Zadania

Ćwiczenie 1

Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = ax + b$ .

R1WgiCQceUhtR1

Wykres funkcji liniowej malejącej przechodzący przez punkty o współrzędnych (-3, 2) i (-1, -1).

Oblicz $a .$
Podaj wzór funkcji $f .$

$a = - \frac{3}{2}$

Na wykresie funkcji $f$ leżą punkty $(- 1, - 1)$ i $(- 3, 2)$ . Wobec tego

a = \frac{2 - (- 1)}{- 3 - (- 1)} = \frac{3}{- 2} = - \frac{3}{2} .

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{5}{2}$

Prosta przechodząca przez punkty $(- 1, - 1)$ i $(- 3, 2)$ ma równanie

y = - \frac{3}{2} (x - (- 1)) + (- 1),

czyli

y = - \frac{3}{2} (x + 1) - 1 = - \frac{3}{2} x - \frac{5}{2} .

Ćwiczenie 2

Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = ax + b .$

R1b76GLj6KkEh1

Wykres funkcji liniowej malejącej przechodzący przez punkty o współrzędnych (0, 3) i (2, -1).

Wówczas

R14m0HgAD3gh3

$a < 0$
$a = - 1$
$b < 0$
$b = 3$

Ponieważ na wykresie leżą punkty $(0, 3)$ i $(1, 2)$ , to $b = 3$ i $a = \frac{2 - 3}{1 - 0} = - 2$ .

Ćwiczenie 3

Wskaż wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = ax + b$ , dla której $a > 0$ i $b < 0$ .

R7EfxmBZvVAS4

Skoro $a > 0$ , to funkcja jest rosnąca, a skoro $b < 0$ , to funkcja przecina oś $Oy$ w punkcie o ujemnej drugiej współrzędnej.

Ćwiczenie 4

Funkcja liniowa $f (x) = \frac{1}{3} x - 5$

Ruz6eqnnKcpda

jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt $(0, 5)$
jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt $(0, 5)$
jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt $(0, - 5)$
jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt $(0, - 5)$

Współczynnik kierunkowy jest dodatni ( $a = \frac{1}{3}$ ), więc funkcja jest rosnąca. Wyraz wolny $b = - 5$ , czyli wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, - 5) .$

Ćwiczenie 5

Funkcja liniowa $f (x) = (2 m + 3) x + m - 2$

RMWhSGi3mn7NW

dla $m = 0$ jest rosnąca
dla $m = - 1$ jest malejąca
jest rosnąca tylko wtedy, gdy $m < 2$
jest malejąca tylko wtedy, gdy $m < - \frac{3}{2}$

Ćwiczenie 6

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f (x) = ax + 3$ , gdzie $a > 0$ . Wówczas

RBX1N4lu6AXNJ

$f (0) = 0$
$f (- 1) < 0$
$f (1) > 3$
$f (2) + f (- 2) > 6$

Ćwiczenie 7

Dane są punkty $A = (- 2, 3)$ i $B = (1, - 5)$ , $C = (4,4)$ . Wynika z tego, że ujemny współczynnik kierunkowy ma prosta przechodząca przez punkty

RECfMA1VoKi0u

$A$ i $B$
$A$ i $C$
$B$ i $C$

Ćwiczenie 8

Dane są punkty $A = (0, 3)$ i $B = (- 2, 1)$ . Wynika z tego, że prosta $AB$

RibfiXNBVWZR5

przecina oś $Oy$ w punkcie, którego druga współrzędna jest dodatnia
ma współczynnik kierunkowy równy $1$
ma równanie $y = x + 3$
przechodzi przez punkt $(- 3, 0)$

Ćwiczenie 9

R25jcSeWFRwNQ1

Ćwiczenie 10

Na wykresie funkcji liniowej $f (x) = ax + b$ leżą punkty $A = (- 2, - 3)$ i $B = (2, 5)$ . Wynika z tego, że

RpmGr6X8sqObJ

funkcja $f$ jest rosnąca
wykres funkcji $f$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 2)$
$a = 4$
funkcja $f$ określona jest wzorem $f (x) = 2 x + 1$

Ćwiczenie 11

Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu pewnej funkcji liniowej $y = ax + b$ .

R1KS0RWk3Abtu1

Wykres funkcji przechodzący przez punkty o współrzędnych (0, 3) i (3, 1).

Współczynnik $a$ jest równy

R1aT0s7XhYarx

$\frac{9}{2}$
$3$
$- \frac{2}{3}$
$- \frac{3}{2}$

Ćwiczenie 12

Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu pewnej funkcji liniowej $y = ax + b$ .

R1W7sgL7cAjJM1

Wykres funkcji przechodzący przez pierwszą, drugą i trzecią ćwiartkę układu współrzędnych.

Jakie znaki mają współczynniki $a$ i $b$ ?

Rbu98ngbHioM1

$a < 0$ i $b < 0$
$a > 0$ i $b < 0$
$a < 0$ i $b > 0$
$a > 0$ i $b > 0$

Ćwiczenie 13

Wskaż $m$ , dla którego funkcja liniowa $f (x) = (2 - 3 m) x - 1$ jest rosnąca.

RSAv2QYYcVWYE

$m = - 1$
$m = 1$
$m = 2$
$m = 3$

Ćwiczenie 14

Funkcja liniowa $f (x) = (3 m + 1) x + m - 2$ jest stała, gdy

R1GEeEWw14pL2

$m = 3$
$m = 2$
$m = 1$
$m = - \frac{1}{3}$

Ćwiczenie 15

Funkcja liniowa $f (x) = (4 - m) x + 1$ jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy

RHO3nLanKmeod

$m > 3$
$m > 4$
$m < 4$
$m < 0$

Ćwiczenie 16

R1g0V8h9E4YbR1

Przeciagnij pasujące elementy z dolnej sekcji do górnej.

funkcje rosnące
funkcje malejące
funkcje stałe

Ćwiczenie 17

Na wykresie funkcji liniowej $f$ leżą punkty $A = (2, 3)$ , $B = (1, - 1)$ . Funkcja $f$ określona jest wzorem

R1JwTi3Y83a4s

$f (x) = x - 1$
$f (x) = 2 x - 3$
$f (x) = 3 x - 4$
$f (x) = 4 x - 5$

Ćwiczenie 18

Dane są punkty $A = (- 3, 0)$ i $B = (1, - 2)$ . Współczynnik kierunkowy prostej $AB$ jest równy

RAH4acUh9HwZv

$- 1$
$- \frac{1}{2}$
$- \frac{2}{3}$
$- \frac{3}{4}$

Ćwiczenie 19

Dane są punkty $A = (- 2, 1)$ i $B = (3, 3)$ . Na prostej $AB$ leży punkt

RqVcqZZH5a0Kf

$(18, 9)$
$(18, 12)$
$(18, 15)$
$(18, 18)$

Ćwiczenie 20

Każda z prostych prezentowanych na rysunkach jest określona równaniem $y = ax + b$ .
Odczytaj $a$ i $b$ .

R1ZnZR4fvgLEE1
R172AJH1mi6Wf1
R16Kp20Hb5hJv1
R1Gm6ov43DX1P1

$a = 2, b = - 3$
$a = - 1, b = - 2$
$a = 3, b = - 1$
$a = - \frac{2}{5}, b = 1$

Zauważmy, że punkty $(2, 1)$ , $(3, 3)$ należą do wykresu funkcji. Zatem $f (2) = 1$ , czyli $1 = a ∙ 2 + b$ , stąd $b = 1 - a ∙ 2$ . Biorąc pod uwagę punkt $(3, 3)$ , otrzymujemy $f (3) = 3$ , czyli $3 = a ∙ 3 + b$ . Ponieważ $b = 1 - a ∙ 2$ , to uzyskujemy $3 = a ∙ 3 + 1 - 2 ∙ a$ . Stąd $a = 2$ oraz $b = 1 - 2 ∙ 2 = - 3$ . Zadanie to można rozwiązać znacznie szybciej. Biorąc pod uwagę punkty $(2, 1)$ , $(3, 3),$ obliczamy współczynnik kierunkowy jako $a = \frac{3 - 1}{3 - 2} = 2$ . Ponieważ $f (0) = - 3$ , czyli $- 3 = a ∙ 0 + b$ , to $b = - 3$ .
Biorąc pod uwagę punkty $(- 3, 1)$ , $(- 1, - 1)$ , obliczamy współczynnik kierunkowy jako $a = \frac{- 1 - (- 3)}{- 1 - 1} = - 1$ . Ponieważ $f (0) = - 2$ , to $b = - 2$ .
Biorąc pod uwagę punkty $(1, 2)$ , $(2, 5),$ obliczamy współczynnik kierunkowy jako $a = \frac{5 - 2}{2 - 1} = 3$ . Ponieważ $f (0) = - 1$ , to $b = - 1$ .
Biorąc pod uwagę punkty $(0, 1)$ , $(5, - 1),$ obliczamy współczynnik kierunkowy jako $a = \frac{- 1 - 1}{5 - 0} = - \frac{2}{5}$ . Ponieważ $f (0) = 1$ , to $b = 1$ .

Ćwiczenie 21

Podaj wzór funkcji liniowej $f$ , której wykres przechodzi przez punkt $A = (10, 112)$ i przecina oś $Oy$ w punkcie $B = (0, 2)$ .

$f (x) = 11 x + 2$

Biorąc pod uwagę punkty $(0, 2)$ , $(10, 112),$ obliczamy współczynnik kierunkowy jako $a = \frac{112 - 2}{10 - 0} = 11$ . Ponieważ $f (0) = 2$ , to $b = 2$ .

Ćwiczenie 22

Spośród podanych funkcji liniowych wybierz funkcje rosnące.

RVCM3sWBvxrYJ

$y = x - 100$
$y = \frac{1}{10} x - 5$
$y = \frac{x - 1}{3}$
$y = 5 - x$

Ćwiczenie 23

Spośród podanych funkcji liniowych wybierz funkcje malejące.

Rv8C96HKY9OvY

$y = x + \frac{1}{3}$
$y = - x + 6$
$y = \frac{x - 5}{9}$
$y = 1 - \frac{3}{4} x$

Ćwiczenie 24

Wyznacz wszystkie wartości $m$ , dla których funkcja liniowa $f (x) = (2 m + 5) x - 1$ jest

malejąca
rosnąca
stała

$m < - \frac{5}{2}$
$m > - \frac{5}{2}$
$m = - \frac{5}{2}$

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest ujemny, czyli $2 m + 5 < 0$ , skąd uzyskujemy, że $m < - \frac{5}{2}$ .
Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy jest dodatni, czyli $2 m + 5 > 0$ , skąd uzyskujemy, że $m > - \frac{5}{2}$ .
Funkcja liniowa jest stała, gdy współczynnik kierunkowy jest równy $0$ , czyli $2 m + 5 = 0$ , skąd uzyskujemy, że $m = - \frac{5}{2}$ .

Ćwiczenie 25

Wykres funkcji liniowej $f (x) = ax + b$ przechodzi przez punkty $A = (- 7, 11)$ i $B = (23, - 19)$ . Wynika z tego, że

RXUzdS5ipOBb5

$a = - \frac{11}{7}$
$b < 0$
do wykresu funkcji $f$ należy punkt $C = (1, 5)$
na wykresie funkcji $f$ leży co najmniej $7$ punktów, których obie współrzędne są całkowitymi liczbami dodatnimi

Ćwiczenie 26

Dana jest funkcja liniowa $f (x) = (2 m + 3 k) x + 2$ .
Podaj przykład

takich wartości parametrów $m$ i $k$ , że $m > 0$ i $k < 0$ i funkcja $f$ jest malejąca
takich wartości parametrów $m$ i $k$ , że $m < 0$ i $k > 0$ i funkcja $f$ jest malejąca
takich wartości parametrów $m$ i $k$ , że $m > 0$ i $k < 0$ i funkcja $f$ jest rosnąca
takich wartości parametrów $m$ i $k$ , że $m < 0$ i $k > 0$ i funkcja $f$ jest rosnąca

$m = 1$ i $k = - 1$
$m = - 2$ i $k = 1$
$m = 2$ i $k = - 1$
$m = - 1$ i $k = 1$

Ćwiczenie 27

Dana jest funkcja liniowa $f (x) = (2 m + 3 k) x + 2$ .
Podaj przykład

takich wartości parametrów $m$ i $k$ , że $2 m + k = 1$ i funkcja $f$ jest malejąca
takich wartości parametrów $m$ i $k$ , że $m + 3 k = - 1$ i funkcja $f$ jest rosnąca
takich wartości parametrów $m$ i $k$ , że $m + k = 2$ i funkcja $f$ jest malejąca
takich wartości parametrów $m$ i $k$ , że $m + k = - 1000$ i funkcja $f$ jest rosnąca

$m = 1$ i $k = - 1$
$m = 2$ i $k = - 1$
$m = 7$ i $k = - 5$
$m = - 3001$ i $k = 2001$

Ćwiczenie 28

Dana jest funkcja liniowa $f (x) = (2 m + 3 k) x + 2$ .
Rozstrzygnij, czy istnieją takie wartości parametrów $m$ i $k$ , że na wykresie funkcji $f$

RMxSSqz6yolmP

leży dokładnie jeden punkt, którego obie współrzędne są całkowitymi liczbami dodatnimi
leży dokładnie jeden punkt, którego obie współrzędne są całkowitymi liczbami przeciwnych znaków
leżą dokładnie dwa punkty, których obie współrzędne są całkowitymi liczbami ujemnymi

Ćwiczenie 29

Dana jest funkcja liniowa $f (x) = (2 m + 3 k) x + 2$ .
Wykaż, że

jeżeli $k = - \frac{2}{3} m$ , to funkcja $f$ jest stała,
jeżeli $k > - \frac{2}{3} m$ , to funkcja $f$ jest rosnąca,
jeżeli $k < - \frac{2}{3} m$ , to funkcja $f$ jest malejąca.

Jeżeli $k = - \frac{2}{3} m$ , to $3 k = - 2 m$ i $2 m + 3 k = 0$ , czyli funkcja $f$ jest stała.
Jeżeli $k > - \frac{2}{3} m$ , to $3 k > - 2 m$ i $2 m + 3 k > 0$ , czyli funkcja $f$ jest rosnąca.
Jeżeli $k < - \frac{2}{3} m$ , to $3 k < - 2 m$ i $2 m + 3 k < 0$ , czyli funkcja $f$ jest malejąca.

Funkcja liniowa rosnąca, funkcja liniowa malejąca

Zadania generatorowe