Funkcja liniowa rosnąca, funkcja liniowa malejąca

Zawartość materiału warto przytoczyć przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań z tej tematyki:
Zadania obliczeniowe dotyczące funkcji liniowej. Część ID1CWYfW9hZadania obliczeniowe dotyczące funkcji liniowej. Część I.

Wśród wykresów funkcji liniowych da się wyróżnić takie, które są wykresami funkcji rosnących oraz takie, które są wykresami funkcji malejących.

Pokażemy, że funkcja liniowa $f (x) = a x + b$ jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni.

Jeżeli na wykresie funkcji liniowej $f$ leżą dwa różne punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ , to współczynnik kierunkowy funkcji $f$ jest równy

a = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}

Załóżmy, że $x_{B} - x_{A} > 0$ , czyli wzdłuż osi $X$ przesuwamy się od punktu $A$ do $B$ w prawo. Wobec tego znak współczynnika $a$ jest taki sam jak znak wyrażenia $y_{B} - y_{A}$ . Zatem:

$a > 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $y_{B} - y_{A} > 0$ . Zatem wzdłuż osi $Y$ przesuwamy się od punktu $A$ do $B$ w górę, czyli funkcja $f$ jest rosnąca,
$a < 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $y_{B} - y_{A} < 0$ . Zatem wzdłuż osi $Y$ przesuwamy się od punktu $A$ do $B$ w dół, czyli funkcja $f$ jest malejąca.
$a = 0$ , wtedy i tylko wtedy, gdy $y_{B} = y_{A}$ , czyli funkcja liniowa $f (x) = a x + b$ jest stała.
Rnmf3kqjxoeVE1
Animacja pokazuje, jak mając współrzędne punktów A i B należących do prostej, obliczyć współczynnik kierunkowy funkcji liniowej rosnącej f(x) =ax +b. Punkt A = (-6, -1), B =(2, 3). Obliczamy różnicę argumentów i różnicę wartości funkcji dla tych argumentów. Zauważamy, że różnica argumentów jest większa od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się od A do B wzdłuż osi x w prawo. Różnica wartości funkcji jest większa od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się wzdłuż osi y od punktu A do B w górę. Wobec tego, zgodnie ze wzorem, iloraz różnicy dwóch wartości funkcji liniowej przez różnicę odpowiadających im argumentów jest większy od zera. Funkcja liniowa jest rosnąca.
Animacja pokazuje, jak mając współrzędne punktów A i B należących do prostej, obliczyć współczynnik kierunkowy funkcji liniowej rosnącej f(x) =ax +b. Punkt A = (-6, -1), B =(2, 3). Obliczamy różnicę argumentów i różnicę wartości funkcji dla tych argumentów. Zauważamy, że różnica argumentów jest większa od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się od A do B wzdłuż osi x w prawo. Różnica wartości funkcji jest większa od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się wzdłuż osi y od punktu A do B w górę. Wobec tego, zgodnie ze wzorem, iloraz różnicy dwóch wartości funkcji liniowej przez różnicę odpowiadających im argumentów jest większy od zera. Funkcja liniowa jest rosnąca.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Film dostępny pod adresem /preview/resource/Rnmf3kqjxoeVE
Funkcja liniowa_wspolczynniki_atrapa_animacja_283
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja pokazuje, jak mając współrzędne punktów A i B należących do prostej, obliczyć współczynnik kierunkowy funkcji liniowej rosnącej f(x) =ax +b. Punkt A = (-6, -1), B =(2, 3). Obliczamy różnicę argumentów i różnicę wartości funkcji dla tych argumentów. Zauważamy, że różnica argumentów jest większa od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się od A do B wzdłuż osi x w prawo. Różnica wartości funkcji jest większa od zera, zawsze, jeżeli przesuwamy się wzdłuż osi y od punktu A do B w górę. Wobec tego, zgodnie ze wzorem, iloraz różnicy dwóch wartości funkcji liniowej przez różnicę odpowiadających im argumentów jest większy od zera. Funkcja liniowa jest rosnąca.

R1KCi9EjuP7kz1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Funkcja $f (x) = 2 x + 5$ jest rosnąca, ponieważ jej współczynnik kierunkowy jest równy $2$ , czyli $a > 0$ .

Przykład 2

Funkcja $f (x) = \frac{1}{3} x - 1$ jest rosnąca, ponieważ jej współczynnik kierunkowy jest równy $\frac{1}{3}$ , czyli $a > 0$ .

Przykład 3

Funkcja $f (x) = - x + 2$ jest malejąca, ponieważ jej współczynnik kierunkowy jest równy $- 1$ , czyli $a < 0$ .

Przypomnijmy, że jeżeli na wykresie funkcji liniowej $f$ leżą dwa różne punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ , to współczynnik kierunkowy funkcji $f$ jest równy

a = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}}

a także

y_{A} - a x_{A} = b

Wynika z tego, że prosta będąca wykresem funkcji liniowej, która

przechodzi przez punkt $A = (x_{A}, y_{A})$ , ma równanie

y = a x + (y_{A} - a x_{A})

co zapisujemy w postaci

y = a (x - x_{A}) + y_{A}

przechodzi przez dwa różne punkty $A = (x_{A}, y_{A})$ i $B = (x_{B}, y_{B})$ , ma równanie

y = \frac{y_{B} - y_{A}}{x_{B} - x_{A}} (x - x_{A}) + y_{A}

RCEAHagVQFIH41

Przykład 4

Dane są punkty $A = (2, - 4)$ , $B = (9, 10)$ . Wtedy

x_{B} - x_{A} = 9 - 2 = 7

oraz

y_{B} - y_{A} = 10 - (- 4) = 14

Wynika z tego, że współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$ jest równy $a = \frac{14}{7}$ , czyli $a = 2$ .

Ponieważ na tej prostej leży punkt $B = (9, 10)$ , to jej równanie zapisujemy w postaci

y = a (x - 9) + 10

a po uwzględnieniu $a = 2$ mamy ostatecznie $y = 2 (x - 9) + 10$ , skąd

y = 2 x - 8

Polecenie 1

R1ewGzs8O3gIp11

R12Bq0A4tpk0n

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.