Przeczytaj
Na wstępie zapoznamy się z twierdzeniem Darboux oraz przeanalizujemy je bardzo skrupulatnie.
Załóżmy, że dana jest funkcja ciągła na przedzialefunkcja ciągła na przedziale domkniętym , tzn. jest ciągła. Jeżeli , to istnieje punkt pośredni taki, że .
Przeanalizujemy powyższe twierdzenie krok po kroku.
Musimy sprawdzić, czy badana funkcja w zadanym przedziale jest ciągła.
Zapis oznacza, że na końcach przedziału wartości funkcji mają różne znaki. Nie musimy badać monotoniczności funkcji, bo nie ma to w tym przypadku znaczenia.
Istnienie punktu pośredniego takiego, że oznacza, że badana funkcja ma miejsce zerowe należące do przedziału , jednak w wielu przypadkach możemy nie być w stanie wyznaczyć tej wartości w sposób analityczny.
Należy zauważyć, że teza twierdzenia jest implikacją, a to oznacza, że jeśli , to nie możemy nic powiedzieć o istnieniu pierwiastka.
Sprawdzimy czy równanie ma rozwiązanie w przedziale .
Rozwiązanie:
Zauważmy na początku, że w zadanym przedziale funkcja jest określona i ciągła, bowiem zarówno funkcja wykładnicza jak i wielomian są ciągłe, a zatem ich różnica również jest funkcją ciągłą.
Ponadto:
Czyli . Zatem na mocy twierdzenia Darboux funkcja na przedziale ma miejsce zerowe.
Rozwiązanie tego równania jest dość skomplikowane, na szczęście nie jest wymagane wskazanie dokładnego rozwiązania, a jedynie sprawdzenie, czy takie rozwiązanie istnieje.
Analizując wykres funkcji:
utwierdzamy się w przekonaniu o istnieniu rozwiązania równania
.
Twierdzenie Darboux należy stosować w umiejętny sposób i w razie potrzeby odpowiednio modyfikować przedział, na którym szukamy rozwiązania.
Zbadamy czy funkcja ma pierwiastki należące do przedziału .
Rozwiązanie:
Badana funkcja jako wielomian jest ciągła na całym zbiorze liczb rzeczywistych, czyli w szczególności na przedziale .
Z drugiej strony
oraz .
Na podstawie twierdzenia Darboux nie można wyciągnąć jednoznacznych wniosków o istnieniu pierwiastków w przedziale . Wystarczy jednak zauważyć, że , zatem
,
czyli na przedziale funkcja ma miejsce zerowe oraz
,
co oznacza, że również na przedziale funkcja ma miejsce zerowe.
Reasumując, funkcja ma co najmniej pierwiastki należące do przedziału .
Po zapisaniu funkcji w nieco innej postaci
okazuje się, że funkcja ma dokładnie miejsca zerowe, które można łatwo wyznaczyć:
, gdy , skąd: lub .
Twierdzenie Darboux jest podstawą metody równego podziału, inaczej zwanej bisekcją, która pozwala na poszukiwanie miejsc zerowych dowolnej funkcji ciągłej w przedziale , dla której . Dzięki algorytmowi znajdujemy przybliżone rozwiązanie ze z góry zadaną dokładnością – ustalamy i szukamy przybliżonego rozwiązania, które różni się od rozwiązania właściwego o co najwyżej .
Algorytm bisekcji sprowadza się do następujących kroków:
Sprawdzamy, czy jest pierwiastkiem, czyli . Jeśli tak, to algorytm się kończy, a jest szukanym rozwiązaniem.
W przeciwnym razie, dopóki nie osiągamy zakładanej dokładności, czyli , to:
a) jeśli , to przyjmujemy oraz ,
b) jeśli , to przyjmujemy orazPonawiamy procedurę dla przedziału otrzymując przedział ...
Po osiągnięciu zakładanej dokładności, jako rozwiązanie przyjmujemy .
Wyznaczymy pierwiastek równaniaWyznaczymy pierwiastek równania w przedziale z dokładnością do .
Rozwiązanie:
Przyjmijmy , , , czyli w badanym przedziale jest pierwiastek. Zauważamy, że i . Stąd szukany pierwiastek należy do przedziału . Zatem
, .
Skoro , to miejsce zerowe należy do przedziału .
Postępując analogicznie w kolejnych krokach, otrzymujemy:
,
,
,
, ,
ale , czyli jako rozwiązanie przyjmujemy środek przedziału i ostatecznie mamy:
.
Słownik
pierwiastkiem równania nazywamy wszystkie liczby rzeczywiste spełniające analizowane równanie
funkcję nazywamy ciągłą na przedziale jeśli jest ciągła w każdym punkcie , tzn. istnieje granica
i granica ta jest równa wartości funkcji w tym punkcie, czyli