Obliczymy dwoma sposobami pole kwadratu przedstawionego na rysunku.

R4mPF6WY1mFSJ

Ilustracja przedstawia kwadrat o boku $a$. Kwadrat podzielony jest wewnętrznie na cztery figury za pomocą dwóch prostopadłych względem siebie odcinków. W lewym górnym rogu mamy mały kwadrat o boku o długości $a-b$. W prawym górnym rogu mamy prostokąt o bokach o długości $a-b$ oraz $b$. W prawym dolnym rogu mamy większy kwadrat o boku o długości $b$. W lewym dolnym rogu mamy prostokąt taki sam, jak wcześniej opisany, o bokach o długości $a-b$ oraz $b$, przy czym pierwszy opisany prostokąt jest ustawiony poziomo, czyli dłuższy bok jest odcinkiem poziomym, a drugi prostokąt jest ustawiony pionowo, czyli krótszy bok jest odcinkiem poziomym.

Bok kwadratu ma długość $a$, zatem $P=a^2$.

Rv9OkpbUMp0jN

Ilustracja przedstawia kwadrat o boku $a$. Kwadrat podzielony jest wewnętrznie na cztery figury za pomocą dwóch prostopadłych względem siebie odcinków. W lewym górnym rogu mamy mały kwadrat o boku o długości $a-b$. Kwadrat jest opisany pośrodku działaniem: ${\left(a-b\right)}^2$. W prawym górnym rogu mamy prostokąt o bokach o długości $a-b$ oraz $b$. Prostokąt jest opisany pośrodku działaniem: $b\left(a-b\right)$. W prawym dolnym rogu mamy większy kwadrat o boku o długości $b$. Kwadrat jest opisany pośrodku działaniem: $b^2$. W lewym dolnym rogu mamy prostokąt taki sam, jak wcześniej opisany, o bokach o długości $a-b$ oraz $b$. Jest on opisany takim samym działaniem, jak pierwszy prostokąt, czyli: $b\left(a-b\right)$.

Pole tego kwadratu można też obliczyć jako sumę pól kwadratu o boku długości $a-b$, kwadratu o boku długości $b$, dwóch prostokątów o bokach długości $a-b$ i $b$.

Porównując otrzymane wyrażenia, otrzymujemy:

Otrzymana równość zwana jest wzorem skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

Powyższy wzór można też uzyskać, zapisując kwadrat różnicy w postaci iloczynu i wykonując mnożenie.

Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy, można podnosić do kwadratu dwumiany, nie wykonując mnożenia.

Wykorzystanie wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń znacznie ułatwia przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Ważnym zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy jest zapisywanie sum algebraicznych w postaci iloczynu.

RZyauW9VvjoQC

Ilustracja przedstawia działanie, w którym liczby zastąpiono figurami geometrycznymi: kołem i kwadratem. Działanie ma postać: kwadrat do potęgi drugiej odjąć dwa razy kwadrat razy koło dodać koło do kwadratu równa się nawias okrągły kwadrat odjąć koło. Po nawiasie razy następny nawias okrągły, a w nim różnica kwadratu i koła.

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicywzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicyWzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy można zastosować, obliczając wartości wyrażeń zawierających pierwiastki.

Słownik