Warto przeczytać

Wektor to uporządkowana para punktów, którą graficznie przedstawia się jako strzałkę. Mamy dwie możliwości przedstawienia wektora, a co za tym idzie - co najmniej dwie metody wyznaczania sumy wektorów. Możemy to zrobić w sposób rachunkowy – działając na współrzędnych albo graficznie – działając na strzałkach.

Jeśli znane są współrzędne początku oraz końca dwóch wektorów, to metoda rachunkowa jest najprostszą i najszybszą metodą ich dodawania oraz odejmowania. Jest to metoda możliwa do zastosowania zawsze.

1. Metoda rachunkowa

Aby dodawać wektory metodą rachunkową, w pierwszej kolejności należy podać ich współrzędne, np. w jakimś układzieukład współrzędnychukładzie kartezjańskim. Współrzędne wektora $\overrightarrow{AB}$ o początku w punkcie $A\left(a_x;a_y\right)$ i końcu w punkcie $B\left(b_x;b_y\right)$ wyznaczamy z korzystając ze wzoru $\overrightarrow{AB}=[b_x-a_x;b_y-a_y]$.

Jako przykład weźmy współrzędne wektora $\overrightarrow{AB}$, gdzie $A\left(1;4\right)$ a $B\left(-5;8\right)$, więc odejmowanie daje wynik$[-5-1;8-4]$ czyli $\overrightarrow{AB}=[-6;4]$. Współrzędne wektorów zapisujemy w nawiasie kwadratowym.

Dodając wektory dodajemy ich współrzędne wzdłuż osi $x$ oraz współrzędne wzdłuż osi $y$ (oraz wzdłuż osi $z$, jeśli mamy przestrzeń trójwymiarową). Jako przykład dodawania (zwanego często składaniem) wektorów metodą rachunkową, rozpatrzmy Rys. 1.:

R1MyvYej2pASP

Rys. 1. Rysunek przedstawia układ współrzędnych, w którym narysowano 2 wektory. Pierwszy wektor leży na osi poziomej. Jego początek oznaczony literą wielkie A pokrywa się z punktem przecięcia obu osi, a koniec oznaczony literą wielkie B leży w punkcie o współrzędnej równej 4. Drugi wektor leży na osi pionowej. Jego początek oznaczony literą wielkie C pokrywa się z punktem przecięcia obu osi, a koniec oznaczony literą wielkie D leży w punkcie o współrzędnej równej 3.

Mamy dwa wektory $\overrightarrow{AB}$ oraz $\overrightarrow{CD}$ zaczepione w początku układu współrzędnychukład współrzędnychukładu współrzędnych $A=C=\left(0,0\right)$. Aby dodać je do siebie, wyznaczmy najpierw ich współrzędne. Punkt $A$ ma współrzędne $\left(0;0\right)$, punkt $B$ ma współrzędne $\left(4;0\right)$. To znaczy, że wektor $\overrightarrow{AB}$ ma współrzędne $[4;0]$.

Podobnie, punkt $C$ ma współrzędne $\left(0;0\right)$, punkt $D$ ma współrzędne $\left(0;3\right)$. To znaczy, że współrzędne wektora $\overrightarrow{CD}$ to $[0;3]$.

Chcemy wyznaczyć wektor $\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$. W tym celu dodajemy do siebie współrzędne iksowe i - osobno - igrekowe. Wynik dodawania, $\overrightarrow{XY}$ , ma współrzędne $[4-0;3-0]$. Jeśli więc umieścimy jego punkt zaczepienia w początku układu współrzędnychukład współrzędnychukładu współrzędnych, to jego koniec będzie znajdował się w punkcie o współrzędnych $\left(4;3\right)$ (Rys. 2.).

RuHVjTPdnit1U

Rys. 2. Rysunek przedstawia układ współrzędnych, w którym narysowano 2 wektory. Pierwszy wektor leży na osi poziomej. Jego początek oznaczony literą wielkie A pokrywa się z punktem przecięcia obu osi, a koniec oznaczony literą wielkie B leży w punkcie o współrzędnej równej 4. Drugi wektor leży na osi pionowej. Jego początek oznaczony literą wielkie C pokrywa się z punktem przecięcia obu osi, a koniec oznaczony literą wielkie D leży w punkcie o współrzędnej równej 3. Na tych wektorach zbudowano równoległobok. Wzdłuż przekątnej równoległoboku narysowano wektor o początku wspólnym z początkiem obu wektorów oraz końcem w przeciwległym wierzchołku równoległoboku. Początek tego wektora oznaczono literą wielkie X, a koniec literą wielkie Y. Pod rysunkiem znajduje się równość: wielkie X równa się wielkie A równa się wielkie C równa się punkt w spółrzędnych zero, zero.

W ogólności sumą wektorów $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{BC}$ nazywamy wektor zaczepiony w punkcie $A$ i końcu w punkcie $C$,

Jako przypadek szczególny rozpatrzmy dodawanie wektorów równoległych albo antyrównoległych, tj. mających wspólny kierunek i zgodne albo przeciwne zwroty. Ilustrują to Rys. 3a. oraz 3b.

R1GnaJLhYCBwl

Rys. 3a. Rysunek przedstawia graficzną ilustrację składania wektorów o zgodnym zwrocie leżących na prostej. Wektor AB ma kierunek poziomy i skierowany jest w prawo. W punkcie końcowym wektora AB znajduje się punkt początkowy wektora BC, który również jest poziomy i skierowany w prawo. Pod tym wektorami narysowano wektor AC, którego długość równa jest sumie wektorów AB i BC.

RlCi4cCyu58H8

Rys. 3b. Rysunek przedstawia graficzną ilustrację odejmowania wektorów o zgodnym zwrocie leżących na prostej. Wektor AB ma kierunek poziomy i skierowany jest w prawo. W punkcie końcowym wektora AB znajduje się punkt początkowy wektora BC, który również jest poziomy i skierowany w lewo. Pod tym wektorami narysowano wektor AC, którego długość równa jest różnicy wektorów AB i BC.

Ponieważ dodawanie wektorów jest łączne, możemy wszystkie te wektory dodać jednocześnie - wynik będzie taki sam.

Wektory możemy dodawać i odejmować również za pomocą metody graficznej. Mamy dwie takie metody:

2a. Metoda wieloboku

Aby dodać do siebie dwa wektory $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{CD}$, rysujemy wektor $\overrightarrow{AB}$, a następnie początek wektora $\overrightarrow{CD}$ umieszczamy w punkcie końcowym wektora $\overrightarrow{AB}$. Następnie z punktu początkowego wektora $\overrightarrow{AB}$ wyprowadzany wektor o grocie w punkcie końcowym wektora $\overrightarrow{CD}$. Wyznaczony w ten sposób wektor (Rys. 4.), nazwijmy go $\overrightarrow{AD}$, jest sumą wektorów $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{CD}$ .

Obok sprawdzamy, że dodanie tych samych wektorów w przeciwnym porządku daje ten sam wektor. Dla czytelności pominięto oznaczenia punktów.

R6KS2gKqpUnlo

Rys. 4. Na rysunku znajduję się wektor AB skierowany ukośnie w górę i w prawo. W punkcie końcowym B tego wektora znajduje się początek drugiego wektora CD, skierowanego poziomo w prawo. Trzeci wektor, będący sumą wektorów AB i CD, ma początek w punkcie A i koniec w punkcie D. Te trzy wektory tworzą trójkąt. Obok znajduje się rysunek, na którym najpierw narysowano poziomy wektor, a od jego końca wychodzi wektor skierowany ukośnie w górę i w prawo. Trzeci wektor, będący sumą dwóch pierszych wektorów, ma początek w punkcie początkowym pierwszego wektora i koniec w punkcie końcowym drugiego wektora. Suma wektorów na obu rysunkach jest wektorem o takim samym kierunku i wartości.

W przypadku równoległych wektorów powstający wielobok jest zdegenerowany do linii prostej, jak na Rys. 3a.

Aby od wektora $\overrightarrow{IJ}$ odjąć wektor $\overrightarrow{KL}$, postępujemy następująco: wykreślamy wektor $\overrightarrow{IJ}$, a następnie z początku wektora $\overrightarrow{IJ}$ wykreślamy wektor $\overrightarrow{KL}$. Z końca wektora $\overrightarrow{KL}$ wykreślamy wektor w kierunku końca wektora $\overrightarrow{IJ}$, jak na Rys. 5.

RYbU1SBjxfjDf

Rys. 5. Na rysunku z lewej strony znajduję się wektor IJ skierowany ukośnie w górę i w prawo. Obok narysowano poziomy wektor KL, skierowany w prawo. Pod wektorem KL narysowano poziomy wektor LK skierowany w lewo. Z prawej strony rysunku jest konstrukcja, na której oba wektory IJ oraz KL mają wspólny początek. Trzeci wektor, będący różnicą wektorów IJ oraz KL, ma początek w końcu wektora KL i koniec w końcu wektora IJ. Pod tym rysunkiem znajduje się równanie: wektor LJ równa się wektor IJ minus wektor KL.

2b. Metoda równoległoboku

Aby dodać do siebie dwa wektory $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{CD}$, rysujemy wg Rys. 6. wektor $\overrightarrow{AB}$, a następnie początek wektora $\overrightarrow{CD}$ umieszczamy w tym samym punkcie, co początek wektora $\overrightarrow{AB}$. Rysujemy proste: równolegą do pierwszego wektora, przechodzącą przez koniec drugiego i drugą, równoległą do drugiego wektora i przechodzącą przez koniec pierwszego. Na koniec z punktu początkowego wektorów $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{CD}$ wykreślamy wektor, którego grot znajduje się w punkcie przecięcia narysowanych prostych. Wyznaczony w ten sposób wektor jest sumą wektorów $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{CD}$.

R1MRQzOUxwNno

Na rysunku z lewej strony znajduję się wektor AB skierowany ukośnie w górę i w prawo. Obok narysowano poziomy wektor CD, skierowany w prawo. Z prawej strony rysunku jest konstrukcja, na której oba wektory AB oraz CD mają wspólny początek. Od końca wektora AB narysowano przerywaną linię równoległą do wektora CD, a od końca wektora CD narysowano przerywaną linię równoległą do wektora AB. Przerywane linie przecięły się tworząc razem z wektorami równoległobok. Wektor o początku pokrywającym się z początkiem wektorów AB i CD i o końcu w przeciwległym wierzchołku równoległoboku jest sumą wektorów AB i CD.

Widać związek tej metody z poprzednio omówioną metodą wieloboku - wystarczy przesunąć wektor $\overrightarrow{CD}$ równolegle wzdłuż $\overrightarrow{AB}$, aż punkt $C$ „dotrze” do $B$ - odtwarzamy wtedy trójkąt, którego użyliśmy w konstrukcji na Rys. 4.

Uwaga: Dodawanie wektorów, podobnie jak dla liczb, jest działaniem przemiennym i łącznym.

Słowniczek