Zapoznaj się z przykładami zaprezentowanymi w filmie i wykonaj polecenia znajdujące się poniżej.
RrXUzJltgUD20
Polecenie 2
Wiadomo, że wykres ciągłej funkcji przechodzi przez punkty ; ; ; ; . Wyznaczyć ile co najmniej rozwiązań należących do przedziału mają równania:
a)
b)
Na wstępie narysujmy łamaną przechodzącą przez podane punkty
R1V9JOcrXrfGS
a) Można zauważyć, że na przedziale zgodnie z twierdzeniem Darboux przyjmuje wszystkie wartości liczbowe z przedziału , czyli w szczególności wartość . Podobnie na przedziale funkcja przyjmuje wszystkie wartości należące do przedziału , więc również . Ostatecznie możemy stwierdzić, że równanie ma co najmniej dwa rozwiązania należące do przedziału .
b) W przypadku drugiego równania postępujemy analogicznie i zauważamy, że na przedziale funkcja przyjmuje wszystkie wartości z przedziału , zatem w szczególności . Na przedziale funkcja przyjmuje wszystkie wartości z przedziału , więc również . Na przedziale funkcja przyjmuje wszystkie wartości z przedziału , czyli również musi przyjąć chociaż raz wartość . Ponadto na przedziale funkcja przyjmuje również wartość , ponieważ przyjmuje wszystkie wartości z przedziału . Ostatecznie stwierdzamy, że równanie posiada, co najmniej rozwiązania należące do przedziału .
Polecenie 3
Wykaż, że funkcja ma co najmniej jeden pierwiastek należący do przedziału .
Zauważmy, że
oraz
.
Zatem spełnione jest założenie, że twierdzenia Darboux. Zatem musi istnieć rozwiązanie równania