Przeanalizuj wyprowadzenie wzorów redukcyjnych dla kątów .
Rq3RwnPzZmO9b
Ilustracja pierwsza. Sinus PI, minus, alfa równa się znak zapytania, cosinus PI, minus, alfa równa się znak zapytania, tangens PI, minus, alfa równa się znak zapytania. Naszym celem jest wyrazić funkcje trygonometryczne kąta PI, minus, alfa przy pomocy funkcji trygonometrycznych kąta ostrego alfa.
Ilustracja pierwsza. Sinus PI, minus, alfa równa się znak zapytania, cosinus PI, minus, alfa równa się znak zapytania, tangens PI, minus, alfa równa się znak zapytania. Naszym celem jest wyrazić funkcje trygonometryczne kąta PI, minus, alfa przy pomocy funkcji trygonometrycznych kąta ostrego alfa.
R7NN3mrdDHVL4
Ilustracja druga. Aby go zrealizować skorzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych kąta dowolnego. Umieścimy kąty o miarach PI, minus, alfa oraz alfa oraz ich ramiona w prostokątnym układzie współrzędnych o osi poziomej X z zakresu od minus 6 do 7 i osi pionowej Y z zakresu od minus 1 do 3. Wierzchołki kątów znajdują się w punkcie O, który jest początkiem układu współrzędnych.
Ilustracja druga. Aby go zrealizować skorzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych kąta dowolnego. Umieścimy kąty o miarach PI, minus, alfa oraz alfa oraz ich ramiona w prostokątnym układzie współrzędnych o osi poziomej X z zakresu od minus 6 do 7 i osi pionowej Y z zakresu od minus 1 do 3. Wierzchołki kątów znajdują się w punkcie O, który jest początkiem układu współrzędnych.
R1LXMHE6XYZ0q
Ilustracja trzecia. Na ramieniu kąta o mierze alfa wybieramy punkt A. Oznaczmy jego współrzędne przez nawias, x, średnik, y, zamknięcie nawiasu, zaś jego promień wodzący przez r. Na drugim ramieniu kąta o mierze PI, minus, alfa wybieramy punkt A prim, którego promień wodzący jest również równy r.
Ilustracja trzecia. Na ramieniu kąta o mierze alfa wybieramy punkt A. Oznaczmy jego współrzędne przez nawias, x, średnik, y, zamknięcie nawiasu, zaś jego promień wodzący przez r. Na drugim ramieniu kąta o mierze PI, minus, alfa wybieramy punkt A prim, którego promień wodzący jest również równy r.
R8Da912Ja8qmN
Ilustracja czwarta. Niech P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego oznaczają rzuty prostokątne odpowiednio punktów A i A prim na oś X. Łatwo zauważyć, że kąt A prim O P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego również ma miarę alfa.
Ilustracja czwarta. Niech P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego i P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego oznaczają rzuty prostokątne odpowiednio punktów A i A prim na oś X. Łatwo zauważyć, że kąt A prim O P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego również ma miarę alfa.
RmjfDiAngJcXq
Ilustracja piąta. Na mocy cechy kąt bok kąt możemy stwierdzić, że trójkąty prostokątne A prim P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, O oraz A P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O są przystające.
Ilustracja piąta. Na mocy cechy kąt bok kąt możemy stwierdzić, że trójkąty prostokątne A prim P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, O oraz A P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O są przystające.
RaTOLoemW3RGC
Ilustracja szósta. Z przystawania trójkątów A prim P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, O oraz A P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O łatwo wywnioskować, że współrzędne punktu A prim są bezpośrednio związane ze współrzędnymi punktu A i są równe nawias, minus, x, średnik, y, zamknięcie nawiasu.
Ilustracja szósta. Z przystawania trójkątów A prim P indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, O oraz A P indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, O łatwo wywnioskować, że współrzędne punktu A prim są bezpośrednio związane ze współrzędnymi punktu A i są równe nawias, minus, x, średnik, y, zamknięcie nawiasu.
RhCd9gwqyw3b4
Ilustracja siódma. Z definicji sinus kąta to stosunek drugiej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do promienia wodzącego tego punktu. Zatem
sinus alfa, równa się, początek ułamka, y, mianownik, r, koniec ułamka
zaś
sinus nawias, PI, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, y, mianownik, r, koniec ułamka.
Ilustracja siódma. Z definicji sinus kąta to stosunek drugiej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do promienia wodzącego tego punktu. Zatem
sinus alfa, równa się, początek ułamka, y, mianownik, r, koniec ułamka
zaś
sinus nawias, PI, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, y, mianownik, r, koniec ułamka.
RAiqzlRmzA84v
Ilustracja ósma. Możemy zauważyć, że sinus nawias, PI, minus, alfa, zamknięcie nawiasu jest równy sinus alfa.
Ilustracja ósma. Możemy zauważyć, że sinus nawias, PI, minus, alfa, zamknięcie nawiasu jest równy sinus alfa.
RZFqEeGF9yGpw
Ilustracja dziewiąta. Z definicji cosinus kąta to stosunek pierwszej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do promienia wodzącego tego punktu. Zatem
kosinus alfa, równa się, początek ułamka, x, mianownik, r, koniec ułamka
zaś
kosinus nawias, PI, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, x, mianownik, r, koniec ułamka.
Ilustracja dziewiąta. Z definicji cosinus kąta to stosunek pierwszej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do promienia wodzącego tego punktu. Zatem
kosinus alfa, równa się, początek ułamka, x, mianownik, r, koniec ułamka
zaś
kosinus nawias, PI, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, minus, x, mianownik, r, koniec ułamka.
RPvNB8M3BU215
Ilustracja dziesiąta. Możemy zauważyć, że kosinus nawias, PI, minus, alfa, zamknięcie nawiasu jest równy minus, kosinus alfa.
Ilustracja dziesiąta. Możemy zauważyć, że kosinus nawias, PI, minus, alfa, zamknięcie nawiasu jest równy minus, kosinus alfa.
Rcpm50766ufZB
Ilustracja jedenasta. Z definicji tangens kąta to stosunek drugiej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do pierwszej współrzędnej tego punktu. Zatem
tangens alfa, równa się, początek ułamka, y, mianownik, x, koniec ułamka
zaś
tangens nawias, PI, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, y, mianownik, minus, x, koniec ułamka.
Ilustracja jedenasta. Z definicji tangens kąta to stosunek drugiej współrzędnej punktu wybranego na drugim ramieniu tego kąta do pierwszej współrzędnej tego punktu. Zatem
tangens alfa, równa się, początek ułamka, y, mianownik, x, koniec ułamka
zaś
tangens nawias, PI, minus, alfa, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, y, mianownik, minus, x, koniec ułamka.
RPSvhnjubHxDW
Ilustracja dwunasta. Możemy zauważyć, że tangens nawias, PI, minus, alfa, zamknięcie nawiasu jest równy minus, tangens alfa.
Ilustracja dwunasta. Możemy zauważyć, że tangens nawias, PI, minus, alfa, zamknięcie nawiasu jest równy minus, tangens alfa.
RXoVQIEKEFc3l
Ilustracja trzynasta. Sinus PI, minus, alfa równa się sinus alfa, cosinus PI, minus, alfa równa się minus cosinus alfa, tangens PI, minus, alfa równa się minus tangens alfa. Zauważmy jeszcze tylko, że choć wzory wyprowadziliśmy dla kąta ostrego alfa, to pozostają one prawdziwe dla kątów o dowolnej rozwartości.
Ilustracja trzynasta. Sinus PI, minus, alfa równa się sinus alfa, cosinus PI, minus, alfa równa się minus cosinus alfa, tangens PI, minus, alfa równa się minus tangens alfa. Zauważmy jeszcze tylko, że choć wzory wyprowadziliśmy dla kąta ostrego alfa, to pozostają one prawdziwe dla kątów o dowolnej rozwartości.