Galeria zdjęć interaktywnych

Polecenie 1

Zapoznaj się z galerią zdjęć interaktywnych, która przedstawia ostrosłup prosty o podstawie prostokąta. Zwróć uwagę na analizę rysunku – zwłaszcza ścian bocznych ostrosłupa.

Następnie wykonaj poniższe polecenie.

R1csScTaHY8Wx

Slajd pierwszy przedstawia rysunek ostrosłupa o prostokątnej podstawie A B C D, gdzie boki A B oraz C D mają długość 12 pierwiastków kwadratowych z dwóch, a boki B C oraz A D mają długość dwanaście. Wierzchołek górny bryły oznaczono literą S. Oznaczono również, że krawędź ściany S C ma długość dwanaście. Z wierzchołka B poprowadzono odcinek prostopadły do krawędzi ściany S C do punktu E leżącego na tej krawędzi. Z punktu E poprowadzono z kolei odcinek prostopadły również do krawędzi S C. Odcinek ten to E F, gdzie punkt F leży na krawędzi C D. Zaznaczono trójkąt B E F, w którym zaznaczono kąt alfa przy wierzchołku E. Tekst na slajdzie: Na rysunku zaznaczono kąt pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi w tym ostrosłupie. Oblicz długość odcinka

E F

RQZjIhUEfrMCT

R16g997O2siLr

R9CWGy2xcu1P8

RHzZNtP8rcBKS

R1CImgVdJCldL

RPJqh1r4n59MA

R14UVWskiZBs3

RKgTsu8tljc7u

Polecenie 2

Oblicz wartość funkcji trygonometrycznych kąta $α$ przedstawionego w galerii zdjęć interaktywnych.

Wiemy, że $|F E| = 6$ , $|B E| = 6 \sqrt{3}$ . Potrzebujemy jeszcze długości odcinka $F B$ . Skoro trójkąt $F E C$ jest prostokątny i równoramienny, to $|F C| = 6 \sqrt{2}$ . Trójkąt $F B C$ jest prostokątny, więc korzystając z twierdzenia Pitagorasa, mamy:

${|F B|}^{2} = {(6 \sqrt{2})}^{2} + 12^{2}$

${|F B|}^{2} = 216$

$|F B| = 6 \sqrt{6}$

Zatem z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $D E F$ mamy:

${|F B|}^{2} = {|B E|}^{2} + {|F E|}^{2} - 2 \cdot |B E| \cdot |F E| \cdot \cos α$

${(6 \sqrt{6})}^{2} = {(6 \sqrt{3})}^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 6 \sqrt{3} \cdot 6 \cdot \cos α$

$216 = 108 + 36 - 72 \sqrt{3} \cos α$

$72 = - 72 \sqrt{3} \cos α$

$\cos α = - \frac{1}{\sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Obliczmy jeszcze wartość funkcji sinus i tangens dla kąta $α$ . Wiemy, że $\sin α = \sqrt{1 - \cos^{2} α}$ ( $\sin α > 0$ , bo $α$ - kąt rozwarty), więc podstawmy wartość cosinusa naszego kąta:

$\sin α = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

oraz $tg α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}} = - \sqrt{\frac{1}{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Przeczytaj

Sprawdź się