Przeczytaj
W prostokątnym układzie współrzędnych umieścimy w położeniu standardowym kąty o miarach oraz , gdzie . Zauważmy, że ponieważ kąt o mierze jest ostry (drugie ramię leży w I ćwiartce układu), kąt o mierze jest rozwarty (drugie ramię leży w II ćwiartce układu).
Na drugim ramieniu kąta wybieramy punkt o współrzędnych i promieniu wodzącym . Na drugim ramieniu kąta o mierze wybieramy taki punkt , którego promień wodzący jest również równy . Wówczas, przy oznaczeniach jak na rysunku powyżej, kąt ma miarę , zaś trójkąty prostokątne oraz są przystające na mocy cechy kąt‑bok‑kąt. Wynika stąd, że współrzędne punktu są równe .
Zauważmy teraz, że wprost z definicji funkcji trygonometrycznych zachodzą poniższe równości.
Otrzymujemy zatem równości:
,
,
.
Chociaż powyższy dowód został przeprowadzony dla kąta ostrego , to wzory redukcyjne pozostają prawdziwe dla kąta o dowolnej mierze, dla którego określona jest funkcja tangens.
Obliczymy wartości podanych wyrażeń trygonometrycznych.
a)
b)
c)
Korzystając z tablic trygonometrycznych, obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze .
... | |||
... | |||
... | |||
... | |||
... | |||
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że .
Zatem przydadzą się nam wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze , które odczytujemy z tablic trygonometrycznych. Kąt o mierze łukowej równej ma miarę stopniową równą .
Stąd mamy:
.
Zatem:
,
,
.
Wykażemy, że jeśli są miarami kątów wewnętrznych trójkąta, to zachodzi równość .
Rozwiązanie
Ponieważ są miarami kątów wewnętrznych trójkąta, więc
.
Zatem .
Podstawmy teraz zamiast do prawej strony tezy:
.
Przypomnijmy, że z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym zachodzą tożsamości:
,
,
, gdzie .
Zauważmy, że jako miara kąta wewnętrznego trójkąta należy do przedziału , zatem .
Po zastosowaniu drugiej z przytoczonych tożsamości do naszego zadania, otrzymujemy , co kończy dowód.
Tożsamości użyte w powyższym przykładzie wynikają wprost z definicji funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, ale prawdziwe są również dla kąta o dowolnej mierze (o ile funkcja tangens jest określona i nie przyjmuje wartości zero). Zauważ, że powyższe wzory mają budowę analogiczną do wzorów redukcyjnych (choć najczęściej niczego nie redukują).
Odnotujmy je poniżej, ponieważ będziemy korzystać z nich równie często jak z pozostałych wzorów omawianych w tej lekcji:
Wiadomo, że oraz . Obliczymy wartość wyrażenia .
Rozwiązanie
Przekształcimy równość daną w założeniu, korzystając z tożsamości oraz .
Skorzystamy z tożsamości udowodnionej już dla każdego kąta o mierze z przedziału , ale prawdziwej również dla każdego , dla .
Zatem mamy, że
.
Wiadomo, że oraz . Obliczymy .
Rozwiązanie
Przekształcimy równość podaną w założeniu, korzystając kolejno ze wzorów:
,
,
.
Podstawimy przekształcenia do wzoru.
Skorzystamy z jedynki trygonometrycznejjedynki trygonometrycznej , udowodnionej już dla każdego kąta o mierze z przedziału , ale prawdziwej również dla każdego .
Ponieważ jest miarą kąta ostrego, więc jego cosinus jest dodatni: .
Słownik
zestaw wzorów pozwalających redukować argumenty funkcji trygonometrycznych do miar z przedziału w celu wyliczenia wartości tych funkcji
tożsamość trygonometryczna, która orzeka, że suma kwadratu sinusa dowolnego argumentu i kwadratu cosinusa dowolnego argumentu jest równa ; zwana też trygonometryczną wersją twierdzenia Pitagorasa