Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

W prostokątnym układzie współrzędnych umieścimy w położeniu standardowym kąty o miarach α oraz π-α, gdzie α0;π2. Zauważmy, że ponieważ kąt o mierze α jest ostry (drugie ramię leży w I ćwiartce układu), kąt o mierze π-α jest rozwarty (drugie ramię leży w II ćwiartce układu).

RNFZFNllYmFyq

Na drugim ramieniu kąta α wybieramy punkt A o współrzędnych x;y i promieniu wodzącym r. Na drugim ramieniu kąta o mierze π-α wybieramy taki punkt A', którego promień wodzący jest również równy r. Wówczas, przy oznaczeniach jak na rysunku powyżej, kąt AOP2 ma miarę α, zaś trójkąty prostokątne AOP2 oraz AOP1 są przystające na mocy cechy kąt‑bok‑kąt. Wynika stąd, że współrzędne punktu A' są równe -x;y.

Zauważmy teraz, że wprost z definicji funkcji trygonometrycznych zachodzą poniższe równości.

sinα=yr

sinπ-α=yr

cosα=xr

cosπ-α=-xr=-xr

tgα=yx

tgπ-α=y-x=-yx

Otrzymujemy zatem równości:

sinπ-α=sinα,

cosπ-α=-cosα,

tgπ-α=-tgα.

Chociaż powyższy dowód został przeprowadzony dla kąta ostrego α, to wzory redukcyjnewzory redukcyjne pozostają prawdziwe dla kąta o dowolnej mierze, dla której określona jest funkcja tangens.

Przykład 1

Obliczymy wartości podanych wyrażeń trygonometrycznych.

a) sin2π3=sinπ-π3=sinπ3=32

b) cos5π6=cosπ-π6=-cosπ6=-32

c) tg3π4=tgπ-π4=-tgπ4=-1

Przykład 2

Korzystając z tablic trygonometrycznych, obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze 4π5.

α°

sinα
cosβ

tgα

β°

0

0,0000

0,0000

90

1

0,0175

0,0175

89

2

0,0349

0,0349

88

...

7

0,1219

0,1228

83

8

0,1392

0,1405

82

9

0,1564

0,1584

81

...

35

0,5736

0,7002

55

36

0,5878

0,7265

54

37

0,6018

0,7536

53

...

46

0,7193

1,0355

44

47

0,7314

1,0724

43

48

0,7431

1,1106

42

...

53

0,7986

1,3270

37

54

0,8090

1,3764

36

55

0,8192

1,4281

35

...

81

0,9877

6,3138

9

82

0,9903

7,1154

8

83

0,9925

8,1443

7

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że 4π5=π-π5.

Zatem przydadzą się nam wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze π5, które odczytujemy z tablic trygonometrycznych. Kąt o mierze łukowej równej π5 ma miarę stopniową równą 36°.

Stąd mamy:

sinπ50,5878, cosπ50,8090, tgπ50,7265.

Zatem:

sin4π5=sinπ-π5=sinπ50,5878,

cos4π5=cosπ-π5=-cosπ5-0,8090,

tg4π5=tgπ-π5=-tgπ5-0,7265.

Przykład 3

Wykażemy, że jeśli α, β, γ są miarami kątów wewnętrznych trójkąta, to zachodzi równość sinα2=cos β+γ2.

Rozwiązanie

Ponieważ α, β, γ są miarami kątów wewnętrznych trójkąta, więc

α+ β+γ=π.

Zatem β+γ=π-α.

Podstawmy teraz π-α zamiast β+γ do prawej strony tezy:

cos β+γ2=cosπ-α2=cosπ2-α2.

Przypomnijmy, że z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym zachodzą tożsamości:

sinπ2-x=cosx,

cosπ2-x=sinx,

tgπ2-x=ctgx=1tgx, gdzie x0;π2.

Zauważmy, że α jako miara kąta wewnętrznego trójkąta należy do przedziału 0;π, zatem α20;π2.

Po zastosowaniu drugiej z przytoczonych tożsamości do naszego zadania, otrzymujemy cosπ2-α2=sinα2, co kończy dowód.

Tożsamości użyte w powyższym przykładzie wynikają wprost z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, ale prawdziwe są również dla kąta α o  dowolnej mierze (o ile funkcja tangens jest określona i nie przyjmuje wartości zero). Zauważ, że powyższe wzory mają budowę analogiczną do wzorów redukcyjnych (choć najczęściej niczego nie redukują).

Odnotujmy je poniżej, ponieważ będziemy korzystać z nich równie często jak z pozostałych wzorów omawianych w tej lekcji:

sinπ2-x=cosx,
cosπ2-x=sinx,
tgπ2-x=ctgx=1tgx dla xk·π2, k.
Przykład 4

Wiadomo, że x0;π2 oraz 3sinx-cosπ-x+cosxsinπ2-x=2. Obliczymy wartość wyrażenia tgx+1tgx.

Rozwiązanie

Przekształcimy równość daną w założeniu, korzystając z tożsamości cosπ-x=-cosx oraz sinπ2-x=cosx.

3sinx-cosπ-x+cosxsinπ2-x=2

3sinx--cosx+cosxcosx=2

3sinxcosx+1=2

3sinxcosx=1

Skorzystamy z tożsamości sinxcosx=tgx udowodnionej już dla każdego kąta x o mierze z przedziału 0;π2, ale prawdziwej również dla każdego xπ2+k·π, dla k.

3tgx=1

tgx=13

Zatem mamy, że

tgx+1tgx=13+3=103.

Przykład 5

Wiadomo, że x0;π2 oraz sinπ-xsinπ2-x+tgπ-xtgx=3. Obliczymy cos x.

Rozwiązanie

Przekształcimy równość podaną w założeniu, korzystając kolejno ze wzorów:

sinπ-x=sinx,

sinπ2-x=cosx,

tgπ-x=-tgx.

Podstawimy przekształcenia do wzoru.

sinπ-xsinπ2-x+tgπ-xtgx=3

sinxcosx+-tgxtgx=3

sinxcosx-1=3

sinxcosx=4

sinx=4cosx

Skorzystamy z jedynki trygonometrycznejjedynka trygonometrycznajedynki trygonometrycznej sin2x+cos2x=1, udowodnionej już dla każdego kąta x o mierze z przedziału 0;π2, ale prawdziwej również dla każdego x.

sinx=4cosx

4cosx2+cos2x=1

16cos2x+cos2x=1

17cos2x=1

cos2x=117

Ponieważ x jest miarą kąta ostrego, więc jego cosinus jest dodatni: cosx=117=1717.

Słownik

wzory redukcyjne
wzory redukcyjne

zestaw wzorów pozwalających redukować argumenty funkcji trygonometrycznych do miar z przedziału 0;π2 w celu wyliczenia wartości tych funkcji

jedynka trygonometryczna
jedynka trygonometryczna

tożsamość trygonometryczna, która orzeka, że suma kwadratu sinusa dowolnego argumentu i kwadratu cosinusa dowolnego argumentu jest równa 1; zwana też trygonometryczną wersją twierdzenia Pitagorasa