Ilustracja pierwsza. Jednym ze sposobów ułatwiających przekształcanie niektórych wyrażeń algebraicznych jest wykorzystanie wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń. Oto wzór: Otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej równa się A do potęgi drugiej plus dwa A B plus B do potęgi drugiej.

Ilustracja druga. Dowód. Aby udowodnić ten wzór, możemy zapisać lewą stronę równości w postaci iloczynu, wykonać odpowiednie mnożenie i zredukować wyrazy podobne. Otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej równa się otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu równa się A do potęgi drugiej plus A B plus A B plus B do potęgi drugiej równa się A do potęgi drugiej plus dwa A B plus B do potęgi drugiej.

Ilustracja trzecia. Ilustracja przedstawia interpretację geometryczną wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń. Na rysunku znajduje się kwadrat, którego boki składają się z dwóch odcinków każdy. Te odcinki to a i b, zatem kwadrat ma boki o długości a dodać b. Od górnego lewego wierzchołka figury biegnie w poziomie w prawo najpierw odcinek a, następnie b. Od tego samego wierzchołka pionowo w dół biegnie w tej samej kolejności najpierw odcinek a, następnie b. Według tych odcinków podzielono kwadrat na cztery pola i na każdym z pól zapisano jego powierzchnię. W lewej górnej części jest mały kwadrat o polu a kwadrat, w lewej dolnej części jest prostokąt a b, w górnej prawej części znajduje się identyczny prostokąt o polu a b, a w dolnej prawej części mamy drugi kwadrat o polu b kwadrat. Koniec opisu ilustracji. Obliczając dwoma sposobami pole kwadratu o boku długości A plus B, uzyskujemy żądany wzór, czyli Otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej równa się A do potęgi drugiej plus dwa A B plus B do potęgi drugiej.

Ilustracja czwarta. W podobny sposób obliczamy pole kwadratu o boku długości dwa x, plus, pięć. Na rysunku znajduje się kwadrat, którego boki składają się z dwóch odcinków każdy. Te odcinki to 2 x i 5, zatem kwadrat ma boki o długości 2 x dodać 5. Od górnego lewego wierzchołka figury biegnie w poziomie w prawo najpierw odcinek 2 x, następnie 5. Od tego samego wierzchołka pionowo w dół biegnie w tej samej kolejności najpierw odcinek 2 x, następnie 5. Według tych odcinków podzielono kwadrat na cztery pola i na każdym z pól zapisano jego powierzchnię. W lewej górnej części jest mały kwadrat o polu 4 x kwadrat, w lewej dolnej części jest prostokąt o polu 10 x, w górnej prawej części znajduje się identyczny prostokąt o polu a10 x, a w dolnej prawej części mamy drugi kwadrat o polu 25. Koniec opisu ilustracji. Poniżej zapisano następujący wzór: otwarcie nawiasu 2 x dodać 5 zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej równa się 4 x kwadrat dodać 20 x dodać 25

Ilustracja piąta. Przykłady zastosowania wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Rozważymy teraz kilka przykładów zastosowania wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Przykład pierwszy. nawias, trzy x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dziewięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć x, plus, jeden Zwróć uwagę, że pierwszy wyraz sumy, którą potęgujemy, to trzy x, zatem podnosimy do kwadratu trzy oraz x, otrzymując dziewięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Przykład drugi: nawias, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, sześć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka x, plus, dziewięć Pamiętaj, że pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka do kwadratu to dwa. Przykład trzeci: nawias, dwa pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, plus, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, równa się, dwanaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery pierwiastek kwadratowy z piętnaście koniec pierwiastka x, plus, pięć W tym przypadku wykorzystujemy prawa działań na pierwiastkach – mnożenie pierwiastków tego samego stopnia i podnoszenie pierwiastków do potęgi.

Ilustracja szósta. Dalsze przykłady zastosowania wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Zapisywanie iloczynu w postaci sumy: Iloczyn dwóch jednakowych wyrażeń to kwadrat tych wyrażeń, zatem można skorzystać ze wzoru na kwadrat sumy. Przykład czwarty: nawias, x, plus, siedem, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, siedem, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, czternaście x, plus, czterdzieści dziewięć. Przykład piąty: nawias, cztery x, plus, pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, nawias, cztery x, plus, pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, równa się, szesnaście x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka x, plus, dziesięć. Przykład szósty: nawias, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, nawias, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, równa się, sześć, plus, dwa pierwiastek kwadratowy z osiemnaście koniec pierwiastka, plus, trzy, równa się, dziewięć, plus, sześć pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka

Ilustracja interaktywna 1. Bardzo ważna jest umiejętność zapisywania sum algebraicznych w postaci iloczynów. Z tej umiejętności będziemy często korzystać, rozwiązując równania. Zapisywanie sumy w postaci iloczynu: 1. X do potęgi drugiej plus dwanaście X plus trzydzieści sześć równa się otwarcie nawiasu X plus sześć zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu X plus sześć zamknięcie nawiasu. 2. X do potęgi drugiej plus dwa pierwiastek z dwóch X plus dwa równa się otwarcie nawiasu X plus pierwiastek z dwóch zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu X plus pierwiastek z dwóch zamknięcie nawiasu. 3. Dziesięć X do potęgi drugiej plus dwanaście pierwiastek z pięciu X plus osiemnaście równa się otwarcie nawiasu pierwiastek z dziesięciu X plus trzy pierwiastek z dwóch zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu pierwiastek z dziesięciu X plus trzy pierwiastek z dwóch zamknięcie nawiasu.