Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R7TdgqNmUZCsf11

Ćwiczenie 1

Zaznacz przedziały, w których funkcja $f$ ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

funkcja	$(- 0, 5; 2)$	$(- 1; 1)$	$(- 5; 5)$	$(1; 10)$
$f (x) = 2 x + 3$	□	□	□	□
$f (x) = x^{2} + 5 x - 6$	□	□	□	□
$f (x) = x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{9}{4} x + \frac{9}{8}$	□	□	□	□
$f (x) = \sin x$	□	□	□	□

Ćwiczenie 2

R1JpKMJTQZ7a9

Wskaż przedziały, na których badana funkcja ma miejsca zerowe.

f_{1} (x) = x^{4} - 23 x^{2} + 18 x + 40

A = ⟨ 0; 5 ⟩

B = ⟨ - 2; 2 ⟩

C = ⟨ 0; 10 ⟩

D = ⟨ - 1; 1 ⟩

f_{2} (x) = x^{5} - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 3

A = ⟨ 0; 5 ⟩

B = ⟨ - 2; 2 ⟩

C = ⟨ 0; 10 ⟩

D = ⟨ - 1; 1 ⟩

f_{3} (x) = \frac{x^{7} - 7 x^{6} + 2 x^{5} - 14 x^{4} + 3 x^{3} - 21 x^{2} + 6 x - 42}{(x^{2} + 5) (x^{2} + 3)}

A = ⟨ 0; 5 ⟩

B = ⟨ - 2; 2 ⟩

C = ⟨ 0; 10 ⟩

D = ⟨ - 1; 1 ⟩

f_{4} (x) = \frac{\sin x}{(x^{2} + 1) (x^{4} + 2)}

A = ⟨ 0; 5 ⟩

B = ⟨ - 2; 2 ⟩

C = ⟨ 0; 10 ⟩

D = ⟨ - 1; 1 ⟩

f_{5} (x) = \frac{2^{x} - 2}{x^{2} + 3 + \cos x}

A = ⟨ 0; 5 ⟩

B = ⟨ - 2; 2 ⟩

C = ⟨ 0; 10 ⟩

D = ⟨ - 1; 1 ⟩

f_{6} (x) = \sqrt{x^{2} + 1}

A = ⟨ 0; 5 ⟩

B = ⟨ - 2; 2 ⟩

C = ⟨ 0; 10 ⟩

D = ⟨ - 1; 1 ⟩

Wskaż przedziały, na których badana funkcja ma miejsca zerowe.

$f (x) = x^{4} - 23 x^{2} + 18 x + 40$
{# $A = ⟨ 0; 5 ⟩$ } {# $B = ⟨ - 2; 2 ⟩$ } {# $C = ⟨ 0; 10 ⟩$ } {# $D = ⟨ - 1; 1 ⟩$ }

$f (x) = x^{5} - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 3$
{# $A = ⟨ 0; 5 ⟩$ } {# $B = ⟨ - 2; 2 ⟩$ } {# $C = ⟨ 0; 10 ⟩$ } {# $D = ⟨ - 1; 1 ⟩$ }

$f (x) = \frac{\sin x}{(x^{2} + 1) (x^{4} + 2)}$
{# $A = ⟨ 0; 5 ⟩$ } {# $B = ⟨ - 2; 2 ⟩$ } {# $C = ⟨ 0; 10 ⟩$ } {# $D = ⟨ - 1; 1 ⟩$ }

$f (x) = \frac{2^{x} - 2}{x^{2} + 3 + \cos x}$
{# $A = ⟨ 0; 5 ⟩$ } {# $B = ⟨ - 2; 2 ⟩$ } {# $C = ⟨ 0; 10 ⟩$ } {# $D = ⟨ - 1; 1 ⟩$ }

funkcja	miejsca zerowe
$f_{1} (x) = x^{4} - 23 x^{2} + 18 x + 40$	$x = 4, x = - 5$
$f_{2} (x) = x^{5} - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x - 3$	$x = 1$
$f_{3} (x) = \frac{x^{7} - 7 x^{6} + 2 x^{5} - 14 x^{4} + 3 x^{3} - 21 x^{2} + 6 x - 42}{(x^{2} + 5) (x^{2} + 3)}$	$x = 7$
$f_{4} (x) = \frac{\sin x}{(x^{2} + 1) (x^{4} + 2)}$	$x = 0 + π k$
$f_{5} (x) = \frac{2^{x} - 2}{x^{2} + 3 + \cos x}$	$x = 1$

RYF1bZYKvtU7t2

Ćwiczenie 3

Wyznacz miejsce zerowe funkcji z dokładnością do $\frac{1}{10}$ należące do danego przedziału (skorzystaj z metody bisekcji i podaj przybliżone rozwiązanie).

$f (x) = \frac{3 x^{3} - 9, 9 x^{2} + 10, 89 x - 3, 993}{x^{2} + 2}$ , $f (x) = 2^{x} - 3 x$ , $f (x) = x^{2} - \sin x$ , $x \in (1; 2)$ , $x \in (0; 1)$ , $x \in (0, 5; 1)$

funkcja	przedział	miejsce zerowe
$f (x) = \frac{3 x^{3} - 9, 9 x^{2} + 10, 89 x - 3, 993}{x^{2} + 2}$	$x \in (1; 2)$
$f (x) = 2^{x} - 3 x$	$x \in (0; 1)$
$f (x) = x^{2} - \sin x$	$x \in (0, 5; 1)$

Ćwiczenie 4

Rz9KdSX2aCRAv

RtunQegzwU5zp

Jakie są miejsca zerowe podanych funkcji? Korzystając z twierdzenia Darboux, uzupełnij luki, wpisując odpowiednie liczby.

Funkcja $f (x) = \frac{\sin \frac{1}{2} x}{x^{2} + 1}$ dla $x \in ⟨ - 1; 1 ⟩$ wartość $0$ osiąga dla argumentu $x =$ Tu uzupełnij.
Funkcja $f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ $+ 4 x^{2} - 4 x + 3$ dla $x \in ⟨ - 5; 2 ⟩$ wartość $0$ osiąga dla argumentu $x =$ Tu uzupełnij.
Funkcja $f (x) = x^{4} - x^{3} - 16 x^{2} + 4 x + 48$ dla $x \in ⟨ 3; 5 ⟩$ wartość $0$ osiąga dla argumentu $x =$ Tu uzupełnij.

Ćwiczenie 5

RRj96vc8IeHEu

Korzystając z twierdzenia Darboux wykazać, że funkcja $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 4}$ ma dwa pierwiastki należące do przedziału $(- \frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ . Uszereguj kolejność operacji.

$D_{f} = ℝ ∖ "{"- 2, 2"}"$
$f (- \frac{3}{2}) = \frac{(- \frac{3}{2} - 1) (- \frac{3}{2} + 1)}{(- \frac{3}{2} - 2) (- \frac{3}{2} + 2)} < 0$ , $f (\frac{3}{2}) = \frac{(\frac{3}{2} - 1) (\frac{3}{2} + 1)}{(\frac{3}{2} - 2) (\frac{3}{2} + 2)} < 0$
W przedziale $(- \frac{3}{2}, 0)$ jest jeden pierwiastek. W przedziale $(0, \frac{3}{2})$ jest drugi pierwiastek
Badamy dziedzinę funkcji, w tym celu szukamy miejsc zerowych mianownika
Sprawdzamy dodatkowo wartość w zerze $f (0) = \frac{- 1 \cdot 1}{- 2 \cdot 2} > 0$
$x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow (x - 2) (x + 2) = 0 \Rightarrow x = 2 \lor x = - 2$

Ćwiczenie 6

RWny8ayjyTdD2

Rozważmy funkcję $f : ⟨ - 3, 3 ⟩ \to ℝ$ daną wzorem $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 9 x - 33$ . Wskaż zdanie prawdziwe

funkcja $f$ jest stała, gdyż $f (3) = f (- 3)$
funkcja $f$ nie posiada miejsca zerowego, gdyż $f (3) = f (- 3)$
funkcja $f$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe
funkcja ma przynajmniej dwa miejsca zerowe

Ćwiczenie 7

Korzystają z twierdzenia Darboux, podaj przybliżenie liczby $\sqrt{3}$ z dokładnością do $\frac{1}{16}$ .

Rozważmy funkcję $f (x) = x^{2} - 3$ .

Skoro $f (1) = - 2 < 0$ oraz $f (2) = 1 > 0$ , to $\sqrt{3} \in (1, 2)$ . Rozważmy $x_{1} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}$ . Ponieważ $f (\frac{3}{2}) = - \frac{3}{4}$ , więc $\sqrt{3} \in (\frac{3}{2}, 2)$ . Będziemy więc liczyć wartość funkcji w punkcie $x_{1} = \frac{7}{4}$ : $f (\frac{7}{4}) = \frac{1}{16}$ . Tym samym $\sqrt{3} \in (\frac{3}{2}, \frac{7}{4})$ . Środek otrzymanego przedziału to $x_{1} = \frac{13}{8}$ a wartość w tym punkcie to $f (\frac{13}{8}) = - \frac{23}{64}$ . Tym samym $\sqrt{3} \in (\frac{13}{8}, \frac{7}{4})$ . Długość ostatniego przedziału to $\frac{1}{8}$ , więc jego środek: $\frac{27}{16}$ jest szukanym przybliżeniem wartości $\sqrt{3}$ .

R1Az2MtljDAU83

Ćwiczenie 8

Rozważmy cztery funkcje w ich naturalnych dziedzinach. Zastanów się, czy mają one miejsca zerowe. Dopasuj wzory funkcji do właściwych opisów.

f (x) = \frac{1}{x}

Możliwe odpowiedzi: 1. Brak miejsc zerowych - funkcja spełnia wszystkie założenia twierdzenia Darboux, ale przyjmuje tylko wartości dodatnie., 2. Brak miejsc zerowych - funkcja jest ciągła w swojej dziedzinie, ale dziedziną nie jest przedział., 3. Funkcja ma miejsce zerowe gdyż jest ciągła, określona na przedziale oraz

f (0) > 0

oraz

f (- 1) < 0

., 4. Brak miejsc zerowych - funkcja nie jest ciągła.

f (x) = \{\begin{cases} x - 3, x < 0 \\ x + 2, x \geq 0 \end{cases}

f (0) > 0

oraz

f (- 1) < 0

., 4. Brak miejsc zerowych - funkcja nie jest ciągła.

f (x) = x^{2} + 4

f (0) > 0

oraz

f (- 1) < 0

., 4. Brak miejsc zerowych - funkcja nie jest ciągła.

f (x) = \sqrt{7} x^{2} + 3 \sqrt{3} x + 1

f (0) > 0

oraz

f (- 1) < 0

., 4. Brak miejsc zerowych - funkcja nie jest ciągła.

Rozważmy 4 funkcje w ich naturalnych dziedzinach. Zastanów się, czy mają one miejsca zerowe. Dopasuj wzory funkcji do właściwych opisów.

brak miejsc zerowych - funkcja jest ciągła w swojej dziedzinie, ale dziedziną nie jest przedział, funkcja ma miejsce zerowe gdyż jest ciągła, określona na przedziale oraz <span aria-label="f nawias, zero, zamknięcie nawiasu, większy niż, zero" role="math"><math><mi>f</mi><mfenced><mn>0</mn></mfenced><mo>></mo><mn>0</mn></math></span> oraz <span aria-label="f nawias, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, mniejszy niż, zero" role="math"><math><mi>f</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo><</mo><mn>0</mn></math></span>, brak miejsc zerowych - funkcja spełnia wszystkie założenia twierdzenia Darboux, ale przyjmuje tylko wartości dodatnie, brak miejsc zerowych - funkcja nie jest ciągła

$f (x) = \frac{1}{x}$
$f (x) = "{"\begin{array}{c} x - 3, x < 0 \\ x + 2, x \geq 0 \end{array}""$
$f (x) = x^{2} + 4$
$f (x) = \sqrt{7} x^{2} + 3 \sqrt{3} x + 1$

Film samouczek

Dla nauczyciela