Wśród prezentowanych w poprzednim rozdziale wykresów funkcji liniowych da się wyróżnić takie, które są wykresami funkcji rosnących oraz takie, które są wykresami funkcji malejących.
Pokażemy, że funkcja liniowa $f\left(x\right)=\mathrm{ax}+b$ jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni.
Jak wykazaliśmy wcześniej: jeżeli na wykresie funkcji liniowej $f$ leżą dwa różne punkty $A=\left(x_A,y_A\right)$ i $B=\left(x_B,y_B\right)$, to współczynnik kierunkowy funkcji $f$ jest równy

Załóżmy, że $x_B-x_A>0$, czyli wzdłuż osi $\mathrm{Ox}$ przesuwamy się od punktu $A$ do $B$ w prawo. Wobec tego znak współczynnika $a$ jest taki sam jak znak wyrażenia $y_B-y_A$. Zatem

• $a>0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $y_B-y_A>0$. Zatem wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$ przesuwamy się od punktu $A$ do$\mathrm{ B}$ w górę, czyli funkcja $f$ jest rosnąca,

• $a<0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $y_B-y_A<0$. Zatem wzdłuż osi $\mathrm{Oy}$ przesuwamy się od punktu $A$ do $B$ w dół, czyli funkcja$\mathrm{ f}$ jest malejąca.

• $a=0$, wtedy i tylko wtedy, gdy $y_B=y_A$, czyli funkcja liniowa $f\left(x\right)=\mathrm{ax}+b$ jest stała.

  Re2zLegthpqMK1

  Animacja pokazuje, jak mając współrzędne punktów A i B należących do prostej, obliczyć współczynnik kierunkowy funkcji liniowej rosnącej f(x) =ax +b. Punkt A = (-6, -1), B =(2, 3). Obliczamy różnicę argumentów i różnicę wartości funkcji dla tych argumentów. Zauważamy, że różnica argumentów jest większa od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się od A do B wzdłuż osi x w prawo. Różnica wartości funkcji jest większa od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się wzdłuż osi y od punktu A do B w górę. Wobec tego, zgodnie ze wzorem, iloraz różnicy dwóch wartości funkcji liniowej przez różnicę odpowiadających im argumentów jest większy od zera. Funkcja liniowa jest rosnąca.

  Animacja pokazuje, jak mając współrzędne punktów A i B należących do prostej, obliczyć współczynnik kierunkowy funkcji liniowej rosnącej f(x) =ax +b. Punkt A = (-6, -1), B =(2, 3). Obliczamy różnicę argumentów i różnicę wartości funkcji dla tych argumentów. Zauważamy, że różnica argumentów jest większa od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się od A do B wzdłuż osi x w prawo. Różnica wartości funkcji jest większa od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się wzdłuż osi y od punktu A do B w górę. Wobec tego, zgodnie ze wzorem, iloraz różnicy dwóch wartości funkcji liniowej przez różnicę odpowiadających im argumentów jest większy od zera. Funkcja liniowa jest rosnąca.

  

  Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

  Animacja pokazuje, jak mając współrzędne punktów A i B należących do prostej, obliczyć współczynnik kierunkowy funkcji liniowej rosnącej f(x) =ax +b. Punkt A = (-6, -1), B =(2, 3). Obliczamy różnicę argumentów i różnicę wartości funkcji dla tych argumentów. Zauważamy, że różnica argumentów jest większa od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się od A do B wzdłuż osi x w prawo. Różnica wartości funkcji jest większa od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się wzdłuż osi y od punktu A do B w górę. Wobec tego, zgodnie ze wzorem, iloraz różnicy dwóch wartości funkcji liniowej przez różnicę odpowiadających im argumentów jest większy od zera. Funkcja liniowa jest rosnąca.

RKraDZejT7gwb1

Animacja pokazuje, jak mając współrzędne punktów A i B należących do prostej, obliczyć współczynnik kierunkowy funkcji liniowej malejącej f(x) =ax +b. Punkt A = (-3, 5), B =(4, -2). Obliczamy różnicę argumentów i różnicę wartości funkcji dla tych argumentów. Zauważamy, że różnica argumentów jest większa od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się od A do B wzdłuż osi x w prawo. Różnica wartości funkcji jest mniejsza od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się wzdłuż osi y od punktu A do B w dół. Wobec tego, zgodnie ze wzorem, iloraz różnicy dwóch wartości funkcji liniowej przez różnicę odpowiadających im argumentów jest mniejszy od zera. Funkcja liniowa jest malejąca.

Animacja pokazuje, jak mając współrzędne punktów A i B należących do prostej, obliczyć współczynnik kierunkowy funkcji liniowej malejącej f(x) =ax +b. Punkt A = (-3, 5), B =(4, -2). Obliczamy różnicę argumentów i różnicę wartości funkcji dla tych argumentów. Zauważamy, że różnica argumentów jest większa od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się od A do B wzdłuż osi x w prawo. Różnica wartości funkcji jest mniejsza od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się wzdłuż osi y od punktu A do B w dół. Wobec tego, zgodnie ze wzorem, iloraz różnicy dwóch wartości funkcji liniowej przez różnicę odpowiadających im argumentów jest mniejszy od zera. Funkcja liniowa jest malejąca.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja pokazuje, jak mając współrzędne punktów A i B należących do prostej, obliczyć współczynnik kierunkowy funkcji liniowej malejącej f(x) =ax +b. Punkt A = (-3, 5), B =(4, -2). Obliczamy różnicę argumentów i różnicę wartości funkcji dla tych argumentów. Zauważamy, że różnica argumentów jest większa od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się od A do B wzdłuż osi x w prawo. Różnica wartości funkcji jest mniejsza od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się wzdłuż osi y od punktu A do B w dół. Wobec tego, zgodnie ze wzorem, iloraz różnicy dwóch wartości funkcji liniowej przez różnicę odpowiadających im argumentów jest mniejszy od zera. Funkcja liniowa jest malejąca.

Wiemy już, że jeżeli na wykresie funkcji liniowej $f$ leżą dwa różne punkty $A=\left(x_A,y_A\right)$ i $B=\left(x_B,y_B\right)$, to współczynnik kierunkowy funkcji $f$ jest równy

a także

Wynika z tego, że prosta będąca wykresem funkcji liniowej, która

• przechodzi przez punkt $A=\left(x_A,y_A\right)$ ma równanie

co zapisujemy w postaci

• przechodzi przez dwa różne punkty $A=\left(x_A,y_A\right)$ i $B=\left(x_B,y_B\right)$ ma równanie

R1F2l67TtE6ZY1

Animacja pokazuje jak wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A i B.

Animacja pokazuje jak wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A i B.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Animacja pokazuje jak wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A i B.

ROGX2EMqpUAR81

Animacja pokazuje wykres w postaci prostej, z którego należy odczytać współrzędne dwóch dowolnych punktów należących do prostej. Następnie zgodnie ze wzorem obliczyć współczynnik kierunkowy a prostej i wyznaczyć równanie prostej.

Animacja pokazuje wykres w postaci prostej, z którego należy odczytać współrzędne dwóch dowolnych punktów należących do prostej. Następnie zgodnie ze wzorem obliczyć współczynnik kierunkowy a prostej i wyznaczyć równanie prostej.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D16AqAVhS