Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Co oznacza kąt $α$ na poniższym rysunku?

Ri9JiobPketak

Ilustracja przedstawia ostrosłup czworokątny, którego wierzchołki podstawy to A B C D, a wierzchołek górny to S. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość H, spodek tej wysokości podpisano literą O. Punkt O leży na przecięciu przekątnych podstawy. Z wierzchołka B poprowadzono odcinek pod kątem prostym do krawędzi bocznej CS, punkt przecięcia się tego odcinka z krawędzią CS podpisano literą E. Z punktu D również poprowadzono odcinek do krawędzi CS, odcinek ten kończy się również w punkcie E. Kąt BED podpisano literą alfa.

RophPKrasjxft

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny.

RvLT9bQPvMV1h

Ilustracja przedstawia ostrosłup czworokątny, którego wierzchołki podstawy to A B C D, a wierzchołek górny to S. W ostrosłupie zaznaczono kąt alfa znajdujący się pomiędzy wysokością ściany bocznej ADS a odcinkiem leżącym w środku podstawy równoległym do krawędzi AB.

R1GA0og686s4P

Ćwiczenie 3

RVyEnVNm647Bb

R1NXZczIDEZ4D

Ilustracja przedstawia ostrosłup czworokątny, którego wierzchołki podstawy to A B C D, a wierzchołek górny to S. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, spodek tej wysokości podpisano literą E, punkt ten leży na przecięciu przekątnych podstawy. W ostrosłupie zaznaczono kąt alfa znajdujący się pomiędzy wysokością ostrosłupa i krawędzią boczną ostrosłupa. Możliwe odpowiedzi: 1. Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy., 2. Kąt pomiędzy dwoma sąsiednimi ścianami bocznymi., 3. Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a krawędzią boczną., 4. Kąt pomiędzy przeciwległymi krawędziami bocznymi. Ilustracja przedstawia ostrosłup czworokątny, którego wierzchołki podstawy to A B C D, a wierzchołek górny to S. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, spodek tej wysokości podpisano literą E, punkt ten leży na przecięciu przekątnych podstawy. W ostrosłupie zaznaczono kąt alfa znajdujący się pomiędzy krawędzią ściany bocznej i przekątną podstawy. Możliwe odpowiedzi: 1. Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy., 2. Kąt pomiędzy dwoma sąsiednimi ścianami bocznymi., 3. Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a krawędzią boczną., 4. Kąt pomiędzy przeciwległymi krawędziami bocznymi. Ilustracja przedstawia ostrosłup czworokątny, którego wierzchołki podstawy to A B C D, a wierzchołek górny to S. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość H, spodek tej wysokości podpisano literą E. Punkt E leży na przecięciu przekątnych podstawy. Z wierzchołka B poprowadzono odcinek pod kątem prostym do krawędzi bocznej CS. Z punktu D również poprowadzono odcinek prostopadle do krawędzi CS. Kąt pomiędzy tymi odcinkami podpisano literą alfa. Możliwe odpowiedzi: 1. Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy., 2. Kąt pomiędzy dwoma sąsiednimi ścianami bocznymi., 3. Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a krawędzią boczną., 4. Kąt pomiędzy przeciwległymi krawędziami bocznymi. Ilustracja przedstawia ostrosłup czworokątny, którego wierzchołki podstawy to A B C D, a wierzchołek górny to S. W ostrosłupie zaznaczono jego wysokość, spodek tej wysokości podpisano literą E, punkt ten leży na przecięciu przekątnych podstawy. W ostrosłupie zaznaczono kąt alfa znajdujący się pomiędzy krawędziami bocznymi ostrosłupa. Możliwe odpowiedzi: 1. Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy., 2. Kąt pomiędzy dwoma sąsiednimi ścianami bocznymi., 3. Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a krawędzią boczną., 4. Kąt pomiędzy przeciwległymi krawędziami bocznymi.

Ćwiczenie 4

Podstawą ostrosłupa $A B C D S$ jest trapez prostokątny, w którym dłuższa podstawa ma długość $14$ , a jedna z przekątnych ma długość $2 \sqrt{58}$ . Krawędź $A S$ jest wysokością ostrosłupa, $|A S| = 14$ oraz $|C S| = 2 \sqrt{74}$ . Połącz w pary długości boków z ich wartościami oraz funkcje trygonometryczne pewnych kątów z ich wartościami.

Ru4X0NywAlg33

Ilustracja przedstawia ostrosłup czworokątny, którego wierzchołki podstawy to A B C D, a wierzchołek górny to S. Krawędź SA jest pod kątem prostym do krawędzi podstawy. Podstawą tego ostrosłupa jest trapez, w którym kąt BAD to kąt prosty.

R1H6JFl2UC73J

Ćwiczenie 5

Rysunek przedstawia ostrosłup o podstawie rombu. Wiedząc, że pole rombu równa się $k^{2}$ oraz $\cos α = \sqrt{3} - 1$ , uzupełnij zdania, wstawiając w nie prawidłowe odpowiedzi.

RXZUGL6ebIQ0H

Ilustracja przedstawia ostrosłup czworokątny, którego wierzchołki podstawy to A B C D, a wierzchołek górny to S. W podstawie zaznaczono przekątną BD. Krawędzie boczne mają długość k. Kąt BAD ma miarę 30 stopni. Kąt BSD podpisano literą alfa.

RJdSdm830Qpqc

Długość boku rombu wynosi 1. $k \sin α$ , 2. $k \sqrt{2}$ , 3. $k \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$ , 4. $k \sqrt{4 - \sqrt{3}}$ , 5. $\frac{k \sqrt{2}}{2}$ , 6. $k \sqrt{2}$ , 7. $k \cos \frac{α}{2}$ , 8. $k \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}$ .
Długość przekątnej $D B$ wynosi 1. $k \sin α$ , 2. $k \sqrt{2}$ , 3. $k \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$ , 4. $k \sqrt{4 - \sqrt{3}}$ , 5. $\frac{k \sqrt{2}}{2}$ , 6. $k \sqrt{2}$ , 7. $k \cos \frac{α}{2}$ , 8. $k \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}$ .
Dłuższa przekątna rombu ma długość 1. $k \sin α$ , 2. $k \sqrt{2}$ , 3. $k \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$ , 4. $k \sqrt{4 - \sqrt{3}}$ , 5. $\frac{k \sqrt{2}}{2}$ , 6. $k \sqrt{2}$ , 7. $k \cos \frac{α}{2}$ , 8. $k \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}$ .
Wysokość ostrosłupa ma długość 1. $k \sin α$ , 2. $k \sqrt{2}$ , 3. $k \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$ , 4. $k \sqrt{4 - \sqrt{3}}$ , 5. $\frac{k \sqrt{2}}{2}$ , 6. $k \sqrt{2}$ , 7. $k \cos \frac{α}{2}$ , 8. $k \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}$ .

RbybFq4HNp9Hh2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Podstawą ostrosłupa prostego $A B C D S$ jest trapez $A B C D$ . Przekątna $A C$ tego trapezu ma długość $a \sqrt{3}$ , jest prostopadła do ramienia $B C$ i tworzy z dłuższą podstawą tego trapezu kąt o mierze $30 °$ . Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość $\frac{a \sqrt{5}}{2}$ . Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej $S D$ .

Wykonajmy rysunek pomocniczy, na początek samej podstawy:

RuJd1V5mTIu91

Ilustracja przedstawia trapez o wierzchołkach A b C D, w trapezie zaznaczono jego przekątną AC, która ma długość a3. Kąt BAC ma miarę 30 stopni.

Z zależności w trójkącie prostokątnym o kątach $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ mamy, że $|B C| = a$ i $|A B| = 2 a$ .

Ostrosłup jest prosty, zatem spodek jego wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na trapezie, a zatem i na trójkącie $A B C$ , który jest prostokątny. Oznacza to, że środek okręgu pokrywa się ze środkiem przeciwprostokątnej $A B$ .

Zatem promień okręgu ma długość $a$ .

Narysujmy nasz ostrosłup i zaznaczmy odległość spodka wysokości od krawędzi $S D$ .

R19WlDjko95IV

Naszym zadaniem jest obliczenie długości odcinka $O E$ , który jest prostopadły do krawędzi $S D$ , jest więc wysokością trójkąta $D O S$ . Obliczmy długości boków tego trójkąta. $S O$ jest wysokością ostrosłupa i wysokością trójkąta $S A B$ , który jest równoramienny. Wykorzystajmy więc twierdzenie Pitagorasa:

${|S O|}^{2} = {(\frac{a \sqrt{5}}{2})}^{2} - a^{2}$

${|S O|}^{2} = \frac{5}{4} a^{2} - a^{2}$

${|S O|}^{2} = \frac{1}{4} a^{2}$

$|S O| = \frac{1}{2} a$ .

Ponadto $|S D| = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ i $|O D| = a$ .

Zauważmy, że ${(\frac{a \sqrt{5}}{2})}^{2} = a^{2} + {(\frac{1}{2} a)}^{2}$ , więc ten trójkąt jest prostokątny. Aby obliczyć jego wysokość wychodzącą z wierzchołka kąta prostego, wykorzystajmy jego pole dwukrotnie:

$\frac{|S O| \cdot |O D|}{2} = \frac{|S D| \cdot |O E|}{2}$

$\frac{\frac{1}{2} a \cdot a}{2} = \frac{\frac{a \sqrt{5}}{2} \cdot |O E|}{2}$

$a = \sqrt{5} |O E|$

$|O E| = \frac{a \sqrt{5}}{5}$ .

Odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi bocznej $S D$ wynosi $\frac{a \sqrt{5}}{5}$ .

Ćwiczenie 8

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę $α$ . Wykaż, że jeśli $\cos α = \frac{17}{25}$ , to cosinus kąta zawartego między dwoma sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa jest równy $(- \frac{4}{21})$ .

Wykonajmy rysunek pomocniczy. Wprowadźmy dodatkowe oznaczenie. Niech $a$ – długość krawędzi podstawy, $x$ – długość krawędzi bocznych, $β$ – kąt zawarty między dwoma sąsiednimi ścianami bocznymi.

Rdj7yJRfH3d4O

Ilustracja przedstawia ostrosłup czworokątny, którego wierzchołki podstawy to A B C D, a wierzchołek górny to S. Z wierzchołka B poprowadzono odcinek pod kątem prostym do krawędzi bocznej CS, punkt przecięcia się tego odcinka z krawędzią CS podpisano literą E. Z punktu D również poprowadzono odcinek prostopadle do krawędzi CS, odcinek ten kończy się również w punkcie E. Kąt BED podpisano literą beta. Przekątna podstawy DB ma długość a2. Krawędzi podstawy mają długość a, krawędzie boczne mają długość x. Kąt CSB podpisano literą alfa.

Z treści zadania wiemy, że $\cos α = \frac{17}{25}$ , więc z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $B C S$ mamy:

$a^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 x^{2} \cdot \frac{17}{25}$

$a^{2} = 2 x^{2} - \frac{34}{25} x^{2}$

$a^{2} = \frac{16}{25} x^{2}$

$a = \frac{4}{5} x$ .

Ramiona trójkąta $B E D$ są wysokościami ścian bocznych ostrosłupa. Aby obliczyć ich długość, obliczmy najpierw wysokość poprowadzoną z wierzchołka kąta $S$ . Wykonajmy rysunek pomocniczy:

RGxyWispvU5Ij

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny B C S. Krawędzie BS i CS mają długość x, krawędź BC ma długość a. Z wierzchołka B poprowadzono odcinek prostopadły do krawędzi CS, odcinek ten kończy się w punkcie E. Z wierzchołka S poprowadzono odcinek prostopadły do krawędzi BC, odcinek ten kończy się w punkcie F.

${|S F|}^{2} = x^{2} - {(\frac{1}{2} a)}^{2}$

${|S F|}^{2} = x^{2} - {(\frac{2}{5} x)}^{2}$

${|S F|}^{2} = x^{2} - \frac{4}{25} x^{2}$

${|S F|}^{2} = \frac{21}{25} x^{2}$

$|S F| = \frac{x \sqrt{21}}{5}$

Obliczmy teraz wysokość $B E$ :

$\frac{\frac{4}{5} x \cdot \frac{x \sqrt{21}}{5}}{2} = \frac{x \cdot |B E|}{2}$

$|B E| = \frac{4 \sqrt{21}}{25} x$ .

Aby obliczyć cosinus kąta zawartego między dwoma sąsiednimi ścianami ostrosłupa, wykorzystajmy twierdzenie cosinusów dla trójkąta $D E B$ :

${(\frac{4}{5} x \sqrt{2})}^{2} = {(\frac{4 \sqrt{21}}{25} x)}^{2} + {(\frac{4 \sqrt{21}}{25} x)}^{2} - 2 {(\frac{4 \sqrt{21}}{25} x)}^{2} \cdot \cos β$

$\frac{32}{25} x^{2} = \frac{336}{625} x^{2} + \frac{336}{625} x^{2} - \frac{672}{625} x^{2} \cdot \cos β ∣ \cdot 625$

$800 x^{2} = 336 x^{2} + 336 x^{2} - 672 x^{2} \cos β ∣ : x^{2}$

$128 = - 672 \cos β$

$\cos β = - \frac{128}{672} = - \frac{4}{21}$ ,

co należało udowodnić.

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela