Przeczytaj

Obliczymy dwoma sposobami pole kwadratu przedstawionego na rysunku.

RcFpCkEM9OYq0

Na ilustracji znajduje się kwadrat o bokach podzielonych na odcinki a i b. Kwadrat jest podzielony wewnątrz na dwa kwadraty: jeden o boku a, drugi o boku b oraz na dwa prostokąty o bokach o długości a i b oba. — Interpretacja geometryczna wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Bok kwadratu ma długość $a + b$ , zatem $P = {(a + b)}^{2}$ .

RCpXOItJI3SCE

Pole tego kwadratu można też obliczyć jako sumę pól kwadratu o boku długości $a$ , kwadratu o boku długości $b$ , dwóch prostokątów o bokach długości $a$ i $b$ .
$P = a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Porównując otrzymane wyrażenia, otrzymujemy:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Otrzymana równość zwana jest wzorem skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń.

Ważne!

Wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń plus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie.

Powyższy wzór można też uzyskać, zapisując kwadrat sumy w postaci iloczynu i wykonując mnożenie.

{(a + b)}^{2} = (a + b) (a + b) = a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy, można podnosić do kwadratu dwumiany, nie wykonując mnożenia.

Przykład 1

Zapiszemy każde z wyrażeń w postaci sumy.

$(x + 1)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = x^{2} + 2 x + 1$

$(a + \sqrt{2})^{2} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^{2} = a^{2} + 2 \sqrt{2} a + 2$

${(x^{2} + 3)}^{2} = x^{4} + 2 \cdot x^{2} \cdot 3 + 3^{2} = x^{4} + 6 x^{2} + 9$

$(2 x + 5 a)^{2} = (2 x)^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot 5 a + (5 a)^{2} = 4 x^{2} + 20 a x + 25 a^{2}$

Przykład 2

Przekształcimy potęgi na sumy algebraiczne, wykorzystując wzór na kwadrat sumy.

$(x y + 2 \sqrt{5})^{2} = (x y)^{2} + 2 \cdot x y \cdot 2 \sqrt{5} + (2 \sqrt{5})^{2} = x^{2} y^{2} + 4 \sqrt{5} x y + 20$

${(a^{4} x^{3} + 0, 1)}^{2} = a^{8} x^{6} + 2 \cdot a^{4} x^{3} \cdot 0, 1 + {(0, 1)}^{2} = a^{8} x^{6} + 0, 2 a^{4} x^{3} + 0, 01$

Jeżeli oba składniki sumy, którą należy podnieść do kwadratu, poprzedzone są znakiem „-”, można wyłączyć (-1) przed nawias i zastosować poznany wzór skróconego mnożenia.

Na przykład:

${(- 7 x - y)}^{2} = {[(- 1) (7 x + y)]}^{2} = {(- 1)}^{2} (49 x^{2} + 14 x y + y^{2}) = 49 x^{2} + 14 x y + y^{2}$

Wykorzystanie wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń znacznie ułatwia przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Przykład 3

Zapiszemy podane wyrażenie w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla $x = - \sqrt{2}$ .

$2 {(x + 1)}^{2} + [(- x - 1) (x + 1) - 2 x] =$

$= 2 (x^{2} + 2 x + 1) + [- (x + 1) (x + 1) - 2 x] =$

$= 2 x^{2} + 4 x + 2 + (- x^{2} - 2 x - 1 - 2 x) = x^{2} + 1$

${(- \sqrt{2})}^{2} + 1 = 2 + 1 = 3$

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia jest równa 3.

Ważnym zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy jest zapisywanie sum algebraicznych w postaci iloczynu.

R1Y996T4fKSt1

Kwadrat do potęgi drugiej plus dwa kwadrat koło plus koło do potęgi drugiej równa się otwarcie nawiasu kwadrat plus koło zamknięcie nawiasu otwarcie nawiasu kwadrat plus koło zamknięcie nawiasu. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Przykład 4

Zapiszemy sumy algebraiczne w postaci iloczynów.

$25 a^{2} + 10 a + 1 = (5 a + 1) (5 a + 1)$

$9 x^{2} + 48 x y + 64 y^{2} = (3 x + 8 y) (3 x + 8 y)$

$3 a^{2} + 18 a c + 27 c^{2} = (\sqrt{3} a + \sqrt{27} c) (\sqrt{3} a + \sqrt{27} c)$

$k^{2} + \sqrt{3} k m + 0,75 m^{2} = (k + 0,5 \sqrt{3} m) (k + 0,5 \sqrt{3} m)$

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumyWzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy można zastosować obliczając wartości wyrażeń zawierających pierwiastki.

Przykład 5

$(3 + \sqrt{3})^{2} - 6 \sqrt{3} = 9 + 6 \sqrt{3} + 3 - 6 \sqrt{3} = 12$

${(\sqrt{2} + 2 \sqrt{10})}^{2} - (42 + 8 \sqrt{5}) = {(\sqrt{2} + 2 \sqrt{10})}^{2} - {(\sqrt{2} + 2 \sqrt{10})}^{2} = 0$

Słownik

wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy

kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń plus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik