Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał
Asymptota
Asymptota

Asymptotą krzywej y=fx jest prosta, do której coraz bardziej zbliża się krzywa, gdy wzdłuż niej się przemieszczamy.

Zajmiemy się asymptotami pionowymi wykresu funkcji.

Analizujemy funkcję określoną w otoczeniu punktu c.

Granica danej funkcji może zależeć od tego, czy zbliżamy się do punktu c od lewej lub prawej strony. Odpowiednie granice oznaczamy wówczas symbolami:

limxc-fx - granica lewostronna, lim limxc+fx - granica prawostronna.

Jeżeli granica lewostronna funkcji f jest równa granicy prawostronnej, to wówczas funkcja ma w punkcie c granicę obustronną.

Spójrzmy na wykres funkcji poniżej.

R1GB9wAH2ZKhs

Wykres funkcji „zbliża się” z „lewej strony” do prostej o równaniu x=c, co możemy zapisać następująco: limxc-fx=+.

asymptota pionowa lewostronna
Definicja: asymptota pionowa lewostronna

Prosta x=c jest asymptotą pionową lewostronną krzywej o równaniu y=fx wtedy i tylko wtedy, gdylimxc-fx=- albo limxc-fx=.

Przeanalizujemy teraz wykres funkcji poniżej.

RBaYUzHTZCrDe

Wykres funkcji „zbliża się” z „prawej strony” do prostej o równaniu x=c, co możemy zapisać następująco: limxc+fx=-.

asymptota pionowa prawostronna
Definicja: asymptota pionowa prawostronna

Prosta x=c jest asymptotą pionową prawostronną krzywej o równaniu y=fx wtedy i tylko wtedy, gdy limxc+fx=- albo limxc+fx=.

Wykres funkcji przedstawionej na rysunku poniżej ma asymptotę pionową obustronną.

R15P7Op941FUA
asymptota pionowa obustronna
Definicja: asymptota pionowa obustronna

Prosta x=c jest asymptotą pionową obustronną krzywej o równaniu y=fx wtedy i tylko wtedy, gdy prosta x=c jest równocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną krzywej y=fx.

Jeśli funkcja f jest określona co najmniej w jednostronnym sąsiedztwie punktu c, to prosta x=c jest asymptotą pionową tej funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z granic, 
limxc-fx albo limxc+fx, jest niewłaściwa.

Przykład 1

Zbadamy, czy wykres funkcji f określonej wzorem fx=x-3x-2 ma asymptotę pionową lewostronną lub prawostronną.

Rozwiązanie:

Funkcja fx=x-3x-2 jest nieokreślona, gdy x=2, mamy bowiem wtedy x-2=0, a zatem dziedziną tej funkcji jest zbiór 2.

Obliczamy granicę lewostronną i prawostronną funkcji, dla x=2.

Ważne!

Wykres funkcji ma asymptotę pionową lewostronną lub prawostronną o równaniu x=c tylko wtedy, gdy granica lewostronna lub prawostronna tej funkcji w punkcie c jest granicą niewłaściwą.

Zatem asymptotą pionową lewostronną lub prawostronną może być tylko prosta o równaniu x=2.

Zbadamy więc istnienie granic: limx2-x-3x-2 oraz limx2+x-3x-2.

Chcąc określić własności funkcji w punktach, w których funkcja jest nieokreślona, korzystamy z nieformalnych równości, np.:

10+=+, im mniejszy jest dodatni mianownik, tym większy jest ułamek, stąd +, oraz

10-=-, im większy jest ujemny mianownik, tym mniejszy jest ułamek, stąd -.

Liczymy granicę lewostronną danej funkcji w punkcie x=2: limx2-x-3x-2.

Zpis x2- oznacza, że przybliżamy się do 2, ale wybierając ciąg argumentów mniejszych niż 2 („podchodzimy do 2 z lewej strony”). Oznacza to, że wartość funkcji x-2 dla tych argumentów zmierzają do zera i są liczbami ujemnymi.

Pomocny może być szkic wykresu funkcji y=x-2, na którym zobaczymy zachowanie funkcji w sąsiedztwie punktu 2 :

RqIV4LECkF0DD

Widzimy, że po lewej stronie od 2, funkcja y=x-2 przyjmuje wartości ujemne.

x2-, zatem x-20-, stądlimx2-x-3x-2=2-30-=-10-=+.

Prosta o równaniu x=2 jest asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji, gdyż: limx2-x-3x-2=+.

Liczymy granicę prawostronną funkcji w x=2: limx2+x-3x-2.

Zpis x2+ oznacza, że przybliżamy się do 2, ale wybierając ciąg argumentów większych niż 2 („podchodzimy do 2 z prawej strony”). Oznacza to, że wartość funkcji x-2 dla tych argumentów zmierzają do zera i są liczbami dodatnimi.

Pomocny może być szkic wykresu funkcji y=x-2, na którym zobaczymy zachowanie funkcji w sąsiedztwie punktu 2 :

R4PSNjVHekiWa

Widzimy, że po prawej stronie od 2 funkcja y=x-2 przyjmuje wartości dodatnie.

x2+, zatem x-20+, stąd limx2+x-3x-2=2-30+=-10+=-.

Prosta o równaniu x=2 jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji, gdyż: limx2+x-3x-2=-.

Wykazaliśmy, że prosta o równaniu x=2 jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji określonej wzorem fx=x-3x-2.

Przykład 2

Podamy równania asymptot pionowych wykresu funkcji fx=x+516-x2.

Rozwiązanie:

Mianownik rozkładamy na czynniki korzystając ze wzoru a2-b2=a-ba+b:

fx=x+516-x2=x+54-x4+x.

Funkcja fx=x+54-x4+x jest nieokreślona dla x=4x=-4, mamy bowiem wówczas 4-x4+x=0. Dziedziną tej funkcji jest więc zbiór -4,4.

Obliczamy granicę lewostronną i prawostronną funkcji, dla x=-4. Funkcja y=4+x jest rosnąca w zbiorze y=4+x, więc po lewej stronie -4 przyjmuje wartości ujemne, a po prawej wartości dodatnie.

RVD4b51vdOLQH

limx-4-x+54-x4+x=-4+54--40-=18·0-=-,

limx-4+x+54-x4+x=-4+54--40+=18·0+=+.

Prosta x=-4 jest asymptotą obustronną funkcji.

Obliczamy granicę lewostronną i prawostronną funkcji, dla x=4.

Funkcja y=4-x jest malejąca w zbiorze , więc po lewej stronie 4 przyjmuje wartości dodatnie, a po prawej wartości ujemne.

R1CwszH69eCZE

limx4-x+54-x4+x=4+50+4+4=90+·8=+,

limx4+x+54-x4+x=4+50-4+4=90-·8=-.

Prosta x=4 jest asymptotą obustronną funkcji.

Wykres funkcji fx=x+54-x4+x ma dwie asymptoty pionowe: x=-4 oraz x=4.

Przykład 3

Zbadamy, czy wykres funkcji f określonej wzorem fx=x3-1-x2+1 ma asymptotę lewostronną lub prawostronną.

Rozwiązanie:

Dziedziną funkcji jest zbiór -1,1.

Asymptotą pionowąasymptota pionowaAsymptotą pionową lewostronna lub prawostronną może być prosta o równaniu x=-1 lub prosta o równaniu x=1.

Licznik rozkładamy na czynniki korzystając ze wzoru: a3-1=a-1a2+a+1. W przypadku mianownika korzystamy ze wzoru: a2-b2=a-ba+b.

fx=x3-1-x2+1=x-1x2+x+1-x-1x+1=x2+x+1-x+1, dla każdego x-1,1.

Zbadamy istnienie granic jednostronnych funkcji f w punktach x=-1x=1.

Obliczamy granicę lewostronną i prawostronną funkcji, dla x=-1.

Funkcja y=-x+1 jest malejąca w zbiorze , więc po lewej stronie 1 przyjmuje wartości dodatnie, a po prawej wartości ujemne.

R1NvqjvMbmeWv

limx-1-x2+x+1-x+1=-12+-1+10+=10+=+,

limx-1+x2+x+1-x+1=-12+-1+10-=10-=-.

Prosta x=-1 jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji.

Ponieważ limx1x2+x+1-x+1=12+1+1-1+1=-32, więc prosta o równaniu x=1 nie jest asymptotą pionową.

Wykres funkcji fx=x3-1-x2+1 ma asymptotę pionową x=-1.

Słownik

asymptota pionowa
asymptota pionowa

prosta x=c jest asymptotą pionową funkcji określonej co najmniej w jednostronnym sąsiedztwie punktu c, wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z granic lim, limxc-fx albo limxc+fx jest niewłaściwa