Warto przeczytać

Naszym zadaniem w tym materiale jest przedstawienie sposobów rozwiązywania zadań dotyczących pracy i mocy prądu elektrycznego. Przypomnijmy więc sobie te dwa pojęcia.

W materiale „Jak definiujemy moc wydzieloną na oporniku?” wyprowadzono wzór wyrażający moc prądu elektrycznego, wychodząc od mikroskopowego modelu przepływu prądu oraz posługując się wiadomościami z elektrostatyki, dotyczącymi pracy wykonanej przez ładunki, znajdujące się w polu elektrycznym wytworzonym przez źródło wewnątrz przewodnika. Wzór ten ma postać:

$\begin{array}{}\text{(1)}& P=U·I\end{array}$

gdzie P oznacza moc wydzieloną na elemencie obwodu, U – napięcie panujące na jego końcach, a I –natężenie przepływającego przezeń prądu elektrycznego.

Moc w fizyce, w odniesieniu do wszystkich jej działów, zdefiniowana jest jako szybkość wykonywania pracy przez układ. Mówiąc inaczej, moc P, to ilość pracy W wykonanej w jednostce czasu t:

$\begin{array}{}\text{(2)}& P=\frac{W}{t}\end{array}$

Do obliczeń będzie nam potrzebne także prawo Ohmaprawo Ohmaprawo Ohma, o którym piszemy w materiale „Jaką zależność opisuje prawo Ohma?”. Ma ono postać:

$\begin{array}{}\text{(3)}& I=\frac{U}{R}\end{array}$

R oznacza w tym wzorze opór elektryczny przewodnika lub układu przewodników.

Rozwiązując zadania, będziemy także korzystali z reguł szeregowego i równoległego łączenia odbiorników oraz z praw Kirchhoffaprawa Kirchhoffapraw Kirchhoffa.

Oto kilka typowych przykładów zadań dotyczących pracy i mocy prądu elektrycznego. Jeśli je poznasz i zrozumiesz, nie będziesz mieć problemów podczas egzaminów i prac klasowych dotyczących tego tematu.

Podstawowe parametry urządzeń elektrycznych

Najczęściej podawanym parametrem urządzenia elektrycznego jest jego moc P. Jeśli jest ono przeznaczone do użytku w domu lub w biurze, trzeba pamiętać, że napięcie U sieci elektrycznej wynosi 230 V. Dysponując tymi danymi można obliczyć:

• natężenie płynącego przez urządzenie prądu elektrycznego (co wynika ze wzoru (1)):

$\begin{array}{}\text{(4)}& I=\frac{P}{U}\end{array}$

• opór elektryczny tego urządzenia (po skorzystaniu z prawa Ohma (3)):

$\begin{array}{}\text{(5)}& R=\frac{U^2}{P}\end{array}$

Moc urządzeń połączonych szeregowo lub równolegle

Rozważmy układ kilku odbiorników połączonych szeregowo tak, jak na Rys. 1.

RT2pEdLp9QD28

Rys. 1. Na rysunku zaprezentowano schematycznie obwód elektryczny z czterema odbiornikami połączonymi szeregowo. Schemat układu narysowano w postaci poziomego prostokąta o czarnych krawędziach. Na dolnej krawędzi układu znajduje się źródło napięcia narysowane w postaci dwóch, równoległych, pionowych odcinków, jeden obok drugiego. Prawy odcinek jest krótszy i grubszy opisany znakiem minus, co oznacza, że znajduje się tam ujemny potencjał źródła. Lewy odcinek jest dłuższy i cieńszy oraz podpisany znakiem plus, co oznacza, że znajduje się tam dodatni potencjał źródła. Po lewej stronie od źródła, na krawędzi obwodu zaznaczono grot strzałki skierowany w lewo, który opisuje kierunek prądu elektrycznego w obwodzie. Natężenie prądu opisano wielką literą I. Na górnej krawędzi układu zaznaczono cztery odbiorniki w postaci szarych, poziomych prostokątów, jeden obok drugiego. Rezystancje odbiorników opisano wewnątrz prostokątów. Rezystancja lewego odbiornika opisana została wielką literą R z indeksem dolnym jeden. Rezystancja drugiego od lewej odbiornika opisana została wielką literą R z indeksem dolnym dwa. Rezystancja trzeciego od lewej odbiornika opisana została wielką literą R z indeksem dolnym trzy. Rezystancja prawego odbiornika opisana została wielką literą R z indeksem dolnym cztery. Nad odbiornikami, w postaci poziomych, czerwonych strzałek zakończonych grotami na obu końcach zaznaczono napięcie prądu elektrycznego przepływającego przez odbiorniki. Napięcie na lewym odbiorniku opisano wielką literą U z indeksem dolnym jeden. Napięcie na drugim od lewej odbiorniku opisano wielką literą U z indeksem dolnym dwa. Napięcie na trzecim od lewej odbiorniku opisano wielką literą U z indeksem dolnym trzy. Napięcie prawym odbiorniku opisano wielką literą U z indeksem dolnym cztery. Pomiędzy odbiornikami narysowano groty strzałek skierowane w prawo, które opisują kierunek prądu elektrycznego przepływającego przez odbiorniki. Wewnątrz schematu obwodu, w postaci długiej, czerwonej poziomej strzałki, zakończonej grotami na obu końcach zaznaczono całkowite napięcie prądu elektrycznego, płynącego w obwodzie, wielka litera U. Całkowite napięcie prądu elektrycznego płynącego w obwodzie jest sumą napięć na wszystkich odbiornikach.

Przez każdy z nich przepływa prąd o takim samym natężeniu, a napięcie na końcach całego układu jest sumą napięć na każdym z nich. Możemy więc napisać:

$\begin{array}{}\text{(6)}& P_{całk}=U·I=(U_1+U_2+U_3+U_4)·I=P_1+P_2+P_3+P_4\end{array}$

Sprawdźmy, jaka będzie moc całkowita układu odbiorników połączonych równolegle (Rys. 2.).

R1TpOxDNDPtWm

Rys. 2. Rysunek prezentuje schematycznie obwód elektryczny z czterema połączonymi równolegle odbiornikami. Obwód narysowano w postaci pionowego prostokąta o czarnych krawędziach. Wewnątrz obwodu widoczne są trzy dodatkowe, czarne poziome odcinki łączące prawy i lewy bok obwodu. Na dolnej krawędzi układu znajduje się źródło napięcia narysowane w postaci dwóch, równoległych, pionowych odcinków, jeden obok drugiego. Prawy odcinek jest krótszy i grubszy oraz opisany znakiem minus, co oznacza, że znajduje się tam ujemny potencjał źródła. Lewy odcinek jest dłuższy i cieńszy oraz podpisany znakiem plus, co oznacza, że znajduje się tam dodatni potencjał źródła. Po lewej stronie od źródła, na krawędzi obwodu zaznaczono grot strzałki skierowany w lewo, który opisuje kierunek prądu elektrycznego w obwodzie. Natężenie prądu opisano wielką literą I. Na górnej krawędzi obwodu widoczny jest odbiornik w postaci szarego poziomego prostokąta, którego rezystancję opisano wielką literą R z indeksem dolnym jeden. Przez odbiornik ten przepływa prąd elektryczny o natężeniu wielka litera I z indeksem dolnym jeden. Prąd elektryczny przepływa w prawo, co zaznaczono grotem strzałki po lewej stronie od odbiornika. Na drugiej od góry poziomej, krawędzi obwodu widoczny jest odbiornik w postaci szarego i poziomego prostokąta, którego rezystancję opisano wielką literą R z indeksem dolnym dwa. Przez odbiornik ten przepływa prąd elektryczny o natężeniu wielka litera I z indeksem dolnym dwa. Prąd elektryczny przepływa w prawo, co zaznaczono grotem strzałki po lewej stronie od odbiornika. Na trzeciej od góry poziomej, krawędzi obwodu widoczny jest odbiornik w postaci szarego poziomego prostokąta, którego rezystancję opisano wielką literą R z indeksem dolnym trzy. Przez odbiornik ten przepływa prąd elektryczny o natężeniu wielka litera I z indeksem dolnym trzy. Prąd elektryczny przepływa w prawo, co zaznaczono grotem strzałki po lewej stronie od odbiornika. Na czwartej od góry poziomej, krawędzi obwodu widoczny jest odbiornik w postaci szarego poziomego prostokąta, którego rezystancję opisano wielką literą R z indeksem dolnym cztery. Przez odbiornik ten przepływa prąd elektryczny o natężeniu wielka litera I z indeksem dolnym cztery. Prąd elektryczny przepływa w prawo, co zaznaczono grotem strzałki po lewej stronie od odbiornika. Suma natężeń prądów płynących przez poszczególne odbiorniki jest równa całkowitemu natężeniu prądu, który płynie w obwodzie.

Na wszystkich panuje to samo napięcie, a prądy przepływające przez każdy z nich sumują się. Wobec tego:

$\begin{array}{}\text{(7)}& P_{całk}=U·I=U·(I_1+I_2+I_3+I_4)=P_1+P_2+P_3+P_4\end{array}$

Wyciągamy z tego wniosek, że moc wydzielona układzie odbiorników jest równa sumie mocy wydzielonej na każdym z nich, bez względu na sposób ich połączenia.

Maksymalna moc wydzielana na odbiorniku prądu

Rozważmy obwód taki, jak na Rys. 3.

R5U2iDO09Xrl6

Rys. 3. Na rysunku przedstawiono schemat układu elektrycznego z odbiornikiem i opornikiem zabezpieczającym. Schemat układu narysowano w postaci poziomego prostokąta o czarnych krawędziach. Na górnej krawędzi obwodu, z lewej strony znajduje się źródło napięcia, narysowane w postaci czarnego okręgu z wpisaną czarną falką wewnątrz. Po prawej stronie od źródła napięcia, na górnej krawędzi narysowano opornik w postaci szarego poziomego prostokąta o rezystancji opisanej wielką literą R. Na dolnej krawędzi obwodu narysowano odbiornik o oporze wielka litera X, w postaci mniejszego poziomego prostokąta o czarnych krawędziach.

Załóżmy, że opór wewnętrzny źródła jest pomijalnie mały, a wartość oporu zabezpieczającego R wynosi 10 Ωomega. Dla jakiej wartości oporu odbiornika X moc wydzielona na nim będzie największa?

Moc tę obliczymy przekształcając równanie (5):

$\begin{array}{}\text{(8)}& P=I^{2}X\end{array}$

Natężenie prądu I można wyznaczyć zapisując bilans napięć w obwodzie (II prawo Kirchhoffa):

$\begin{array}{}\text{(9)}& U=IR+IX\end{array}$

Po wyznaczeniu I i wstawieniu do (8) otrzymujemy wzór na moc odbiornika, zależną od jego oporu X:

$\begin{array}{}\text{(10)}& P\left(X\right)=\frac{U^{2}X}{{(R+X)}^2}\end{array}$

Zbadanie przebiegu zmienności tej funkcji w celu znalezienia maksimum nie jest łatwe, a możliwość jego wykonania zależy od tego, jakie tematy zostały już przerobione przez Ciebie na lekcjach matematyki. Jeżeli potrafisz policzyć pochodną – zrób to. Jeśli nie, wykreśl jej wykres za pomocą dowolnej służącej do tego strony internetowej lub programu komputerowego. Rezultat widzisz na Rys. 4.

R1VsxpYOOMJnl

Rys. 4. Rysunek przedstawia wykres zależności mocy w funkcji rezystancji odbiornika prądu elektrycznego. Na rysunku pokazano prostokątny układ współrzędnych. Oś pionowa układu skierowana jest w górę i przedstawia wartość mocy wyrażoną w kilowatach, wielka litera P i w nawiasie kwadratowym mała litera k i wielka litera W. Na osi pracy zaznaczono wartości od zera do czternastu kilowatów, co jeden kilowat. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo i przedstawia opór odbiornika prądu elektrycznego wyrażony w ohmach, wielka litera R i w nawiasie kwadratowym wielka grecka litera omega. Na osi oporu zaznaczono wartości od zera do dwudziestu ohmów, co jeden ohm. W układzie widoczna jest funkcja, narysowana niebieską ciągłą linią. Funkcja ma swój początek w początku układu współrzędnych. Dla wartości oporu, od zera ohmów do dziesięciu ohmów, wartość funkcji rośnie w taki sposób, że początkowo przyrost jest szybszy, a następnie wolniejszy. Dla oporu równego dziesięć ohmów wartość mocy wynosi około trzynastu i dwóch dziesiątych kilowatów. Dla oporów większych niż dziesięć ohmów wartość mocy maleje, początkowo wolniej, a następnie nieco szybciej. Wykres niebieskiej funkcji przypomina wypukłą krzywą, wybrzuszoną w górę.

Maksimum mocy P przypada dla oporu X równego 10 Ωomega, czyli takiego, jak opór pozostałej części obwodu. Odpowiedzią na nasze pytanie jest więc:

$\begin{array}{}\text{(11)}& X_{P_{max}}=R\end{array}$

Praca mechaniczna wykonywana przez urządzenia elektryczne oraz ich sprawność

Urządzenia elektryczne konstruuje się zazwyczaj po to, by wykonywały jakąś pracę. Wartość pracy, jaką wykonuje prąd elektryczny, możemy obliczyć wykorzystując wzory (1) i (2):

$\begin{array}{}\text{(12)}& W=P·t=U·I·t\end{array}$

Musimy jednak pamiętać, że nie jest możliwe, by całą tę pracę, bez żadnych strat, zamienić na inny rodzaj energii. Każde urządzenie charakteryzuje się sprawnością $\eta$, którą określamy wzorem:

$\begin{array}{}\text{(13)}& \eta =\frac{W_{wyjściowa}}{W_{wejściowa}}100\%=\frac{W_{użyteczna}}{W_{\mathrm{\text{pobrana}}}}100\%=\frac{P_{użyteczna}}{P_{\mathrm{\text{pobierana}}}}100\%\end{array}$

Aby ułatwić zrozumienie tego pojęcia, zapisaliśmy wzór używając różnych nazw oraz różnych wielkości fizycznych: pracy i mocy.

Ostatecznie otrzymujemy: urządzenie elektryczne wykonuje pracę mechaniczną o wartości:

$\begin{array}{}\text{(14)}& W_{\text{mech}}=\eta ·U·I·t\end{array}$

Bilans cieplny przy ogrzewaniu urządzeniami elektrycznymi

Jedną z form energii, na którą można przeznaczyć energię elektryczną jest przekazywanie ciepłaprzekazywanie ciepłaprzekazywanie ciepła. Ucząc się termodynamiki dowiedzieliśmy się, że jeżeli ciało o masie m i cieple właściwym CIndeks dolny w_w zmieni swoją temperaturę o ΔdeltaT to znaczy, że przekazano mu ciepło Q o wartości:

$\begin{array}{}\text{(15)}& Q=m{C}_w\Delta T\end{array}$

Otrzymujemy więc pożyteczny wzór do wykorzystania w zadaniach, dotyczących ogrzewania ciał za pomocą urządzeń elektrycznych:

$\begin{array}{}\text{(16)}& m{C}_w\mathrm{\Delta }T=\eta ·U·I·t\end{array}$

Gdy ciało przechodzi przemianę fazową (np. woda zamienia się w lód lub odwrotnie, woda paruje lub odwrotnie), odbywa się to w stałej temperaturze, dopóki przemiana nie zakończy się. Ciepło potrzebne do dokonania takiej przemiany lub wydzielone podczas jej trwania wynosi:

$\begin{array}{}\text{(17)}& Q=mL\end{array}$

gdzie m to masa substancji a L – ciepło przemiany (topnienia, krzepnięcia, skraplania lub parowania), charakterystyczne dla substancji w określonych warunkach. Wzór ten przydaje się także, do wyliczeń analogicznych, jak we wzorze (16).

Słowniczek