Wśród prezentowanych w poprzednim rozdziale wykresów funkcji liniowych da się wyróżnić takie, które są wykresami funkcji rosnących oraz takie, które są wykresami funkcji malejących.
Pokażemy, że funkcja liniowa fx=ax+b jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni.
Jak wykazaliśmy wcześniej: jeżeli na wykresie funkcji liniowej f leżą dwa różne punkty A=xA,yAB=xB,yB, to współczynnik kierunkowy funkcji f jest równy

a=yB-yAxB-xA.

Załóżmy, że xB-xA>0, czyli wzdłuż osi Ox przesuwamy się od punktu A do B w prawo. Wobec tego znak współczynnika a jest taki sam jak znak wyrażenia yB-yA. Zatem

  • a>0 wtedy i tylko wtedy, gdy yB-yA>0. Zatem wzdłuż osi Oy przesuwamy się od punktu A do B w górę, czyli funkcja f jest rosnąca,

  • a<0 wtedy i tylko wtedy, gdy yB-yA<0. Zatem wzdłuż osi Oy przesuwamy się od punktu A do B w dół, czyli funkcja f jest malejąca.

  • a=0, wtedy i tylko wtedy, gdy yB=yA, czyli funkcja liniowa fx=ax+b jest stała.

    Re2zLegthpqMK1
    Animacja pokazuje, jak mając współrzędne punktów A i B należących do prostej, obliczyć współczynnik kierunkowy funkcji liniowej rosnącej f(x) =ax +b. Punkt A = (-6, -1), B =(2, 3). Obliczamy różnicę argumentów i różnicę wartości funkcji dla tych argumentów. Zauważamy, że różnica argumentów jest większa od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się od A do B wzdłuż osi x w prawo. Różnica wartości funkcji jest większa od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się wzdłuż osi y od punktu A do B w górę. Wobec tego, zgodnie ze wzorem, iloraz różnicy dwóch wartości funkcji liniowej przez różnicę odpowiadających im argumentów jest większy od zera. Funkcja liniowa jest rosnąca.

RKraDZejT7gwb1
Animacja pokazuje, jak mając współrzędne punktów A i B należących do prostej, obliczyć współczynnik kierunkowy funkcji liniowej malejącej f(x) =ax +b. Punkt A = (-3, 5), B =(4, -2). Obliczamy różnicę argumentów i różnicę wartości funkcji dla tych argumentów. Zauważamy, że różnica argumentów jest większa od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się od A do B wzdłuż osi x w prawo. Różnica wartości funkcji jest mniejsza od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się wzdłuż osi y od punktu A do B w dół. Wobec tego, zgodnie ze wzorem, iloraz różnicy dwóch wartości funkcji liniowej przez różnicę odpowiadających im argumentów jest mniejszy od zera. Funkcja liniowa jest malejąca.
Przykład 1

Funkcja fx=2x+5 jest rosnąca, ponieważ jej współczynnik kierunkowy jest równy 2, czyli a>0.

Przykład 2

Funkcja fx=13x-1 jest rosnąca, ponieważ jej współczynnik kierunkowy jest równy 13, czyli a>0.

Przykład 3

Funkcja fx=-x+2 jest malejąca, ponieważ jej współczynnik kierunkowy jest równy -1, czyli a<0.

Wiemy już, że jeżeli na wykresie funkcji liniowej f leżą dwa różne punkty A=xA,yAB=xB,yB, to współczynnik kierunkowy funkcji f jest równy

a=yB-yAxB-xA,

a także

yA-axA=b.

Wynika z tego, że prosta będąca wykresem funkcji liniowej, która

  • przechodzi przez punkt A=xA,yA ma równanie

y=ax+yA-axA,

co zapisujemy w postaci

y=ax-xA+yA,
  • przechodzi przez dwa różne punkty A=xA,yAB=xB,yB ma równanie

y=yB-yAxB-xAx-xA+yA.
R1F2l67TtE6ZY1
Animacja pokazuje jak wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A i B.
Przykład 4

Dane są punkty A=2, -4, B=9, 10. Wtedy

xB-xA=9-2=7 

oraz

 yB-yA=10-(-4)=14. 

Wynika z tego, że współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty Ajest równy a=147, czyli a=2.
Ponieważ na tej prostej leży punkt B=9, 10, to jej równanie zapisujemy w postaci

y=ax-9+10,

a po uwzględnieniu a=2 mamy ostatecznie y=2x-9+10, skąd

y=2x-8.
ROGX2EMqpUAR81
Animacja pokazuje wykres w postaci prostej, z którego należy odczytać współrzędne dwóch dowolnych punktów należących do prostej. Następnie zgodnie ze wzorem obliczyć współczynnik kierunkowy a prostej i wyznaczyć równanie prostej.