Przeczytaj

Obliczymy dwoma sposobami pole kwadratu przedstawionego na rysunku.

R4mPF6WY1mFSJ

Ilustracja przedstawia kwadrat o boku a. Kwadrat podzielony jest wewnętrznie na cztery figury za pomocą dwóch prostopadłych względem siebie odcinków. W lewym górnym rogu mamy mały kwadrat o boku o długości a-b. W prawym górnym rogu mamy prostokąt o bokach o długości a-b oraz b. W prawym dolnym rogu mamy większy kwadrat o boku o długości b. W lewym dolnym rogu mamy prostokąt taki sam, jak wcześniej opisany, o bokach o długości a-b oraz b, przy czym pierwszy opisany prostokąt jest ustawiony poziomo, czyli dłuższy bok jest odcinkiem poziomym, a drugi prostokąt jest ustawiony pionowo, czyli krótszy bok jest odcinkiem poziomym. — Interpretacja geometryczna wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy
Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Bok kwadratu ma długość $a$ , zatem $P = a^{2}$ .

Rv9OkpbUMp0jN

Pole tego kwadratu można też obliczyć jako sumę pól kwadratu o boku długości $a - b$ , kwadratu o boku długości $b$ , dwóch prostokątów o bokach długości $a - b$ i $b$ .

P = (a - b)^{2} + b (a - b) + b (a - b) + b^{2} = (a - b)^{2} + a b - b^{2} + a b - b^{2} + b^{2}

Porównując otrzymane wyrażenia, otrzymujemy:

a^{2} = (a - b)^{2} + 2 a b - b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Otrzymana równość zwana jest wzorem skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

Ważne!

Wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń minus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie.

Powyższy wzór można też uzyskać, zapisując kwadrat różnicy w postaci iloczynu i wykonując mnożenie.

(a - b)^{2} = (a - b) (a - b) = a^{2} - a b - a b + b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy, można podnosić do kwadratu dwumiany, nie wykonując mnożenia.

Przykład 1

Zapiszemy każde z wyrażeń w postaci sumy.

$(x - 1)^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = x^{2} - 2 x + 1$

$(a - \sqrt{3})^{2} = a^{2} - 2 \cdot a \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^{2} = a^{2} - 2 \sqrt{3} a + 3$

${(x^{2} - 4)}^{2} = x^{4} - 2 \cdot x^{2} \cdot 4 + 4^{2} = x^{4} - 8 x^{2} + 16$

$(2 x - 3 a)^{2} = (2 x)^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot 3 a + (3 a)^{2} = 4 x^{2} - 12 a x + 9 a^{2}$

Przykład 2

Przekształcimy potęgi na sumy algebraiczne, wykorzystując wzór na kwadrat różnicy.

$(x y - 2 \sqrt{3})^{2} = (x y)^{2} - 2 \cdot x y \cdot 2 \sqrt{3} + (2 \sqrt{3})^{2} = x^{2} y^{2} - 4 \sqrt{3} x y + 12$

${(a^{4} x^{3} - 0, 1)}^{2} = a^{8} x^{6} - 2 \cdot a^{4} x^{3} \cdot 0, 1 + (0, 1)^{2} = a^{8} x^{6} - 0, 2 a^{4} x^{3} + 0, 01$

Wykorzystanie wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń znacznie ułatwia przekształcanie wyrażeń algebraicznych.

Przykład 3

Zapiszemy podane wyrażenie w najprostszej postaci, a następnie obliczymy jego wartość dla $x = - \sqrt{3}$ .

$2 (x - 1)^{2} - [(- x + 1) (1 - x) - 2 x] =$

$= 2 (x^{2} - 2 x + 1) - [(1 - x) (1 - x) - 2 x] =$

$= 2 x^{2} - 4 x + 2 - (1 - 2 x + x^{2} - 2 x) = x^{2} + 1$

$(- \sqrt{3})^{2} + 1 = 3 + 1 = 4$

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia jest równa 4.

Ważnym zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy jest zapisywanie sum algebraicznych w postaci iloczynu.

RZyauW9VvjoQC

Ilustracja przedstawia działanie, w którym liczby zastąpiono figurami geometrycznymi: kołem i kwadratem. Działanie ma postać: kwadrat do potęgi drugiej odjąć dwa razy kwadrat razy koło dodać koło do kwadratu równa się nawias okrągły kwadrat odjąć koło. Po nawiasie razy następny nawias okrągły, a w nim różnica kwadratu i koła. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Przykład 4

Zapiszemy sumy algebraiczne w postaci iloczynów.

$25 a^{2} - 10 a + 1 = (5 a - 1) (5 a - 1)$

$9 x^{2} - 48 x y + 64 y^{2} = (3 x - 8 y) (3 x - 8 y)$

$3 a^{2} - 18 a c + 27 c^{2} = (\sqrt{3} a - \sqrt{27} c) (\sqrt{3} a - \sqrt{27} c)$

$k^{2} - \sqrt{3} k m + 0, 75 m^{2} = (k - 0, 5 \sqrt{3} m) (k - 0, 5 \sqrt{3} m)$

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicyWzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy można zastosować, obliczając wartości wyrażeń zawierających pierwiastki.

Przykład 5

$(3 - \sqrt{3})^{2} + 6 \sqrt{3} = 9 - 6 \sqrt{3} + 3 + 6 \sqrt{3} = 12$

$(\sqrt{2} - 2 \sqrt{10})^{2} - {(42 - 8 \sqrt{5})}^{2} = (\sqrt{2} - 2 \sqrt{10})^{2} - (\sqrt{2} - 2 \sqrt{10})^{2} = 0$

Słownik

wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy

kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń minus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik