Przeczytaj

Na wstępie zapoznamy się z twierdzeniem Darboux oraz przeanalizujemy je bardzo skrupulatnie.

Darboux

Twierdzenie: Darboux

Załóżmy, że dana jest funkcja ciągła na przedzialefunkcja ciągła na przedzialefunkcja ciągła na przedziale domkniętym $⟨ a, b ⟩$ , tzn. $f : ⟨ a, b ⟩ \to ℝ$ jest ciągła. Jeżeli $f (a) \cdot f (b) < 0$ , to istnieje punkt pośredni $c \in (a, b)$ taki, że $f (c) = 0$ .

Przeanalizujemy powyższe twierdzenie krok po kroku.

Musimy sprawdzić, czy badana funkcja w zadanym przedziale jest ciągła.
Zapis $f (a) \cdot f (b) < 0$ oznacza, że na końcach przedziału wartości funkcji mają różne znaki. Nie musimy badać monotoniczności funkcji, bo nie ma to w tym przypadku znaczenia.
Istnienie punktu pośredniego $c \in (a, b)$ takiego, że $f (c) = 0$ oznacza, że badana funkcja ma miejsce zerowe należące do przedziału $(a, b)$ , jednak w wielu przypadkach możemy nie być w stanie wyznaczyć tej wartości w sposób analityczny.
Należy zauważyć, że teza twierdzenia jest implikacją, a to oznacza, że jeśli $f (a) \cdot f (b) > 0$ , to nie możemy nic powiedzieć o istnieniu pierwiastka.

Przykład 1

Sprawdzimy czy równanie $4^{x} - x^{2} = 0$ ma rozwiązanie w przedziale $⟨ - 1, 1 ⟩$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy na początku, że w zadanym przedziale funkcja $f (x) = 4^{x} - x^{2}$ jest określona i ciągła, bowiem zarówno funkcja wykładnicza jak i wielomian są ciągłe, a zatem ich różnica również jest funkcją ciągłą.

Ponadto:

$f (- 1) = 4^{- 1} - {(- 1)}^{2} = \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}$

$f (1) = 4^{1} - 1^{2} = 4 - 1 = 3$

Czyli $f (- 1) \cdot f (1) < 0$ . Zatem na mocy twierdzenia Darboux funkcja $f (x) = 4^{x} - x^{2}$ na przedziale $(- 1, 1)$ ma miejsce zerowe.

Rozwiązanie tego równania jest dość skomplikowane, na szczęście nie jest wymagane wskazanie dokładnego rozwiązania, a jedynie sprawdzenie, czy takie rozwiązanie istnieje.

Analizując wykres funkcji:

RyxdVlVeVQy0g

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz z pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji f biegnący niemal pionowo w trzeciej ćwiartce , przebiega ukośnie w drugiej ćwiartce i przecina oś Y w punkcie 0;1. Dalej wykres biegnie niemal pionowo w górę w pierwszej ćwiartce.

utwierdzamy się w przekonaniu o istnieniu rozwiązania równania

$4^{x} - x^{2} = 0$ .

Twierdzenie Darboux należy stosować w umiejętny sposób i w razie potrzeby odpowiednio modyfikować przedział, na którym szukamy rozwiązania.

Przykład 2

Zbadamy czy funkcja $f (x) = x^{6} + 4 x^{4} - 20 x^{2} - 48$ ma pierwiastki należące do przedziału $⟨ - 3, 3 ⟩$ .

Rozwiązanie:

Badana funkcja jako wielomian jest ciągła na całym zbiorze liczb rzeczywistych, czyli w szczególności na przedziale $⟨ - 3, 3 ⟩$ .

Z drugiej strony

$f (- 3) = 825 > 0$ oraz $f (3) = 825 > 0$ .

Na podstawie twierdzenia Darboux nie można wyciągnąć jednoznacznych wniosków o istnieniu pierwiastków w przedziale $(- 3, 3)$ . Wystarczy jednak zauważyć, że $f (0) = - 48 < 0$ , zatem

$f (- 3) \cdot f (0) < 0$ ,

czyli na przedziale $(- 3, 0)$ funkcja ma miejsce zerowe oraz

$f (0) \cdot f (3) < 0$ ,

co oznacza, że również na przedziale $(0, 3)$ funkcja ma miejsce zerowe.

Reasumując, funkcja $f$ ma co najmniej $2$ pierwiastki należące do przedziału $(- 3, 3)$ .

Po zapisaniu funkcji w nieco innej postaci

$f (x) = (x^{2} - 4) (x^{2} + 6) (x^{2} + 2)$

okazuje się, że funkcja ma dokładnie $2$ miejsca zerowe, które można łatwo wyznaczyć:

$f (x) = 0$ , gdy $(x^{2} - 4) (x^{2} + 6) (x^{2} + 2) = 0$ , skąd: $x = 2$ lub $x = - 2$ .

Twierdzenie Darboux jest podstawą metody równego podziału, inaczej zwanej bisekcją, która pozwala na poszukiwanie miejsc zerowych dowolnej funkcji ciągłej w przedziale $⟨ a, b ⟩$ , dla której $f (a) \cdot f (b) < 0$ . Dzięki algorytmowi znajdujemy przybliżone rozwiązanie ze z góry zadaną dokładnością – ustalamy $ε > 0$ i szukamy przybliżonego rozwiązania, które różni się od rozwiązania właściwego o co najwyżej $ε > 0$ .

Algorytm bisekcji sprowadza się do następujących kroków:

Sprawdzamy, czy $x_{1} = \frac{a + b}{2}$ jest pierwiastkiem, czyli $f (x_{1}) = 0$ . Jeśli tak, to algorytm się kończy, a $x_{1}$ jest szukanym rozwiązaniem.
W przeciwnym razie, dopóki nie osiągamy zakładanej dokładności, czyli $|a - b| > ε$ , to:
a) jeśli $f (a) \cdot f (\frac{a + b}{2}) < 0$ , to przyjmujemy $a_{1} = a$ oraz $b_{1} = \frac{a + b}{2}$ ,
b) jeśli $f (\frac{a + b}{2}) \cdot f (b) < 0$ , to przyjmujemy $a_{1} = \frac{a + b}{2}$ oraz $b_{1} = b$
Ponawiamy procedurę dla przedziału $(a_{1}, b_{1})$ otrzymując przedział $(a_{2}, b_{2})$ ...
Po osiągnięciu zakładanej dokładności, jako rozwiązanie przyjmujemy $x_{0} \approx \frac{a + b}{2}$ .

Przykład 3

Wyznaczymy pierwiastek równaniapierwiastek równaniaWyznaczymy pierwiastek równania $x^{5} - x + 1 = 0$ w przedziale $⟨ - 2, 2 ⟩$ z dokładnością do $\frac{1}{16}$ .

Rozwiązanie:

Przyjmijmy $f (x) = x^{5} - x + 1$ , $f (- 2) = - 32 + 2 + 1 = - 29 < 0$ , $f (2) = 32 - 2 + 1 = 31 > 0$ , czyli w badanym przedziale jest pierwiastek. Zauważamy, że $x_{1} = \frac{- 2 + 2}{2} = 0$ i $f (0) = 1 > 0$ . Stąd szukany pierwiastek należy do przedziału $(- 2, 0)$ . Zatem

$x_{1} = \frac{- 2 + 0}{2} = - 1$ , $f (- 1) = - 1 + 1 + 1 = 1 > 0$ .

Skoro $f (0) \cdot f (- 2) < - 1$ , to miejsce zerowe należy do przedziału $(- 2, - 1)$ .

Postępując analogicznie w kolejnych krokach, otrzymujemy:

$x_{1} = \frac{- 2 - 1}{2} = - \frac{3}{2}$ , $f (- \frac{3}{2}) = - \frac{243}{32} + \frac{3}{2} + 1 < 0 \Rightarrow x_{0} \in (- \frac{3}{2}, - 1)$

$x_{1} = \frac{- \frac{3}{2} - 1}{2} = - \frac{5}{4}$ , $f (- \frac{5}{4}) < 0 \Rightarrow x_{0} \in (- \frac{5}{4}, - 1)$

$x_{1} = \frac{- \frac{5}{4} - 1}{2} = - \frac{9}{8}$ , $f (- \frac{9}{8}) > 0 \Rightarrow x_{0} \in (- \frac{5}{4}, - \frac{9}{8})$

$x_{1} = \frac{- \frac{5}{4} - \frac{9}{8}}{2} = - \frac{19}{16}$ , $f (- \frac{19}{16}) < 0 \Rightarrow x_{0} \in (- \frac{19}{16}, - \frac{9}{8})$ ,

ale $|- \frac{19}{16} + \frac{9}{8}| = \frac{1}{16}$ , czyli jako rozwiązanie przyjmujemy środek przedziału i ostatecznie mamy:

$x_{0} \approx \frac{- \frac{9}{8} - \frac{19}{16}}{2} = - \frac{37}{32}$ .

Słownik

pierwiastek równania

pierwiastkiem równania nazywamy wszystkie liczby rzeczywiste spełniające analizowane równanie

funkcja ciągła na przedziale

funkcję $f (x)$ nazywamy ciągłą na przedziale $(a, b)$ jeśli jest ciągła w każdym punkcie $x_{0} \in (a, b)$ , tzn. istnieje granica

\lim_{x \to x_{0}} f (x)

i granica ta jest równa wartości funkcji w tym punkcie, czyli

\lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik