W materiale omówimy sposoby wyznaczania wartości funkcji trygonometrycznych kąta, gdy dana jest wartość jednej funkcji trygonometrycznej.
Ważne!
Jeżeli:
, to , oraz ,
, to , oraz ,
, to , oraz ,
, to , oraz .
Sposoby wyznaczania wartości funkcji trygonometrycznych
1. Z wykorzystaniem trójkąta prostokątnego
R1SRWQ11G1ZrS
, , ,
, , .
2. Z użyciem kąta skierowanego w prostokątnym układzie współrzędnych
RIJb6De4EtJ8R
, , oraz .
3. Za pomocą podstawowych tożsamości trygonometrycznych
jedynka trygonometryczna: ,
wzór na tangens dowolnego kąta: , gdzie dla .
Przykład 1
Wyznaczymy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostregofunkcje trygonometryczne kąta ostregofunkcji trygonometrycznych kąta ostrego , jeżeli .
Rozwiązanie
Narysujmy trójkąt prostokątny i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.
R1OhlrlTBnrTJ
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, zapisujemy równanie:
.
Zatem , więc .
Z definicji funkcji trygonometrycznych mamy, że:
,
.
Przykład 2
Wyznaczymy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta , jeżeli oraz .
Rozwiązanie
Przedstawmy dane z zadania na rysunku w prostokątnym układzie współrzędnych.
RezZMCKXcgUH7
Zatem oraz .
Obliczamy .
Korzystając ze wzorów na oraz , otrzymujemy, że:
oraz .
Przykład 3
Wyznaczymy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta , jeżeli wiadomo, że oraz .
Rozwiązanie
Po podstawieniu do wzoru na jedynkę trygonometryczną otrzymujemy, że .
Rozwiązując równanie otrzymujemy, że , zatem lub .
Ponieważ , więc .
Wobec tego .
Przykład 4
Wyznaczymy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta , jeżeli oraz .
Jeżeli dana jest wartość jednej funkcji trygonometrycznej kąta, to pozostałe przybliżone wartości możemy odczytać z tablic wartości funkcji trygonometrycznych.
Przykład 5
Wiadomo, że . Wyznaczymy wartość oraz .
Rozwiązanie
Z tablic wartości funkcji trygonometrycznych odczytujemy, że .
Następnie, korzystając z tablic wartości funkcji trygonometrycznych, odczytujemy, że:
oraz .
Przykład 6
Wyznaczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta , jeżeli tangens tego kąta jest razy większy od cosinusa kąta oraz .
Rozwiązanie
Z danych w zadaniu wynika, że , zatem .
Z tej równości otrzymujemy, że .
Po podstawieniu tego wzoru do wzoru na jedynkę trygonometryczną otrzymujemy równanie:
.
Jeżeli zrobimy podstawienie , to równanie jest postaci:
.
Obliczamy .
Zatem oraz .
Ponieważ oraz , zatem .
Wobec tego:
, czyli ,
.
Słownik
funkcje trygonometryczne kąta ostrego
funkcje trygonometryczne kąta ostrego
funkcje matematyczne wyrażające stosunek między długościami boków trójkąta prostokątnego względem miar jego kątów wewnętrznych
tożsamości trygonometryczne
tożsamości trygonometryczne
podstawowa zależność pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi