Korzystając ze wzoru na cosinus różnicy argumentów,

otrzymamy

skąd, uwzględniając niezależność funkcji sinus i cosinus, otrzymamy $A = C\cos u$ oraz $B = C\sin u$. Z jedynki trygonometrycznej wynika $C^2 = A^2 + B^2\Rightarrow C = \sqrt{A^2 + B^2}$, a dzieląc otrzymane związki stronami eliminujemy $C$ i dostajemy $\text{tg}\,u = B/A$. Z okresowości funkcji cosinus widać, że $u$ znane jest z dokładnością do dowolnej całkowitej wielokrotności $2\pi$.

Poniższe wyjaśnienie jest uogólnieniem zaprezentowanego rozwiązania.
Jest abstrakcyjne i przez to dość trudne - dlatego zachęcamy Cię do przeczytania go i do zastanowienia się na zawartymi w nim koncepcjami.

W filmiku użyliśmy pewnej tożsamości trygonometrycznej, a następnie porównaliśmy czynniki przy funkcjach $\cos\alpha$ oraz $\sin\alpha$. Jest to czynność w jakimś sensie analogiczna do porównywania wielomianów - jeśli wiemy, że wielomiany są sobie równe na pewnym przedziale (a nie tylko dla konkretnych wartości argumentu, których może być skończona liczba), to wiemy, że współczynniki tych wielomianów są sobie równe. Podobnie jest z wektorami: jeśli dwa wektory są sobie równe, to ich współrzędne (przypisane im w tym samym układzie współrzędnych!) są sobie równe. I na odwrót. Czas to powiedzieć wprost - funkcje mają cechy wektorów, można je dodawać, mnożyć przez liczbę, znajdować ich „wartość” czy „długość” (zwaną „normą”), iloczyn skalarny między dwiema funkcjami, rozkładać na „składowe”, obliczać odległość między dwiema funkcjami itp.

Tu widzieliśmy prosty przykład funkcji, która ma jedynie dwie niezerowe składowe - współczynniki przy sinus i cosinus 1‑krotności kąta $\alpha$ są niezerowe, reszta jest równa zeru. Okazuje się, że dowolną funkcję okresową (może być dużo bardziej skomplikowana niż „czysty” sinus albo cosinus, może mieć nieciągłości, „schodki”, jej wykres może być linią łamaną itp.) da się jednoznacznie przedstawić w postaci nieskończonej sumy

W powyższym wzorze $a_n$ i $s_n$ są wyrazami ciągów liczbowych, odpowiednio szybko malejących wraz ze wzrostem $n$. Ich oznaczenie ma się kojarzyć z własnościami parzystości funkcji trygonometrycznych, które mnożą („a” - wyrazy asymetryczne, ponieważ sinus jest funkcją nieparzystą, „s” - symetryczne, bo cosinus jest funkcją parzystą). Oczywiście może się zdarzyć, że od pewnego $n$ począwszy wyrazy te są równe zeru i sumowanie się „urywa”. To przedstawienie okresowej funkcji nosi nazwę szeregu Fouriera. Do wyznaczenia ciągów $a_n$ i $s_n$ wymagana jest już umiejętność całkowania. Odpowiada ono rzutowaniu wektora na daną „oś”. W przypadku funkcji nieokresowych (i odpowiednio szybko malejących w miarę wzrostu modułu argumentu) przedstawienie w postaci „sumy” funkcji trygonometrycznych też jest możliwe, tyle że „indeksowanie” musi odbywać się przy pomocy parametru rzeczywistego, naturalny (oznaczony poprzednio przez $n$) nie wystarcza. W efekcie zamiast sumy mamy całkę, a odpowiednik obu ciągów (typowo - zebrany w jedną funkcję zespoloną) nazywany jest transformatą Fouriera.