Przeczytaj

Asymptota

Asymptotą krzywej $y = f (x)$ jest prosta, do której coraz bardziej zbliża się krzywa, gdy wzdłuż niej się przemieszczamy.

Zajmiemy się asymptotami pionowymi wykresu funkcji.

Analizujemy funkcję określoną w otoczeniu punktu $c$ .

Granica danej funkcji może zależeć od tego, czy zbliżamy się do punktu $c$ od lewej lub prawej strony. Odpowiednie granice oznaczamy wówczas symbolami:

$\lim_{x \to c^{-}} f (x)$ - granica lewostronna, lim $\lim_{x \to c^{+}} f (x)$ - granica prawostronna.

Jeżeli granica lewostronna funkcji $f$ jest równa granicy prawostronnej, to wówczas funkcja ma w punkcie $c$ granicę obustronną.

Spójrzmy na wykres funkcji poniżej.

R1GB9wAH2ZKhs

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, w którym narysowano przesuniętą krzywą wykładniczą f biegnącą w trzeciej, czwartej i pierwszej ćwiartce. W trzeciej ćwiartce krzywa zatacza łagodny łuk ku górze, przecina ujemną półoś O Y, zatacza łuk w czwartej ćwiartce, przecina dodatnią półoś O X i biegnie niemal pionowo do góry, wypłaszczając się do pionowej prostej zaznaczonej linią przerywaną. Prosta ta jest asymptotą pionową i określona jest równaniem x równa się c.

Wykres funkcji „zbliża się” z „lewej strony” do prostej o równaniu $x = c$ , co możemy zapisać następująco: $\lim_{x \to c^{-}} f (x) = + \infty$ .

asymptota pionowa lewostronna

Definicja: asymptota pionowa lewostronna

Prosta $x = c$ jest asymptotą pionową lewostronną krzywej o równaniu $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim_{x \to c^{-}} f (x) = - \infty$ albo $\lim_{x \to c^{-}} f (x) = \infty$ .

Przeanalizujemy teraz wykres funkcji poniżej.

RBaYUzHTZCrDe

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, w którym narysowano wykres funkcji logarytmicznej f znajdujący się w czwartej i w pierwszej ćwiartce. W czwartej ćwiartce wykres biegnie niemal pionowo do góry, wypłaszczając się do pionowej prostej zaznaczonej linią przerywaną. Jest to asymptota pionowa funkcji określona równaniem x równa się c. Krzywa logarytmiczna przecina dodatnią półoś O X i zakręca w prawo w pierwszej ćwiartce, łagodnie rosnąc.

Wykres funkcji „zbliża się” z „prawej strony” do prostej o równaniu $x = c$ , co możemy zapisać następująco: $\lim_{x \to c^{+}} f (x) = - \infty$ .

asymptota pionowa prawostronna

Definicja: asymptota pionowa prawostronna

Prosta $x = c$ jest asymptotą pionową prawostronną krzywej o równaniu $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\lim_{x \to c^{+}} f (x) = - \infty$ albo $\lim_{x \to c^{+}} f (x) = \infty$ .

Wykres funkcji przedstawionej na rysunku poniżej ma asymptotę pionową obustronną.

R15P7Op941FUA

Ilustracja przedstawia przekształconą i przesuniętą do góry i w prawo hiperbolę f w układzie współrzędnych. Obie części wykresu zbliżają się do siebie tworząc kształt lejka. Lewa część hiperboli znajduje się w drugiej ćwiartce, w której biegnie łagodnie w dół, przecina dodatnią półoś O Y, wpada do pierwszej ćwiartki, której wygina się niemal pionowo w dół i biegnie dalej przez czwartą ćwiartkę w dół do minus nieskończoności, wypłaszczając się do pionowej asymptoty zaznaczonej linią przerywaną. Asymptota opisana jest równaniem x równa się c. Prawa część hiperboli jest lewostronnie wypłaszczona do asymptoty i biegnie w czwartej ćwiartce od minus nieskończoności niemal pionowo w górę. Przecina dodatnią półoś O X i wpada do pierwszej ćwiartki, gdzie wygina się w prawo i biegnie dalej do plus nieskończoności.

asymptota pionowa obustronna

Definicja: asymptota pionowa obustronna

Prosta $x = c$ jest asymptotą pionową obustronną krzywej o równaniu $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy prosta $x = c$ jest równocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną krzywej $y = f (x)$ .

Jeśli funkcja $f$ jest określona co najmniej w jednostronnym sąsiedztwie punktu $c$ , to prosta $x = c$ jest asymptotą pionową tej funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z granic,
$\lim_{x \to c^{-}} f (x)$ albo $\lim_{x \to c^{+}} f (x)$ , jest niewłaściwa.

Przykład 1

Zbadamy, czy wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = \frac{x - 3}{x - 2}$ ma asymptotę pionową lewostronną lub prawostronną.

Rozwiązanie:

Funkcja $f (x) = \frac{x - 3}{x - 2}$ jest nieokreślona, gdy $x = 2$ , mamy bowiem wtedy $x - 2 = 0$ , a zatem dziedziną tej funkcji jest zbiór $ℝ ∖ \{2\}$ .

Obliczamy granicę lewostronną i prawostronną funkcji, dla $x = 2$ .

Ważne!

Wykres funkcji ma asymptotę pionową lewostronną lub prawostronną o równaniu $x = c$ tylko wtedy, gdy granica lewostronna lub prawostronna tej funkcji w punkcie $c$ jest granicą niewłaściwą.

Zatem asymptotą pionową lewostronną lub prawostronną może być tylko prosta o równaniu $x = 2$ .

Zbadamy więc istnienie granic: $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x - 2}$ oraz $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - 3}{x - 2}$ .

Chcąc określić własności funkcji w punktach, w których funkcja jest nieokreślona, korzystamy z nieformalnych równości, np.:

$\frac{1}{0^{+}} = + \infty$ , im mniejszy jest dodatni mianownik, tym większy jest ułamek, stąd $+ \infty$ , oraz

$\frac{1}{0^{-}} = - \infty$ , im większy jest ujemny mianownik, tym mniejszy jest ułamek, stąd $- \infty$ .

Liczymy granicę lewostronną danej funkcji w punkcie $x = 2$ : $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x - 2}$ .

Zpis $x \to 2^{-}$ oznacza, że przybliżamy się do $2$ , ale wybierając ciąg argumentów mniejszych niż $2$ („podchodzimy do $2$ z lewej strony”). Oznacza to, że wartość funkcji $x - 2$ dla tych argumentów zmierzają do zera i są liczbami ujemnymi.

Pomocny może być szkic wykresu funkcji $y = x - 2$ , na którym zobaczymy zachowanie funkcji w sąsiedztwie punktu $2$ :

RqIV4LECkF0DD

Ilustracja przedstawia poziomą oś X, na której zaznaczono liczbę dwa. W tym punkcie oś przecina ukośna prosta biegnąca od minus nieskończoności pod osią i nad osią do plus nieskończoności.

Widzimy, że po lewej stronie od $2$ , funkcja $y = x - 2$ przyjmuje wartości ujemne.

$x \to 2^{-}$ , zatem $x - 2 \to 0^{-}$ , stąd $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x - 2} = \{\frac{2 - 3}{0^{-}}\} = \{\frac{- 1}{0^{-}}\} = + \infty$ .

Prosta o równaniu $x = 2$ jest asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji, gdyż: $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{x - 3}{x - 2} = + \infty$ .

Liczymy granicę prawostronną funkcji w $x = 2$ : $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - 3}{x - 2}$ .

Zpis $x \to 2^{+}$ oznacza, że przybliżamy się do $2$ , ale wybierając ciąg argumentów większych niż $2$ („podchodzimy do $2$ z prawej strony”). Oznacza to, że wartość funkcji $x - 2$ dla tych argumentów zmierzają do zera i są liczbami dodatnimi.

Pomocny może być szkic wykresu funkcji $y = x - 2$ , na którym zobaczymy zachowanie funkcji w sąsiedztwie punktu $2$ :

R4PSNjVHekiWa

Widzimy, że po prawej stronie od $2$ funkcja $y = x - 2$ przyjmuje wartości dodatnie.

$x \to 2^{+}$ , zatem $x - 2 \to 0^{+}$ , stąd $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - 3}{x - 2} = \{\frac{2 - 3}{0^{+}}\} = \{\frac{- 1}{0^{+}}\} = - \infty$ .

Prosta o równaniu $x = 2$ jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji, gdyż: $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - 3}{x - 2} = - \infty$ .

Wykazaliśmy, że prosta o równaniu $x = 2$ jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = \frac{x - 3}{x - 2}$ .

Przykład 2

Podamy równania asymptot pionowych wykresu funkcji $f (x) = \frac{x + 5}{16 - x^{2}}$ .

Rozwiązanie:

Mianownik rozkładamy na czynniki korzystając ze wzoru $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ :

$f (x) = \frac{x + 5}{16 - x^{2}} = \frac{x + 5}{(4 - x) (4 + x)}$ .

Funkcja $f (x) = \frac{x + 5}{(4 - x) (4 + x)}$ jest nieokreślona dla $x = 4$ i $x = - 4$ , mamy bowiem wówczas $(4 - x) (4 + x) = 0$ . Dziedziną tej funkcji jest więc zbiór $ℝ ∖ \{- 4, 4\}$ .

Obliczamy granicę lewostronną i prawostronną funkcji, dla $x = - 4$ . Funkcja $y = 4 + x$ jest rosnąca w zbiorze $y = 4 + x$ , więc po lewej stronie $- 4$ przyjmuje wartości ujemne, a po prawej wartości dodatnie.

RVD4b51vdOLQH

Ilustracja przedstawia poziomą oś X, na której zaznaczono liczbę minus cztery. W tym punkcie oś przecina ukośna prosta biegnąca od minus nieskończoności pod osią i nad osią do plus nieskończoności.

$\lim_{x \to - 4^{-}} \frac{x + 5}{(4 - x) (4 + x)} = \{\frac{- 4 + 5}{(4 - (- 4)) 0^{-}}\} = \{\frac{1}{8 \cdot 0^{-}}\} = - \infty$ ,

$\lim_{x \to - 4^{+}} \frac{x + 5}{(4 - x) (4 + x)} = \{\frac{- 4 + 5}{(4 - (- 4)) 0^{+}}\} = \{\frac{1}{8 \cdot 0^{+}}\} = + \infty$ .

Prosta $x = - 4$ jest asymptotą obustronną funkcji.

Obliczamy granicę lewostronną i prawostronną funkcji, dla $x = 4$ .

Funkcja $y = 4 - x$ jest malejąca w zbiorze $ℝ$ , więc po lewej stronie $4$ przyjmuje wartości dodatnie, a po prawej wartości ujemne.

R1CwszH69eCZE

Ilustracja przedstawia poziomą oś X, na której zaznaczono liczbę cztery. W tym punkcie oś przecina ukośna prosta biegnąca od minus nieskończoności nad osią i pod osią do plus nieskończoności.

$\lim_{x \to 4^{-}} \frac{x + 5}{(4 - x) (4 + x)} = \{\frac{4 + 5}{0^{+} (4 + 4)}\} = \{\frac{9}{0^{+} \cdot 8}\} = + \infty$ ,

$\lim_{x \to 4^{+}} \frac{x + 5}{(4 - x) (4 + x)} = \{\frac{4 + 5}{0^{-} (4 + 4)}\} = \{\frac{9}{0^{-} \cdot 8}\} = - \infty$ .

Prosta $x = 4$ jest asymptotą obustronną funkcji.

Wykres funkcji $f (x) = \frac{x + 5}{(4 - x) (4 + x)}$ ma dwie asymptoty pionowe: $x = - 4$ oraz $x = 4$ .

Przykład 3

Zbadamy, czy wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{- x^{2} + 1}$ ma asymptotę lewostronną lub prawostronną.

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji jest zbiór $ℝ ∖ \{- 1, 1\}$ .

Asymptotą pionowąasymptota pionowaAsymptotą pionową lewostronna lub prawostronną może być prosta o równaniu $x = - 1$ lub prosta o równaniu $x = 1$ .

Licznik rozkładamy na czynniki korzystając ze wzoru:

$a^{3} - 1 = (a - 1) (a^{2} + a + 1)$ .

W przypadku mianownika korzystamy ze wzoru: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{- x^{2} + 1} = \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{- (x - 1) (x + 1)} = \frac{x^{2} + x + 1}{- (x + 1)}$ , dla każdego $x \in ℝ ∖ \{- 1, 1\}$ .

Zbadamy istnienie granic jednostronnych funkcji $f$ w punktach $x = - 1$ i $x = 1$ .

Obliczamy granicę lewostronną i prawostronną funkcji, dla $x = - 1$ .

Funkcja $y = - (x + 1)$ jest malejąca w zbiorze $ℝ$ , więc po lewej stronie $1$ przyjmuje wartości dodatnie, a po prawej wartości ujemne.

R1NvqjvMbmeWv

Ilustracja przedstawia poziomą oś X, na której zaznaczono liczbę minus jeden. W tym punkcie oś przecina ukośna prosta biegnąca od minus nieskończoności nad osią i pod osią do plus nieskończoności.

$\lim_{x \to - 1^{-}} \frac{x^{2} + x + 1}{- (x + 1)} = \{\frac{{(- 1)}^{2} + (- 1) + 1}{0^{+}}\} = \{\frac{1}{0^{+}}\} = + \infty$ ,

$\lim_{x \to - 1^{+}} \frac{x^{2} + x + 1}{- (x + 1)} = \{\frac{{(- 1)}^{2} + (- 1) + 1}{0^{-}}\} = \{\frac{1}{0^{-}}\} = - \infty$ .

Prosta $x = - 1$ jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji.

Ponieważ $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x + 1}{- (x + 1)} = \frac{1^{2} + 1 + 1}{- (1 + 1)} = - \frac{3}{2}$ , więc prosta o równaniu $x = 1$ nie jest asymptotą pionową.

Wykres funkcji $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{- x^{2} + 1}$ ma asymptotę pionową $x = - 1$ .

Słownik

asymptota pionowa

prosta $x = c$ jest asymptotą pionową funkcji określonej co najmniej w jednostronnym sąsiedztwie punktu $c$ , wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z granic lim, $\lim_{x \to c^{-}} f (x)$ albo $\lim_{x \to c^{+}} f (x)$ jest niewłaściwa

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik