Galeria zdjęć interaktywnych
Polecenie 1
Przeanalizuj wyprowadzenie wzorów redukcyjnych dla kątów .
Ilustracja pierwsza. Sinus równa się znak zapytania, cosinus równa się znak zapytania, tangens równa się znak zapytania. Naszym celem jest wyrazić funkcje trygonometryczne kąta przy pomocy funkcji trygonometrycznych kąta ostrego .
Ilustracja pierwsza. Sinus równa się znak zapytania, cosinus równa się znak zapytania, tangens równa się znak zapytania. Naszym celem jest wyrazić funkcje trygonometryczne kąta przy pomocy funkcji trygonometrycznych kąta ostrego .Ilustracja druga. Aby go zrealizować skorzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych kąta dowolnego. Umieścimy kąty o miarach oraz oraz ich ramiona w prostokątnym układzie współrzędnych o osi poziomej X z zakresu od minus 6 do 7 i osi pionowej Y z zakresu od minus 1 do 3. Wierzchołki kątów znajdują się w punkcie O, który jest początkiem układu współrzędnych.
Ilustracja druga. Aby go zrealizować skorzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych kąta dowolnego. Umieścimy kąty o miarach oraz oraz ich ramiona w prostokątnym układzie współrzędnych o osi poziomej X z zakresu od minus 6 do 7 i osi pionowej Y z zakresu od minus 1 do 3. Wierzchołki kątów znajdują się w punkcie O, który jest początkiem układu współrzędnych.Ilustracja trzecia. Na ramieniu kąta o mierze wybieramy punkt . Oznaczmy jego współrzędne przez , zaś jego promień wodzący przez . Na drugim ramieniu kąta o mierze wybieramy punkt , którego promień wodzący jest również równy .
Ilustracja trzecia. Na ramieniu kąta o mierze wybieramy punkt . Oznaczmy jego współrzędne przez , zaś jego promień wodzący przez . Na drugim ramieniu kąta o mierze wybieramy punkt , którego promień wodzący jest również równy .Ilustracja czwarta. Niech i oznaczają rzuty prostokątne odpowiednio punktów i na oś . Łatwo zauważyć, że kąt również ma miarę .
Ilustracja czwarta. Niech i oznaczają rzuty prostokątne odpowiednio punktów i na oś . Łatwo zauważyć, że kąt również ma miarę .Ilustracja piąta. Na mocy cechy kąt bok kąt możemy stwierdzić, że trójkąty prostokątne oraz są przystające.
Ilustracja piąta. Na mocy cechy kąt bok kąt możemy stwierdzić, że trójkąty prostokątne oraz są przystające.Ilustracja szósta. Z przystawania trójkątów oraz łatwo wywnioskować, że współrzędne punktu są bezpośrednio związane ze współrzędnymi punktu i są równe .
Ilustracja szósta. Z przystawania trójkątów oraz łatwo wywnioskować, że współrzędne punktu są bezpośrednio związane ze współrzędnymi punktu i są równe .Ilustracja siódma. Z definicji sinus kąta to stosunek drugiej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do promienia wodzącego tego punktu.
Zatem.
Ilustracja siódma. Z definicji sinus kąta to stosunek drugiej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do promienia wodzącego tego punktu.Zatem
Zatem
Ilustracja ósma. Możemy zauważyć, że jest równy .
Ilustracja ósma. Możemy zauważyć, że jest równy .Ilustracja dziewiąta. Z definicji cosinus kąta to stosunek pierwszej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do promienia wodzącego tego punktu.
Zatem
zaś
.
Ilustracja dziewiąta. Z definicji cosinus kąta to stosunek pierwszej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do promienia wodzącego tego punktu.Zatem
zaś
Zatem
zaś
Ilustracja dziesiąta. Możemy zauważyć, że jest równy .
Ilustracja dziesiąta. Możemy zauważyć, że jest równy .Ilustracja jedenasta. Z definicji tangens kąta to stosunek drugiej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do pierwszej współrzędnej tego punktu.
Zatem
zaś
.
Ilustracja jedenasta. Z definicji tangens kąta to stosunek drugiej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do pierwszej współrzędnej tego punktu.Zatem
zaś
Zatem
zaś
Ilustracja dwunasta. Możemy zauważyć, że jest równy .
Ilustracja dwunasta. Możemy zauważyć, że jest równy .Ilustracja trzynasta. Sinus równa się sinus alfa, cosinus równa się minus cosinus alfa, tangens równa się minus tangens alfa. Zauważmy jeszcze tylko, że choć wzory wyprowadziliśmy dla kąta ostrego , to pozostają one prawdziwe dla kątów o dowolnej rozwartości.
Ilustracja trzynasta. Sinus równa się sinus alfa, cosinus równa się minus cosinus alfa, tangens równa się minus tangens alfa. Zauważmy jeszcze tylko, że choć wzory wyprowadziliśmy dla kąta ostrego , to pozostają one prawdziwe dla kątów o dowolnej rozwartości.Polecenie 2
Połącz w pary wyrażenia o równych wartościach.
Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8.
Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8.