło zaś w samouczku. Oznacza to, że wykazaliśmy niezmienniczość równania opisującego zasadę zachowania energii ze względu na ustalenie zera energii potencjalnej.

Audiobook

Dla nauczyciela

Emmy Noether o równaniach - dla uczniów