Mianownik rozkładamy na czynniki korzystając ze wzoru $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$:

$f\left(x\right)=\frac{2}{x^2-4}=\frac{2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$.

Funkcja jest nieokreślona dla $x=-2$ i $x=2$, mamy bowiem wtedy $\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$.

Dziedziną tej funkcji jest więc zbiór $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-2,2\right\}$.

Obliczamy granicę lewostronną i prawostronną funkcji, dla $x=-2$.

Funkcja $y=x+2$ jest rosnąca w zbiorze $\mathrm{ℝ}$, więc po lewej stronie $-2$ przyjmuje wartości ujemne, a po prawej wartości dodatnie.

RRWY09vU4gM9L

Ilustracja przedstawia poziomą oś X, na której zaznaczono liczbę minus dwa. W tym punkcie oś przecina ukośna prosta biegnąca od minus nieskończoności pod osią i nad osią do plus nieskończoności.

$\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\left\{\frac{2}{\left(-2-2\right)0^{-}}\right\}=\left\{\frac{2}{-4·0^{-}}\right\}=+\infty$,

$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\left\{\frac{2}{\left(-2-2\right)0^{+}}\right\}=\left\{\frac{2}{-4·0^{+}}\right\}=-\infty$

Prosta $x=-2$ jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji.

Funkcja $y=x-2$ jest rosnąca w zbiorze $\mathrm{ℝ}$, więc po lewej stronie $2$ przyjmuje wartości ujemne, a po prawej wartości dodatnie.

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\left\{\frac{2}{0^{-}\left(2+2\right)}\right\}=\left\{\frac{2}{0^{-}·4}\right\}=-\infty$,

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\left\{\frac{2}{0^{+}\left(2+2\right)}\right\}=\left\{\frac{2}{0^{+}·4}\right\}=+\infty$.

Prosta $x=2$ jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji.

Wykres funkcji $f\left(x\right)=\frac{2}{x^2-4}$ ma dwie asymptoty pionowe: $x=-2$ oraz $x=2$.

Prosta $x=5$ jest asymptotą pionową obustronną funkcji $f\left(x\right)=\frac{7-x}{x-5}$, gdy istnieją niewłaściwe granice jednostronne $\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\frac{7-x}{x-5}$ oraz $\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{7-x}{x-5}$.

$D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{5\right\}$.

Obliczmy granice tej funkcji w punkcie $x=5$.

$\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\frac{7-x}{x-5}=\left\{\frac{7-5}{0^{-}}\right\}=\left\{\frac{2}{0^{-}}\right\}=-\infty$, $\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{7-x}{x-5}=\left\{\frac{7-5}{0^{+}}\right\}=\left\{\frac{2}{0^{+}}\right\}=+\infty$.

Prosta $x=5$ jest asymptotą pionową wykresu funkcji, ponieważ istnieją granice lewostronna i prawostronna i obie są niewłaściwe.