Warto przeczytać

Siła tarcia, nazywana zazwyczaj tarciem, jest siłą oporu, która utrudnia przesuwanie się względem siebie stykających się ciał. Zależy od wartości siły, z którą są dociskane do siebie te ciała i od rodzaju ich powierzchni. Zaczyna działać już wtedy, gdy próbuje się wprawić te ciała w ruch, jedno względem drugiego. Tarcie występujące przy przesuwaniu ciał dzielimy na dwa rodzaje:

Tarcie statyczne – działa, gdy ciała jeszcze się nie przesuwają względem siebie. Tarcie to rośnie wraz z zewnętrzną siłą próbującą przesuwać ciała względem siebie, osiągając maksymalna wartość tuż przed rozpoczęciem ruchu ciał.

Tarcie kinetyczne (dynamiczne) – działające, gdy ciała się przemieszczają względem siebie. Ma ono praktycznie stałą wartość przy ustalonej wartości zewnętrznych sił działających równolegle do kierunku ruchu.

Wartość siły tarcia opisuje wzór

gdzie $\mu$ to współczynnik tarcia zależny od rodzaju powierzchni, $F_N$ – wartość siły nacisku.

Dla dwóch powierzchni mogą być podane dwa współczynniki tarcia: $\mu_s$ - współczynnik tarcia statycznego, opisujący maksymalną wartość tarcia statycznego, oraz $\mu_k$ - współczynnik tarcia kinetycznego. Maksymalna wartość tarcia statycznego dla pary powierzchni jest większa od wartości tarcia kinetycznego.

Najczęściej tarcie opisuje się dla ruchu ciała po nieruchomym podłożu, zakładając, że oba obiekty stykają się płaskimi ścianami.

Przy wyznaczeniu siły tarcia ważnym etapem jest określenie siły nacisku $\vec{F}_N$, czyli siły, którą ciało naciska na podłoże. W pierwszym etapie rozkładamy wszystkie siły działające na ciało na składowe równoległe i prostopadłe do podłoża. Składowe równoległe wpływają bezpośrednio na ruch ciała – na ich podstawie wyznaczamy przyspieszenie ciała. Składowe prostopadłe określają siłę nacisku ciała na podłoże. Siła nacisku ciała na podłoże, zgodnie z III zasadą dynamiki, jest równa co do wartości sile, którą podłoże działa na ciało. Siłę tę nazywa się siłą sprężystości podłoża $\vec{F}_S$, spotyka się również termin siła reakcji. Siłę sprężystości łatwo jest znaleźć, ponieważ wraz z innymi siłami działającymi na ciało, prostopadłymi do podłoża, daje wypadkową równą 0 (Rys. 1.).

RviL6yVMCfoAS

Rys. 1a. Na rysunku jest pozioma linia prosta, na której od góry leży ciemny prostokąt, co symbolizuje ciało leżące na podłożu. Narysowano wektor siły ciężkości ciała, przyłożony w środku ciała, skierowany pionowo w dół i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym małe g i ze strzałką nad nią. Wektor siły nacisku na podłoże jest przyłożony do punktu, znajdującego się tuż pod poziomą linią, pośrodku ciemnego prostokąta. Wektor ten jest skierowany pionowo w dół i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym wielkie N i ze strzałką nad nią, a jego długość jest równa długości wektora siły ciężkości. Wektor siły sprężystości podłoża jest przyłożony do punktu, znajdującego się przy dolnej krawędzi prostokąta, skierowany pionowo w górę i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym małe s i ze strzałką nad nią. Pod rysunkiem znajduje się równanie: wielkie F z indeksem dolnym wielkie N równa się wielkie F z indeksem dolnym małe s równa się wielkie F z indeksem dolnym małe g równa się m razy g.

R1NJRSnsXyJvh

Rys. 1b. Na rysunku jest pozioma linia prosta, na której od góry leży ciemny prostokąt, co symbolizuje ciało leżące na podłożu. Narysowano wektor siły ciężkości ciała, przyłożony w środku ciała, skierowany pionowo w dół i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym małe g i ze strzałką nad nią. Wektor siły zewnętrznej przyłożony jest do górnego, prawego wierzchołka prostokąta, skierowany ukośnie w górę i w prawo i oznaczony literą wielkie F ze strzałką nad nią. Wektor ten został rozłożony na dwie składowe poziomą i pionową. W tym celu narysowano prostokąt, którego przekątną jest wektor siły zewnętrznej. Składowa pionowa siły zewnętrznej leży na lewej krawędzi tego prostokąta, skierowana jest pionowo w górę i oznaczona literą wielkie F z indeksem dolnym małe y i ze strzałką nad nią. Składowa pozioma siły zewnętrznej leży na dolnej krawędzi tego prostokąta, skierowana jest poziomo w prawo i oznaczona literą wielkie F z indeksem dolnym małe x i ze strzałką nad nią. Wektor siły nacisku ciała na podłoże jest przyłożony do punktu, znajdującego się tuż pod poziomą linią, pośrodku ciemnego prostokąta. Wektor ten jest skierowany pionowo w dół i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym wielkie N i ze strzałką nad nią, a jego długość jest mniejsza od długości wektora siły ciężkości. Wektor siły sprężystości podłoża jest przyłożony do punktu, znajdującego się przy dolnej krawędzi ciemnego prostokąta, skierowany pionowo w górę i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym małe s i ze strzałką nad nią. Pod rysunkiem znajduje się równanie: wielkie F z indeksem dolnym wielkie N równa się wielkie F z indeksem dolnym małe s równa się wielkie F z indeksem dolnym małe g minus wielkie F z indeksem dolnym małe y.

R1bbCXhMwjpRX

Rys. 1c. Na rysunku jest trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna jest pozioma, a druga, krótsza przyprostokątna jest pionowa. Przeciwprostokątna stanowi równię pochyłą, na której leży ciało o kształcie prostokąta. Narysowano wektor siły ciężkości ciała, przyłożony w środku ciała, skierowany pionowo w dół i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym małe g i ze strzałką nad nią. Wektor ten został rozłożony na dwie składowe prostopadłą i równoległą do równi. W tym celu narysowano prostokąt, którego przekątną jest wektor siły ciężkości. Składowa prostopadła równi leży na lewej krawędzi tego prostokąta, skierowana jest ukośnie w dół i w lewo i oznaczona literą wielkie F z indeksem dolnym małe g i małe n, ze strzałką nad nią. Składowa równoległa do równi leży na górnej krawędzi tego prostokąta, skierowana jest ukośnie w dół i w prawo i oznaczona literą wielkie F z indeksem dolnym małe g i małe s, ze strzałką nad nią. Wektor siły nacisku ciała na równię jest przyłożony do punktu, znajdującego się przy krawędzi równi pod ciałem. Jest on prostopadły do równi, skierowany ukośnie w dół i w lewo i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym wielkie N, ze strzałką nad nią. Wektor siły sprężystości podłoża jest przyłożony do punktu, znajdującego się przy dolnej krawędzi ciała i jest prostopadły do równi, skierowany ukośnie w górę i w prawo i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym małe s, ze strzałką nad nią. Pod rysunkiem znajduje się równanie: wielkie F z indeksem dolnym wielkie N równa się wielkie F z indeksem dolnym małe s równa się wielkie F z indeksem dolnym małe g i małe n.

Przykładowe zadania, w których występuje siła tarcia.

Przykład 1

Dosyć prostym zadaniem, ale sprawiającym niekiedy problemy z ustaleniem zwrotu siły tarcia, jest zadanie, w którym tarcie utrzymuje ciało w spoczynku względem ruchomej podstawki.

Zadanie: Na książce spoczywającej na poziomym stole leży pudełko. Współczynnik tarcia statycznego między pudełkiem i książką wynosi $\mu_s$. Jaka jest maksymalna wartość przyspieszenia, które nadajemy książce, przy którym pudełko z niej nie spadnie?

Ważne!

Błąd, który często popełniają uczniowie, rozwiązując to zadanie, to stwierdzenie, że skoro siła tarcia przeszkadza ruchowi, to siła działająca na pudełko powinna być zwrócona przeciwnie do jego prędkości (Rys. 2.).

RdK64eeM8iztG

Rys. 2. Na rysunku jest pozioma linia prosta, na której od góry leży długi prostokąt, co symbolizuje książkę leżącą na poziomej powierzchni. Na książce leży pudełko o kształcie prostokąta. Narysowano wektor przyspieszenia książki, skierowany poziomo w prawo i oznaczony literą małe a ze strzałką nad nią. Do lewej krawędzi pudełka przyłożony jest wektor siła tarcia, skierowany poziomo w lewo i oznaczony literą wielkie T ze strzałką nad nią.

Błąd ten wynika ze zbyt pospiesznej analizy sytuacji. Owszem, siła tarcia przeszkadza przesuwaniu się pudełka, ale względem książki. Tarcie książki o pudełko (Rys. 2., czerwona strzałka) przeszkadza wysuwaniu się książki spod pudełka i działa na książkę, i skierowana jest przeciwnie do jej prędkości. Natomiast tarcie pudełka o książkę (niebieska strzałka) jest zwrócone zgodnie z jego prędkością względem stołu – i to właśnie tarcie powoduje - przynajmniej na początku - przyspieszony ruch pudełka (Rys. 3.). Przyspieszenie książki względem stołu może być jednak tak duże, że książka „wyjdzie spod” pudełka - właśnie tej wartości przyspieszenia $\vec{a}$ szukamy.

Rozwiązanie:

RIXkQJkCwN1ql

Rys. 3. Na rysunku przedstawiono długi zielony prostokąt, co symbolizuje książkę. Na książce leży pudełko o kształcie szarego prostokąta. Narysowano wektor przyspieszenia książki, skierowany poziomo w prawo i oznaczony literą małe a ze strzałką nad nią. Wektor siły tarcia działającej na książkę przyłożony jest do punktu leżącego tuż pod pudełkiem i skierowany poziomo w lewo, oznaczony jako wektor duże T z indeksem dolnym k. Wektor siły tarcia działającej na pudełko przyłożony jest do punktu leżącego przy dolnej krawędzi pudełka i skierowany poziomo w prawo, oznaczony jako wektor duże T z indeksem dolnym p.

Pudełko nie spadnie z książki, jeżeli maksymalna siła tarcia statycznego wystarczy na nadanie mu przyspieszenia takiego, jakie uzyskuje książka. Innymi słowy - żądamy, żeby oba ciała nie poruszały się względem siebie. Stąd wynika

Zadanie sprawia mniej problemu, gdy rozwiążemy je w układzie odniesienia książki. Ponieważ jest to układ nieinercjalny, na pudełko będzie działać siła bezwładności $\vec{F}_b = - m\vec{a}$, która dąży do zsunięcia pudełka z książki. Pudełko nie poruszy się względem książki, jeżeli siła bezwładności nie przekroczy maksymalnej wartości siły tarcia statycznego $\vec{T}_p$ (Rys. 4.).

R1EltqCnVmuEx

Rys. 4. Na rysunku jest poziomy, długi prostokąt, co symbolizuje książkę leżącą na poziomej powierzchni. Na książce leży pudełko o kształcie prostokąta. Narysowano wektor siły bezwładności działającej na pudełko, skierowany poziomo w lewo, podpisany wektor duże F z indeksem dolnym małe b. Wektor siły tarcia, działającej na pudełko, skierowany poziomo w prawo i przyłożony do punktu przy dolnej krawędzi pudełka, opisano jako wektor duże T z indeksem dolnym małe p.

Warunek spoczynku pudełka względem książki można zatem zapisać równaniem

Oczywiście każde przyspieszenie o wartości mniejszej niż uzyskana także gwarantuje wspólne poruszanie się książki z pudełkiem.

Przykład 2

Problem będzie trudniejszy, jeżeli siłę przyłożymy do pudełka pod pewnym kątem do poziomu.

Zadanie:

Do pudełka o masie $m$, spoczywającego na książce o masie $M$, przyłożono siłę $\vec{F}$ skierowaną pod kątem (ostrym) $\alpha$ do poziomu. Jaka jest maksymalna wartość tej siły, przy której pudełko nie przesuwało się względem książki? Współczynnik tarcia między pudełkiem a książką wynosi $\mu$. Zakładmy, że tarcie między książką a podłożem można zaniedbać.

Rozwiązanie:

Zaczynamy od narysowania sił działających w układzie i rozłożenia ich na składowe równoległe i prostopadłe do podłoża. Dla uproszenia rysunku nie zaznaczamy siły nacisku pudełka na książkę i siły reakcji książki, a także ciężaru książki, jej nacisku na podłoże i siły jego reakcji.

Rfr139paNY3NY

Rys. 5. Na rysunku jest pozioma linia prosta, na której od góry leży długi prostokąt, co symbolizuje książkę leżącą na poziomej powierzchni. Na książce leży pudełko o kształcie prostokąta. Narysowano wektor siły zewnętrznej przyłożony do górnego, prawego wierzchołka prostokąta, skierowany ukośnie w górę i w prawo i oznaczony literą wielkie F ze strzałką nad nią. Wektor ten został rozłożony na dwie składowe poziomą i pionową. W tym celu narysowano prostokąt, którego przekątną jest wektor siły zewnętrznej. Składowa pionowa siły zewnętrznej leży na lewej krawędzi tego prostokąta, skierowana jest pionowo w górę i oznaczona literą wielkie F z indeksem dolnym małe y i ze strzałką nad nią. Składowa pozioma siły zewnętrznej leży na dolnej krawędzi tego prostokąta, skierowana jest poziomo w prawo i oznaczona literą wielkie F z indeksem dolnym małe x i ze strzałką nad nią. Wektor siły ciężkości pudełka przyłożony jest w jego środku, skierowany pionowo w dół i oznaczony iloczynem: małe m razy małe g ze strzałką na górze. Siła tarcia działająca na pudełko przyłożona jest do dolnej krawędzi pudełka i skierowana poziomo w lewo. Siła tarcia działająca na książkę przyłożona jest do górnej krawędzi książki i skierowana poziomo w prawo.

Aby układ zachowywał się tak, jak zażądano w zadaniu, siła zewnętrzna musi spełniać warunek

tj. nie zachodzi unoszenie pudełka znad książki. Siła nacisku pudełka na książkę ma wtedy wartość

wobec tego wartość siły tarcia między pudełkiem a książką to

Siły tarcia działające na każde z tych ciał są jednakowe co do wartości,  $T_p=T_k=\mu N=\mu (mg-F_y)$, a wartości składowych pionowej i poziomej siły zewnętrznej dane są odpowiednio przez $F_x=F\cos \alpha$ i $F_y=F\sin \alpha$.

Jeśli ruch pudełka i książki jest taki sam, to w szczególności równe są ich przyspieszenia względem podłoża. Wobec tego możemy zapisać dla obu ciał równania ruchu, korzystając z II zasady dynamiki:

Po wstawieniu wartości składowych siły zewnętrznej otrzymamy

Eliminując z tego układu równań poziomą składową przyspieszenia, tj. $a_x$, dostajemy jedno równanie. Sprawdź, że wyznaczenie z niego wartości siły daje

Zauważmy, że jeśli użyta siła nie przekracza uzyskanej tu wielkości po prawej stronie nierówności, to automatycznie spełniony jest pierwszy warunek, od którego zaczęliśmy dyskusję rozwiązania:

przy czym ostatnia nierówność wynika z pominięcia skomplikowanego dodatniego wyrazu w mianowniku (jest on na pewno dodatni) i pozostawieniu jedynki. Jeśli się odrobinę głębiej zastanowić, jest to wynik zgodny z intuicją. Skoro - przy zadanych masach przedmiotów, współczynniku tarcia i kącie nachylenia siły do poziomu - udało nam się wprawić oba przedmioty w ruch - to stąd wprost wynika, że górny przedmiot nie został uniesiony i przylega do dolnego.

Przykład 3

Jak widać z poprzednich zadań, tarcie powoduje również ruch ciał. Tarcie także umożliwia ruch po okręgu.

Zadanie:

Pozioma tarcza wiruje z częstotliwością $f$, tj. wykonuje $f$ obrotów w ciągu sekundy, jeśli wielkość tę wyrazimy w Hz. W jakiej największej odległości od osi obrotu tarczy można na niej położyć niewielką monetę, aby nie została wyrzucona z tarczy? Współczynnik tarcia statycznego między monetą a tarczą wynosi $\mu$.

Rozwiązanie:

Zadanie rozwiążemy w układzie nieinercjalnym związanym z wirującą monetą. Na monetę będzie zatem działać siła bezwładności o wartości

gdzie $a$ jest wartością przyspieszenia dośrodkowym monety,

zaś $R$ – promieniem okręgu, po którym porusza się moneta (Rys.6.).

R1baW1ADPbVAB

Rys. 6a. Na rysunku znajduje się koło, wewnątrz którego narysowano współśrodkowy okrąg o promieniu oznaczonym literą wielkie R. Na okręgu zaznaczono punkt symbolizujący monetę. Do punktu przyłożone są 2 wektory o kierunku zgodnym z kierunkiem promienia okręgu. Wektor siły bezwładności skierowany jest na zewnątrz a wektor siły tarcia do środka okręgu.

R13dLLpZS6qB3

Rys. 6b. Na rysunku jest poziomy, długi prostokąt, na którym leży krótszy prostokąt, co symbolizuje monetę leżącą na tarczy widziane z boku. Do środka monety przyłożony jest wektor siły ciężkości, skierowany pionowo w dół i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym małe g i ze strzałką nad nią. Wektor siły nacisku monety na tarczę jest przyłożony do punktu, znajdującego się przy górnej krawędzi tarczy. Wektor ten jest skierowany pionowo w dół i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym wielkie N i ze strzałką nad nią, a jego długość jest równa długości wektora siły ciężkości. Wektor siły sprężystości podłoża jest przyłożony do punktu, znajdującego się przy dolnej krawędzi monety, skierowany pionowo w górę i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym małe s i ze strzałką nad nią.

Równowagę monety opisuje równanie

Przy maksymalnej (szukanej przez nas w zadaniu) odległości od osi obrotu siła tarcia statycznego osiągnie maksymalną wartość, czyli

Wartość siły nacisku ${\displaystyle F_N}$ jest w tym przypadku równa ciężarowi ciała, ${\displaystyle F_N=mg}$.

Siła bezwładności to siła odśrodkowa,

Prędkość wirującej monety zależy od częstotliwości obrotów zgodnie ze wzorem

wobec tego

Podstawiając do równania (1) za T (2) i za ${\displaystyle F_b}$ (5), otrzymamy:

Zauważmy, że im większa częstotliwość obrotów, tym mniejszy graniczny promień okręgu, po którym porusza się moneta tuż przed jeje „wyrzuceniem”. I im większy współczynnik tarcia, tym większy otrzymamy wynik. Podsumowując: dla promieni $r \lt; R$ moneta porusza się wraz z tarczą.

Przykład 4

Tarcie może też działać w pionie i równoważyć ciężar ciała. Tak się dzieje, gdy na przykład trzymamy coś w palcach lub ciągniemy linę w górę.

Zadanie

Obraz możemy przytrzymywać przy ścianie. Z jaką najmnieszą siłą należy go dociskać, aby nie spadł? Masa obrazu $m$, współczynnik tarcia o ścianę $\mu$.

Rozwiązanie: Układ sił działających na obraz przestawia Rys. 7.

RELUMUuYRewdR

Rys. 7. Na rysunku jest pionowy, długi prostokąt, symbolizujący ścianę. Do ściany przylega z lewej strony wąski, pionowy prostokąt, symbolizujący obraz. Narysowano wektory sił działających na obraz. Wektor siły ciężkości obrazu przyłożony jest w jego środku, skierowany pionowo w dół i oznaczony iloczynem: małe m razy małe g ze strzałką na górze. Wektor siły dociskający obraz do ściany skierowany jest poziomo w prawo. Wektor siły sprężystości ściany skierowany jest poziomo w lewo, i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym małe s i strzałką nad nią. Wektor siły tarcia skierowany jest pionowo do góry i oznaczony literą wielkie T.

Obraz nie zsunie się, jeżeli siła tarcia zrównoważy ciężar ciała:

Maksymalna możliwa wartość siły tarcia jest proporcjonalna do nacisku zgodnie ze wzorem

Zatem $\mu F_N \geqslant mg$, skąd

Pytanie dodatkowe: Czy - jeśli obraz jest nieruchomy - zwiększenie siły nacisku spowoduje wzrost siły tarcia?

Odpowiedź: Nie, ponieważ siła tarcia statycznego „uaktywnia” się na tyle, aby zrównoważyć siłę próbującą przesuwać obraz w pionie – czyli ciężar ciała. Wartość siły tarcia pozostanie więc równa $mg$.

Przykład 5

Tarcie odgrywa również rolę podczas toczenia się kół i trzeba się niekiedy dobrze zastanowić nad tym, jak jest zwrócone.

Zadanie

Koło o masie $m$ i promieniu $R$ rozpędzamy do prędkości kątowej $\omega$ i kładziemy na poziomej powierzchni stołu. Współczynnik tarcia koła o stół wynosi $\mu$ (Rys. 8.). Wyznacz przyspieszenie liniowe i kątowe koła. Moment bezwładności koła to ${\displaystyle I=\frac{1}{2}m{R}^2}$.

RZ9NZMQecbdHA

Rys. 8. Na rysunku jest koło, którego obrót wskazuje łuk ze strzałką zwróconą zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Łuk oznaczony jest małą, grecką literą omega, symbolizująca prędkość kątową. Poniżej narysowano poziomą powierzchnię.

Po postawieniu koła na stole, obwód koła będzie poruszał się względem stołu w lewą stronę (Rys. 9.). Siła tarcia, przeciwdziałając temu ruchowi, będzie powodować przyspieszenie (liniowe) koła oraz opóźnienie jego ruchu obrotowego.

RYrLfS82iIS5r

Rys. 9. Na rysunku jest koło, którego obrót wskazuje łuk ze strzałką zwróconą zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Łuk oznaczony jest małą, grecką literą omega, symbolizującą prędkość kątową. Koło styka się z poziomą powierzchnią. W punkcie styczności koła z powierzchnią narysowano wektor prędkości tego punktu skierowany poziomo w lewo i oznaczony literą małe v ze strzałką nad nią. Do tego samego punktu przyłożony jest wektor siły tarcia, skierowany poziomo w prawo i oznaczony literą wielkie T ze strzałką nad nią. W środku koła zaczepiony jest wektor przyspieszenia, skierowany poziomo w prawo i oznaczony literą małe a ze strzałką nad nią. Nad kołem narysowano drugi łuk ze strzałką zwróconą przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara. Łuk ten oznaczony jest małą grecką literą epsilon, symbolizującą przyspieszenie kątowe.

Ponieważ powierzchnia koła ślizga się po stole, działające tarcie jest tarciem kinetycznym o wartości ${\displaystyle T=\mu mg}$.

Moment siły tarcia o wartości ${\displaystyle M=RT}$ będzie hamować ruch obrotowy. Przyspieszenie kątowe obliczymy, korzystając z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego: $\epsilon =\frac{M}{I}$, gdzie ${\displaystyle I}$ to moment bezwładności koła.

Podstawiając za moment siły ${\displaystyle M=RT}$ i za moment bezwładności ${\displaystyle I=\frac{1}{2}m{R}^2}$, otrzymamy

Siła tarcia, hamując jego ruch obrotowy, spowoduje, że środek masy koła będzie zwiększać swoją prędkość liniową względem stołu do chwili, gdy koło przestanie się ślizgać i zacznie toczyć się bez poślizgu. Wartość prędkości koła $v_k$ będzie wówczas równa $\omega_k R$, gdzie $\omega_k$ to prędkość kątowa koła w chwili zaniku poślizgu. Wtedy przestaje działać tarcie posuwistetarcie posuwistetarcie posuwiste.

Przyspieszenie koła otrzymamy z II zasady dynamiki dla ruchu postępowego:

Słowniczek