Przeczytaj
Asymptotą krzywej jest prosta, do której coraz bardziej zbliża się krzywa, gdy wzdłuż niej się przemieszczamy.
Zajmiemy się asymptotami pionowymi wykresu funkcji.
Analizujemy funkcję określoną w otoczeniu punktu .
Granica danej funkcji może zależeć od tego, czy zbliżamy się do punktu od lewej lub prawej strony. Odpowiednie granice oznaczamy wówczas symbolami:
- granica lewostronna, lim - granica prawostronna.
Jeżeli granica lewostronna funkcji jest równa granicy prawostronnej, to wówczas funkcja ma w punkcie granicę obustronną.
Spójrzmy na wykres funkcji poniżej.
Wykres funkcji „zbliża się” z „lewej strony” do prostej o równaniu , co możemy zapisać następująco: .
Prosta jest asymptotą pionową lewostronną krzywej o równaniu wtedy i tylko wtedy, gdy albo .
Przeanalizujemy teraz wykres funkcji poniżej.
Wykres funkcji „zbliża się” z „prawej strony” do prostej o równaniu , co możemy zapisać następująco: .
Prosta jest asymptotą pionową prawostronną krzywej o równaniu wtedy i tylko wtedy, gdy albo .
Wykres funkcji przedstawionej na rysunku poniżej ma asymptotę pionową obustronną.
Prosta jest asymptotą pionową obustronną krzywej o równaniu wtedy i tylko wtedy, gdy prosta jest równocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną krzywej .
Jeśli funkcja jest określona co najmniej w jednostronnym sąsiedztwie punktu , to prosta jest asymptotą pionową tej funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z granic,
albo , jest niewłaściwa.
Zbadamy, czy wykres funkcji określonej wzorem ma asymptotę pionową lewostronną lub prawostronną.
Rozwiązanie:
Funkcja jest nieokreślona, gdy , mamy bowiem wtedy , a zatem dziedziną tej funkcji jest zbiór .
Obliczamy granicę lewostronną i prawostronną funkcji, dla .
Wykres funkcji ma asymptotę pionową lewostronną lub prawostronną o równaniu tylko wtedy, gdy granica lewostronna lub prawostronna tej funkcji w punkcie jest granicą niewłaściwą.
Zatem asymptotą pionową lewostronną lub prawostronną może być tylko prosta o równaniu .
Zbadamy więc istnienie granic: oraz .
Chcąc określić własności funkcji w punktach, w których funkcja jest nieokreślona, korzystamy z nieformalnych równości, np.:
, im mniejszy jest dodatni mianownik, tym większy jest ułamek, stąd , oraz
, im większy jest ujemny mianownik, tym mniejszy jest ułamek, stąd .
Liczymy granicę lewostronną danej funkcji w punkcie : .
Zpis oznacza, że przybliżamy się do , ale wybierając ciąg argumentów mniejszych niż („podchodzimy do z lewej strony”). Oznacza to, że wartość funkcji dla tych argumentów zmierzają do zera i są liczbami ujemnymi.
Pomocny może być szkic wykresu funkcji , na którym zobaczymy zachowanie funkcji w sąsiedztwie punktu :
Widzimy, że po lewej stronie od , funkcja przyjmuje wartości ujemne.
, zatem , stąd.
Prosta o równaniu jest asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji, gdyż: .
Liczymy granicę prawostronną funkcji w : .
Zpis oznacza, że przybliżamy się do , ale wybierając ciąg argumentów większych niż („podchodzimy do z prawej strony”). Oznacza to, że wartość funkcji dla tych argumentów zmierzają do zera i są liczbami dodatnimi.
Pomocny może być szkic wykresu funkcji , na którym zobaczymy zachowanie funkcji w sąsiedztwie punktu :
Widzimy, że po prawej stronie od funkcja przyjmuje wartości dodatnie.
, zatem , stąd .
Prosta o równaniu jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji, gdyż: .
Wykazaliśmy, że prosta o równaniu jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji określonej wzorem .
Podamy równania asymptot pionowych wykresu funkcji .
Rozwiązanie:
Mianownik rozkładamy na czynniki korzystając ze wzoru :
.
Funkcja jest nieokreślona dla i , mamy bowiem wówczas . Dziedziną tej funkcji jest więc zbiór .
Obliczamy granicę lewostronną i prawostronną funkcji, dla . Funkcja jest rosnąca w zbiorze , więc po lewej stronie przyjmuje wartości ujemne, a po prawej wartości dodatnie.
,
.
Prosta jest asymptotą obustronną funkcji.
Obliczamy granicę lewostronną i prawostronną funkcji, dla .
Funkcja jest malejąca w zbiorze , więc po lewej stronie przyjmuje wartości dodatnie, a po prawej wartości ujemne.
,
.
Prosta jest asymptotą obustronną funkcji.
Wykres funkcji ma dwie asymptoty pionowe: oraz .
Zbadamy, czy wykres funkcji określonej wzorem ma asymptotę lewostronną lub prawostronną.
Rozwiązanie:
Dziedziną funkcji jest zbiór .
Asymptotą pionowąAsymptotą pionową lewostronna lub prawostronną może być prosta o równaniu lub prosta o równaniu .
Licznik rozkładamy na czynniki korzystając ze wzoru:
.
W przypadku mianownika korzystamy ze wzoru: .
, dla każdego .
Zbadamy istnienie granic jednostronnych funkcji w punktach i .
Obliczamy granicę lewostronną i prawostronną funkcji, dla .
Funkcja jest malejąca w zbiorze , więc po lewej stronie przyjmuje wartości dodatnie, a po prawej wartości ujemne.
,
.
Prosta jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji.
Ponieważ , więc prosta o równaniu nie jest asymptotą pionową.
Wykres funkcji ma asymptotę pionową .
Słownik
prosta jest asymptotą pionową funkcji określonej co najmniej w jednostronnym sąsiedztwie punktu , wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z granic lim, albo jest niewłaściwa