a)

$\frac{1}{\cos \alpha }-\cos \alpha =\sin \alpha ·tg\alpha$

Przekształcamy lewą stronę równości tak długo, aż otrzymamy prawą stronę.

Wykorzystamy związki:

$tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ i ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

oraz $1-{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha$.

Założenie: $\cos \alpha \ne 0$.

$L=\frac{1}{\cos \alpha }-\cos \alpha =\frac{1}{\cos \alpha }-\frac{{\cos }^2\alpha }{\cos \alpha }=\frac{1-{\cos }^2\alpha }{\cos \alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha }{\cos \alpha }=$

$=\sin \alpha ·\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\sin \alpha ·tg\alpha =P$

To kończy dowód.

b)

$\frac{\cos \alpha -{\cos }^3\alpha }{{\sin }^3\alpha -\sin \alpha }=-tg\alpha$

Przekształcamy lewą stronę równości tak długo, aż otrzymamy prawą stronę.

Wykorzystamy związki:

$tg\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ i ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

oraz $1-{\cos }^2\alpha ={\sin }^2\alpha$.

Założenia: $\sin \alpha \ne 0$ i ${\sin }^2\alpha -1\ne 0$.

$L=\frac{\cos \alpha -{\cos }^3\alpha }{{\sin }^3\alpha -\sin \alpha }=\frac{\cos \alpha \left(1-{\cos }^2\alpha \right)}{\sin \alpha \left({\sin }^2\alpha -1\right)}=\frac{\cos \alpha ·{\sin }^2\alpha }{\sin \alpha \left({\sin }^2\alpha -1\right)}=$

$=\frac{\cos \alpha ·\sin \alpha }{{\sin }^2\alpha -1}=\frac{\cos \alpha ·\sin \alpha }{{\sin }^2\alpha -\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)}=$

$=\frac{\cos \alpha ·\sin \alpha }{{\sin }^2\alpha -{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha }=\frac{\cos \alpha ·\sin \alpha }{-{\cos }^2\alpha }=\frac{-\sin \alpha }{\cos \alpha }=-tg\alpha =P$

To kończy dowód.