Film samouczek

Dodawanie wektorów

W tym samouczku omówimy na graficzną metodę dodawania wektorów. Mamy dwie takie metody: wieloboku i równoległoboku.

R1KNJw87u4IvT

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DQQVHAAGM

Wysłuchaj alternatywnej ścieżki lektorskiej.

Polecenie 1

Znajdź metodą wieloboku sumę i różnicę wektorów

$\vec{a}=[-3;5],\ \vec{b}=[1,-4].$

Oblicz ich długości i porównaj z długościami wyjściowych wektorów.

$\vec{a}+\vec{b}=[-3;5]+[1;-4]=[-2;1],$

$\vec{a}-\vec{b}=[-4;9].$

Stąd

$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt{5},$

$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{(-4)^2+9^2}=\sqrt{97}.$

Z kolei $|\vec{a}|=\sqrt{(-3)^2+5^2}=\sqrt{34},\ |\vec{b}|=\sqrt{1^2+(-4)^2}=\sqrt{17}.$ Da się sprawdzić, że

$|\vec{a}-\vec{b}|\le|\vec{a}|+|\vec{b}|.$

Jest to własność uniwersalna, znana ci zapewne jako nierówność trójkąta. Równość osiągana jest wtedy i tylko wtedy, gdy odejmowane wektory mają ten sam kierunek.

Polecenie 2

Inną ważną własnością sumy i różnicy wektorów jest tzw. tożsamość równoległoboku. Sprawdź, że dla wektorów z Polecenia 1. prawdą jest, że

$|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{a}+\vec{b}|^2=2|\vec{a}|^2+2|\vec{b}|^2\ .$

Przeczytaj

Sprawdź się

Dodawanie wektorów