Film samouczek

Jak wyznaczamy moc maksymalną w obwodzie?

Filmik prezentuje analizę prostego obwodu elektrycznego pod kątem wydzielanej mocy na oporniku zewnętrznym. Masz okazję zobaczyć, jak matematyczne umiejętności pozwolą nam wyznaczyć moc maksymalną.

R1bXbdZ46bYCX

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Polecenie 1

Czy moc wydzielaną na oporniku zewnętrznym można maksymalizować względem oporu wewnętrznego źródła?

Nie, zgodnie z uzyskaną zależnością

$\displaystyle P(R) = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(r+R)^2}$

moc rośnie w miarę jak zmniejszamy opór wewnętrzny, granica $r \to 0$ odpowiada źródłu idealnemu. Nie jest to prawdziwe maksimum, w zakresie realistycznych wartości $r$ . Jest to największa możliwa wartość $P$ , ale ma charakter typowy dla „końca dziedziny” funkcji. (Tak, jest to funkcja dwóch zmiennych - $r$ oraz $R$ , dla ustalonego $r$ możemy ją minimalizować względem $R$ , ale nie na odwrót.)

Polecenie 2

Korzystając z dostępnego oprogramowania graficznego (arkusza kalkulacyjnego, gnuplota, serwisów online do rysowania wykresów) narysuj wykres funkcji dwóch zmiennych $P(r,R)$ dla konkretnej wartości $\mathcal{E} = 12\ \mathrm{V},$ najlepiej w wersji umożliwiającej poruszanie układem współrzędnych za pomocą wskaźnika (np. touchpada/myszy). Obejrzyj kształt linii ustalonego $r$ i zmiennego $R$ oraz linii ustalonego $R$ i zmiennego $r$ .

Przykładowy wykres wygenerowany z pomocą następujących poleceń gnuplota: f(x,y) = x/(y*(x+y)*(x+y))
unset key
set isosamples 40
splot [0.1:1][0.1:1][0:10] f(x,y)

R15XsScnrixMJ

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Widać, że dla ustalonego $y$ mamy maksima dla pewnych $x$ , ale w miarę wzrostu $y$ „ostrość” tych maksimów wyraźnie maleje. Nie wydaje się możliwe zgadnięcie „na oko”, że maksimum przypada przy $x = y$ . Nieco więcej da się zobaczyć, jeśli dysponujemy ruchomą wersją wykresu.

Dla zainteresowanych

Prostszą i chyba bardziej przejrzystą metodą znalezienia maksymalnej mocy jest przepisanie zależności $P(R)$ z pomocą zmiennych bezwymiarowych, a następnie badanie pewnej funkcji liniowej i kwadratowej - wyłącznie graficzne. Zauważmy, że

$\displaystyle P(R) = \frac{\mathcal{E}^2}{r}\frac{x}{(1+x)^2},$

gdzie przez $x$ oznaczyliśmy $R/r$ . Zajmijmy się na razie tylko częścią zawierającą $x$ . Widać, że dla dowolnego dodatniego $x$ na pewno nie przewyższa ona 1, a dla bardzo dużych $x$ dąży do zera. Pierwsze z oszacowań można poprawić. Jeśli chcemy znaleźć liczbę $s$ taką, że

$\displaystyle\forall_{x \geqslant 0} \ :\ \frac{x}{(1+x)^2} \leqslant s\ ,$

to jest to równoważne znalezieniu takiego $s$ , że

$\displaystyle \forall_{x\geqslant 0} \ :\ (1+x)^2 \geqslant \frac{1}{s} x\ .$

Wykonaj rysunek z wykresem lewej strony nierówności. Jest to parabola o wierzchołku w punkcie $(-1;0)$ i przechodząca przez punkt $(0;1)$ (ale i tak ograniczamy się do nieujemnych $x$ ). Po prawej stronie nierówności mamy funkcję liniową o wyrazie wolnym równym zeru i współczynniku kierunkowym równym $1/s$ . Nasza nierówność będzie optymalna, gdy linia prosta będąca wykresem prawej strony nierówności będzie dokładnie w jednym punkcie styczna do wykresu lewej strony. Sprawdź (przyrównując do zera wyróżnik odpowiedniego równania kwadratowego, że ma to miejsce dla $s = 1/4$ i dla $x = 1$ , jeśli pominąć nieciekawy przykład funkcji stałej równej zeru (co odpowiada nieskończonemu $s$ ). Stąd

$\displaystyle P(R) \leqslant \frac{\mathcal{E}^2}{4r},$

co zgadza się z wynikiem otrzymanym w filmiku metodą bezpośrednią. Możemy więc zapisać badaną zależność w taki sposób

$\displaystyle P(x) = 4 P_{\mathrm{max}} \frac{x}{(1+x)^2}.$

Polecenie 2

RerKzDbk0zUWL

Przeczytaj

Sprawdź się

Jak wyznaczamy moc maksymalną w obwodzie?