Obliczymy dwoma sposobami pole kwadratu przedstawionego na rysunku.

RcFpCkEM9OYq0
Interpretacja geometryczna wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Bok kwadratu ma długość a+b, zatem P=(a+b)2.

RCpXOItJI3SCE
Interpretacja geometryczna wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Pole tego kwadratu można też obliczyć jako sumę pól kwadratu o boku długości a, kwadratu o boku długości b, dwóch prostokątów o bokach długości ab.
P=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

Porównując otrzymane wyrażenia, otrzymujemy:

(a+b)2=a2+2ab+b2

Otrzymana równość zwana jest wzorem skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń.

Ważne!

Wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń:

(a+b)2=a2+2ab+b2

Kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń plus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie.

Powyższy wzór można też uzyskać, zapisując kwadrat sumy w postaci iloczynu i wykonując mnożenie.

(a+b)2=a+ba+b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2

Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy, można podnosić do kwadratu dwumiany, nie wykonując mnożenia.

Przykład 1

Zapiszemy każde z wyrażeń w postaci sumy.

(x+1)2=x2+2·x·1+12=x2+2x+1

(a+2)2=a2+2·a·2+(2)2=a2+22a+2

x2+32=x4+2·x2·3+32=x4+6x2+9

(2x+5a)2=(2x)2+2·2x·5a+(5a)2=4x2+20ax+25a2

Przykład 2

Przekształcimy potęgi na sumy algebraiczne, wykorzystując wzór na kwadrat sumy.

(xy+25)2=(xy)2+2·xy·25+(25)2=x2y2+45xy+20

(a4x3+0,1)2=a8x6+2a4x30,1+(0,1)2=a8x6+0,2a4x3+0,01

Jeżeli oba składniki sumy, którą należy podnieść do kwadratu, poprzedzone są znakiem „-”, można wyłączyć (-1) przed nawias i zastosować poznany wzór skróconego mnożenia.

Na przykład:

(7xy)2=[(1)(7x+y)]2=(1)2(49x2+14xy+y2)=49x2+14xy+y2

Wykorzystanie wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń znacznie ułatwia przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Przykład 3

Zapiszemy podane wyrażenie w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla x=-2.

2x+12+-x-1x+1-2x=

=2x2+2x+1+[-x+1x+1-2x]=

=2x2+4x+2+-x2-2x-1-2x=x2+1

(-2)2+1=2+1=3

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia jest równa 3.

Ważnym zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy jest zapisywanie sum algebraicznych w postaci iloczynu.

R1Y996T4fKSt1
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.
Przykład 4

Zapiszemy sumy algebraiczne w postaci iloczynów.

25a2+10a+1=(5a+1)(5a+1)

9x2+48xy+64y2=(3x+8y)(3x+8y)

3a2+18ac+27c2=3a+27c3a+27c

k2+3km+0,75m2=(k+0,53m)(k+0,53m)

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumywzór skróconego mnożenia na kwadrat sumyWzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy można zastosować obliczając wartości wyrażeń zawierających pierwiastki.

Przykład 5

(3+3)2-63=9+63+3-63=12

(2+210)2(42+85)=(2+210)2(2+210)2=0

Słownik

wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy
wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy

kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń plus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie