Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń Chcąc zamienić kwadraty niektórych wyrażeń algebraicznych na sumy, można skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń. Oto wzór: Otwarcie nawiasu a odjąć b zamkniecie nawiasu do potęgi drugiej równa się a do potęgi drugiej odjąć dwa razy a razy b dodać b do potęgi drugiej.

Dowód Aby udowodnić ten wzór, możemy zapisać lewą stronę równości w postaci iloczynu, wykonać odpowiednie mnożenie i zredukować wyrazy podobne. Otwarcie nawiasu a odjąć b zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej równa się otwarcie nawiasu a odjąć b zamknięcie nawiasu razy otwarcie nawiasu a odjąć b zamknięcie nawiasu równa się a do potęgi drugiej odjąć a razy b odjąć a razy b dodać b do potęgi drugiej.

Interpretacja geometryczna wzoru skróconego mnożenia. 1. Interpretacja geometrycznej wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń. Ilustracja przedstawia kwadrat o boku a. Kwadrat za pomocą pionowej i poziomej linii został podzielony na cztery mniejsze części. Po podziale na mniejsze części, każdy bok kwadratu składa się z dwóch odcinków: odcinka b oraz odcinka a odjąć b. Zatem teraz kwadrat składa się z dwukropek kwadratu o boku otwarcie nawiasu a odjąć b zamkniecie nawiasu którego pole to otwarcie nawiasu a odjąć b zamkniecie nawiasu do potęgi drugiej, kwadratu o boku b którego pole to b do potęgi drugiej, oraz dwóch prostokątów o boku i otwarcie nawiasu a minus b zamkniecie nawiasu z których pole każdego wynosi b razy otwarcie nawiasu a odjąć b zamknięcie nawiasu. 2. Obliczając dwoma sposobami pole kwadratu o boku długości a, uzyskujemy żądany wzór. Otwarcie nawiasu a odjąć b zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej równa się a do potęgi drugiej odjąć dwa razy a razy b dodać b do potęgi drugiej.

W podobny sposób obliczamy pole kwadratu o boku długości dwa x, minus, pięć. Ilustracja przedstawia kwadrat o boku dwa razy x. Kwadrat za pomocą pionowej i poziomej linii został podzielony na cztery mniejsze części. Po podziale na mniejsze części, każdy bok kwadratu składa się z dwóch odcinków: odcinka o długości 5 oraz odcinka o długości dwa razy x odjąć pięć. Zatem teraz kwadrat składa się z dwukropek kwadratu o boku 5 którego pole to pięć do potęgi drugiej równe dwadzieścia pięć, kwadratu o boku dwa razy x odjąć 5 którego pole to otwarcie nawiasu dwa razy x odjąć pięć zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej, oraz dwóch prostokątów o boku 5 i otwarcie nawiasu dwa razy x minus 5 zamkniecie nawiasu z których pole każdego wynosi 5 razy otwarcie nawiasu dwa razy x odjąć 5 zamknięcie nawiasu. Pod ilustracją znajduje się równanie. Otwarcie nawiasu dwa razy x odjąć 5 zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej równa się cztery razy x do potęgi drugiej odjąć dwadzieścia razy x dodać dwadzieścia pięć.

Rozważymy teraz kilka przykładów zastosowania wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. Przykłady zastosowania wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy Zapisywanie kwadratu różnicy w postaci sumy. Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń można zapisać w postaci sumy. Zwróć uwagę, że pierwszy wyraz różnicy, którą potęgujemy, to trzy x, zatem podnosimy do kwadratu trzy oraz x, otrzymując dziewięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego. Otwarcie nawiasu trzy razy x odjąć jeden zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej równa się dziewięć razy x do potęgi drugiej odjąć sześć razy x dodać jeden. Pamiętaj, że pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka do kwadratu to trzy. Otwarcie nawiasu pierwiastek stopnia drugiego z trzech razy x odjąć trzy zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej równa się trzy razy x do potęgi drugiej odjąć sześć razy pierwiastek stopnia drugiego z trzech razy x dodać dziewięć. W tym przypadku wykorzystujemy prawa działań na pierwiastkach – mnożenie pierwiastków tego samego stopnia i podnoszenie pierwiastków do potęgi. Otwarcie nawiasu dwa razy pierwiastek stopnia drugiego z trzech razy x odjąć pierwiastek stopnia drugiego z siedmiu zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej równa się dwanaście razy x do potęgi drugiej odjąć cztery razy pierwiastek stopnia drugiego z dwudziestu jeden razy x dodać siedem.

Przykłady zastosowania wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy Iloczyn dwóch jednakowych wyrażeń to kwadrat tych wyrażeń, zatem można skorzystać ze wzoru na kwadrat różnicy. Zapisywanie kwadratu różnicy w postaci sumy: Otwarcie nawiasu x odjąć sześć zamknięcie nawiasu razy otwarcie nawiasu x odjąć sześć zamknięcie nawiasu równa się x do potęgi drugiej odjąć dwanaście razy x dodać trzydzieści sześć. Otwarcie nawiasu cztery razy x odjąć pierwiastek stopnia drugiego z jedenastu zamknięcie nawiasu razy otwarcie nawiasu cztery razy x odjąć pierwiastek stopnia drugiego z jedenastu zamknięcie nawiasu równa się szesnaście razy x do potęgi drugiej odjąć osiem razy pierwiastek stopnia drugiego z jedenastu razy x dodać jedenaście. Otwarcie nawiasu pierwiastek stopnia drugiego z sześciu odjąć pierwiastek stopnia drugiego z trzech zamknięcie nawiasu razy otwarcie nawiasu pierwiastek stopnia drugiego z sześciu odjąć pierwiastek stopnia drugiego z trzech zamknięcie nawiasu równa się sześć odjąć dwa razy pierwiastek stopnia drugiego z osiemnastu dodać trzy równa się dziewięć odjąć sześć razy pierwiastek stopnia drugiego z dwóch.

Przykłady zastosowania wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy Bardzo ważna jest umiejętność zapisywania sum algebraicznych w postaci iloczynów. Z tej umiejętności będziemy często korzystać na przykład rozwiązując równania. Zapisywanie sumy w postaci iloczynu: X do potęgi drugiej odjąć dwanaście razy x dodać trzydzieści sześć równa się otwarcie nawiasu x odjąć sześć zamknięcie nawiasu razy otwarcie nawiasu x odjąć sześć zamknięcie nawiasu. X do potęgi drugiej odjąć dwa razy pierwiastek stopnia drugiego z dwóch razy x dodać dwa równa się otwarcie nawiasu x odjąć pierwiastek stopnia drugiego z dwóch zamknięcie nawiasu razy otwarcie nawiasu x odjąć pierwiastek stopnia drugiego z dwóch zamknięcie nawiasu. Dziesięć razy x do potęgi drugiej odjąć dwanaście razy pierwiastek stopnia drugiego z pięciu razy x dodać osiemnaście równa się otwarcie nawiasu pierwiastek stopnia drugiego z dziesięciu razy x odjąć trzy razy pierwiastek stopnia drugiego z dwóch zamknięcie nawiasu razy otwarcie nawiasu pierwiastek stopnia drugiego z dziesięciu razy x odjąć trzy razy pierwiastek stopnia drugiego z dwóch zamknięcie nawiasu.