Na wstępie narysujmy łamaną przechodzącą przez podane punkty

R1V9JOcrXrfGS

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus sześciu do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji będący łamaną składającą się z czterech ukośnych odcinków: odcinek pierwszy ma początek w zamalowanym punkcie $\left(-5;5\right)$ i koniec w zamalowanym punkcie $\left(-2;-5\right)$. Z tego punktu poprowadzono drugi odcinek do zamalowanego punktu $\left(0;0\right)$. Stąd poprowadzono trzeci odcinek do zamalowanego punktu $\left(2;-6\right)$. Stąd poprowadzono czwarty odcinek do zamalowanego punktu $\left(5;6\right)$.

a) Można zauważyć, że na przedziale $⟨-5,-2 ⟩$ zgodnie z twierdzeniem Darboux przyjmuje wszystkie wartości liczbowe z przedziału $⟨-5,5 ⟩$, czyli w szczególności wartość $\frac{\pi }{2}$. Podobnie na przedziale $⟨2,5 ⟩$ funkcja przyjmuje wszystkie wartości należące do przedziału $⟨-6,6 ⟩$, więc również $\frac{\pi }{2}$. Ostatecznie możemy stwierdzić, że równanie $f\left(x\right)=\frac{\pi }{2}$ ma co najmniej dwa rozwiązania należące do przedziału $⟨-5,5 ⟩$.

b) W przypadku drugiego równania postępujemy analogicznie i zauważamy, że na przedziale $⟨-5,-2 ⟩$ funkcja przyjmuje wszystkie wartości z przedziału $⟨-5,5 ⟩$, zatem w szczególności $\left(-\sqrt{3}\right)$. Na przedziale $⟨-2,0 ⟩$ funkcja przyjmuje wszystkie wartości z przedziału $⟨-5,0 ⟩$, więc również $\left(-\sqrt{3}\right)$. Na przedziale $⟨0,2 ⟩$ funkcja przyjmuje wszystkie wartości z przedziału $⟨-6,0 ⟩$, czyli również musi przyjąć chociaż raz wartość $\left(-\sqrt{3}\right)$. Ponadto na przedziale $⟨2,5 ⟩$ funkcja przyjmuje również wartość $-\sqrt{3}$, ponieważ przyjmuje wszystkie wartości z przedziału $⟨-6,6 ⟩$. Ostatecznie stwierdzamy, że równanie $f\left(x\right)=-\sqrt{3}$ posiada, co najmniej $4$ rozwiązania należące do przedziału $⟨-5,5 ⟩$.

Zauważmy, że

$f\left(-2\right)=\frac{{\left(-2\right)}^5+{\left(-2\right)}^3+1}{{\left(-2\right)}^2+2}=\frac{-32-8+1}{6}=\frac{-39}{6}<0$

oraz

$f\left(2\right)=\frac{{\left(2\right)}^5+{\left(2\right)}^3+1}{{\left(2\right)}^2+2}=\frac{32+8+1}{6}=\frac{41}{6}>0$.

Zatem spełnione jest założenie, że $f\left(a\right)·f\left(b\right)<0$ twierdzenia Darboux. Zatem musi istnieć rozwiązanie równania

$f\left(x\right)=0$

należące do przedziału $\left(-2,2\right)$.