Ilustracja pierwsza. Przypomnijmy wzory, które wykorzystujemy do znajdowania wartości funkcji trygonometrycznych kąta. Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X i z pionową osią Y. Osie nie mają podziałek. Na płaszczyźnie narysowano kąt ostry $\alpha$, którego wierzchołek znajduje się w początku układu współrzędnych, jedno ramię pokrywa się z dodatnią półosią OX, a drugie, ukośne ramię, znajduje się w pierwszej ćwiartce układu. Na płaszczyźnie narysowano także okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r. Okrąg ten przecina się z ramionami kąta $\alpha$. W miejscu przecięcia okręgu z ukośnym ramieniem zaznaczono punkt $P=\left(x;y\right)$. Linią przerywaną poprowadzono rzuty współrzędnych punktu na osie: współrzędna y znajduje się na dodatniej półosi OY, a współrzędna x na dodaniej półosi OX. Odległość od początku układu współrzędnych do punktu P jest promieniem okręgu i na rysunku opisano ten odcinek literą r. Opis zagadnienia: W układzie współrzędnych, jeżeli na ramieniu końcowym kąta $\alpha$ leży punkt $P=\left(x;y\right)$, to: $\sin \alpha =\frac{y}{r}, \cos \alpha =\frac{x}{r}, \mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x}$, gdzie $r^2=x^2+y^2$. Tożsamości trygonometryczne, za pomocą których obliczamy wartości funkcji trygonometrycznych kąta $\alpha$ to: a) Wzór na jedynkę trygonometryczną: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$; b) wzór na tangens dowolnego kąta to: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$.

Ilustracja druga. Wyznaczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta $\alpha$, jeżeli $\cos \alpha =-\frac{3}{8}$ oraz $\alpha \in \left(90°,180°\right)$. W tym celu użyjemy wzory dla kąta $\alpha$ umieszczonego w prostokątnym układzie współrzędnych. Rozwiązanie problemu. Mamy: $x=-3, r=8$. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że: ${\left(-3\right)}^2+y^2=8^2$. Po uproszczeniu nasza równość jest następującej postaci: $9+y^2=64$. Z równości wiadomo, że $y^2=55$, zatem $y=-\sqrt{55}$ lub $y=55$. Ponieważ znamy zares wartości kąta $\alpha \in \left(90°,180°\right)$, zatem $y=\sqrt{55}$. Wobec tego mamy: $\sin \alpha =\frac{\sqrt{55}}{8}$ oraz $\mathrm{tg}\alpha =-\frac{\sqrt{55}}{3}$.

Ilustracja trzecia. Wyznaczymy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta $\alpha$, jeżeli $\cos \alpha =-\frac{1}{5}$ oraz $\alpha \in \left(90°,180°\right)$. Rozwiązanie problemu: Po podstawieniu do wzoru na jedynkę trygonometryczną, rozwiązujemy równanie. $\sin 2\alpha +{\left(-\frac{1}{5}\right)}^2=1$, zatem po uproszczeniu otrzymujemy ${\sin }^2\alpha =\frac{24}{25}$, czyli ${\sin }^2\alpha =-\frac{2\sqrt{6}}{5}$ lub ${\sin }^2\alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}$. Ponieważ $\alpha \in \left(90°,180°\right)$, zatem ${\sin }^2\alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}$. Wobec tego: $\mathrm{tg}\alpha =-2\sqrt{6}$.

Ilustracja czwarta. Wyznaczymy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta $\alpha$, jeżeli $\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{3}$ oraz $\alpha \in \left(180°,270°\right)$. Rozwiązanie problemu. Ze wzoru na tangens dowolnego kąta mamy: $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1}{3}$, zatem po przekształceniu otrzymujemy, że $\cos \alpha =3\sin \alpha$. Po podstawieniu do wzoru na jedynkę trygonometryczną, rozwiązujemy równanie: ${\sin }^2\alpha +\left(3{\sin }^2\alpha \right)=1$, zatem $10{\sin }^2\alpha =1$, czyli sinus wynosi $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{10}$ lub $\sin \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$. Ponieważ $\alpha \in \left(180°,270°\right)$, to $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{10}$. Wobec tego $\cos \alpha =3\sin \alpha =3·\left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right)=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Ilustracja piąta. Wyznaczymy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta $\alpha$, jeżeli tangens kąta jest trzy razy większy od sinusa tego kąta oraz $\alpha \in \left(270°,360°\right)$. Rozwiązanie problemu. Układamy równanie. $\mathrm{tg}\alpha =3\sin \alpha$, zatem $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=3\sin \alpha$, zatem po odpowiednim przekształceniu mamy, że $\cos \alpha =\frac{1}{3}$. Ze wzoru na jedynkę trygonometryczną mamy, że ${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=1$, zatem ${\sin }^2\alpha =\frac{8}{9}$. Zatem sinus wynosi: $\sin \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ lub $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Ponieważ $\alpha \in \left(270°,360°\right)$, zatem $\sin \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Wobec tego $\mathrm{tg}\alpha =-2\sqrt{2}$.