Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R12nV5OOUDLt71

Ćwiczenie 1

Połącz w pary wyrażenie trygonometryczne i jego wartość.

\sin \frac{2 π}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 2.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 3.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

, 4.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

, 5.

- \frac{\sqrt{3}}{3}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

- \sqrt{3}

, 9.

- 1

\sin \frac{5 π}{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 2.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 3.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

, 4.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

, 5.

- \frac{\sqrt{3}}{3}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

- \sqrt{3}

, 9.

- 1

\sin \frac{3 π}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 2.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 3.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

, 4.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

, 5.

- \frac{\sqrt{3}}{3}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

- \sqrt{3}

, 9.

- 1

\cos \frac{2 π}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 2.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 3.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

, 4.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

, 5.

- \frac{\sqrt{3}}{3}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

- \sqrt{3}

, 9.

- 1

\cos \frac{5 π}{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 2.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 3.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

, 4.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

, 5.

- \frac{\sqrt{3}}{3}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

- \sqrt{3}

, 9.

- 1

\cos \frac{3 π}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 2.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 3.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

, 4.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

, 5.

- \frac{\sqrt{3}}{3}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

- \sqrt{3}

, 9.

- 1

tg \frac{2 π}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 2.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 3.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

, 4.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

, 5.

- \frac{\sqrt{3}}{3}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

- \sqrt{3}

, 9.

- 1

tg \frac{5 π}{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 2.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 3.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

, 4.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

, 5.

- \frac{\sqrt{3}}{3}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

- \sqrt{3}

, 9.

- 1

tg \frac{3 π}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 2.

\frac{\sqrt{2}}{2}

, 3.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

, 4.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

, 5.

- \frac{\sqrt{3}}{3}

, 6.

\frac{1}{2}

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

- \sqrt{3}

, 9.

- 1

ROmKDDyRDrlhY1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Wykaż, że jeśli $α, β, γ$ są miarami kątów wewnętrznych trójkąta, to zachodzi równość $\cos \frac{α}{2} = \sin \frac{β + γ}{2}$ .

Zaczniemy od przekształcenia lewej strony tezy. Z sumy miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynika równość:

$\cos \frac{α}{2} = \cos \frac{π - (β + γ)}{2}$ .

Z rozdzielności dzielenia względem odejmowania mamy

$\cos \frac{π - (β + γ)}{2} = \cos (\frac{π}{2} - \frac{β + γ}{2})$ .

Ze wzoru $\cos (\frac{π}{2} - x) = \sin x$ otrzymujemy $\cos (\frac{π}{2} - \frac{β + γ}{2}) = \sin \frac{β + γ}{2}$ , co kończy dowód.

R1Ws8kY1jUueQ2

Ćwiczenie 4

Oblicz wartość wyrażenia

\frac{\sin (160 ° + x) - 3 \cos (70 ° + x)}{\sin (20 ° - x)}

dla

x \neq 20 ° + k \cdot 180 °, k \in ℤ

.
Uporządkuj poniższe wyrażenia, aby otrzymać rozwiązanie zadania. Elementy do uszeregowania: 1.

= \frac{\sin (20 ° - x) - 3 \cos (70 ° + x)}{\sin (20 ° - x)} =

, 2.

= \frac{\sin (20 ° - x) - 3 \sin (20 ° - x)}{\sin (20 ° - x)} =

, 3.

\frac{\sin (160 ° + x) - 3 \cos (70 ° + x)}{\sin (20 ° - x)} =

, 4.

= \frac{\sin (180 ° - (20 ° - x)) - 3 \cos (70 ° + x)}{\sin (20 ° - x)} =

, 5.

= - 2

, 6.

= \frac{- 2 \sin (20 ° - x)}{\sin (20 ° - x)} =

, 7.

= \frac{\sin (20 ° - x) - 3 \cos (90 ° - (20 ° - x))}{\sin (20 ° - x)} =

RG7QCPuLvEWx22

Ćwiczenie 5

Porównaj liczby. Wpisz znak

<, >

lub

=

\sin \frac{π}{8}

=

, 2.

=

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

=

, 6.

>

, 7.

<

, 8.

>

, 9.

=

\sin \frac{7 π}{8}

\sin \frac{π}{8}

=

, 2.

=

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

=

, 6.

>

, 7.

<

, 8.

>

, 9.

=

\sin \frac{8 π}{9}

\sin \frac{π}{8}

=

, 2.

=

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

=

, 6.

>

, 7.

<

, 8.

>

, 9.

=

\sin \frac{6 π}{7}

\cos \frac{π}{10}

=

, 2.

=

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

=

, 6.

>

, 7.

<

, 8.

>

, 9.

=

\cos \frac{π}{9}

\cos \frac{8 π}{9}

=

, 2.

=

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

=

, 6.

>

, 7.

<

, 8.

>

, 9.

=

\cos \frac{π}{9}

\cos \frac{π}{10}

=

, 2.

=

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

=

, 6.

>

, 7.

<

, 8.

>

, 9.

=

\cos (- \frac{π}{10})

tg \frac{π}{11}

=

, 2.

=

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

=

, 6.

>

, 7.

<

, 8.

>

, 9.

=

tg \frac{12 π}{11}

tg \frac{π}{11}

=

, 2.

=

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

=

, 6.

>

, 7.

<

, 8.

>

, 9.

=

- tg \frac{9 π}{10}

tg \frac{π}{11}

=

, 2.

=

, 3.

<

, 4.

<

, 5.

=

, 6.

>

, 7.

<

, 8.

>

, 9.

=

- tg (- \frac{π}{11})

Ćwiczenie 6

Wykaż, że jeśli tylko $x \neq k \cdot \frac{π}{2}, k \in ℤ$ , to wyrażenie

$tg (π - x) \cdot \frac{- 2 \cos (π - x) + 3 \cos (2 π - x) + \sin (\frac{π}{2} - x)}{\sin (- x) + 2 \sin (π - x)}$

przyjmuje stałą wartość niezależnie od wartości $x$ .

Przekształcimy poszczególne wyrażenia trygonometryczne wchodzące w skład rozważanego wyrażenia.

Wzory redukcyjne:

$tg (π - x) = - tg x$ ,

$\cos (π - x) = - \cos x$ .

Z okresowości funkcji cosinus i parzystości funkcji cosinus: $\cos (2 π - x) = \cos (- x) = \cos x$ .

Z tożsamości trygonometrycznych:

$\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$ ,

$tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ .

Z nieparzystości funkcji sinus:

$\sin (- x) = - \sin x$ ,

$\sin (π - x) = \sin x$ .

Wobec powyższego mamy:

$tg (π - x) \cdot \frac{- 2 \cos (π - x) + 3 \cos (2 π - x) + \sin (\frac{π}{2} - x)}{\sin (- x) + 2 \sin (π - x)} =$

$= - tg x \cdot \frac{2 \cos x + 3 \cos x + \cos x}{- \sin x + 2 \sin x} =$

$= - \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{6 \cos x}{\sin x} = - 6$ ,

co kończy dowód.

Ćwiczenie 7

Aby przekształcić wyrażenie $\sin (\frac{π}{2} + x)$ , możemy postąpić następująco:

$\sin (\frac{π}{2} + x) = \sin (π - \frac{π}{2} + x) = \sin (π - (\frac{π}{2} - x))$ .

Na mocy wzoru redukcyjnego $\sin (π - α) = \sin α$ , gdzie $α = \frac{π}{2} - x$ , mamy:

$\sin (π - (\frac{π}{2} - x)) = \sin (\frac{π}{2} - x)$ .

Na mocy odpowiedniego wzoru redukcyjnego:

$\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$ .

Zatem mamy, że

$\sin (\frac{π}{2} + x) = \cos x$ .

Rozwiąż poniższy test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

Rhi6t2gg5AeLh

RZzChLsB7jLjO3

Ćwiczenie 8

R15OY4UOqu0yt3

Ćwiczenie 9

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Liczba

\cos 160 °

jest równa:

- \sin 70 °

- \cos 20 °

- \sin 20 °

Wiadomo, że

\cos 35 ° \approx 0, 819

. Wówczas:

\sin 35 ° \approx 0, 574

\cos 145 ° \approx - 0, 819

\sin 145 ° \approx 0, 574

Wskaż prawdziwą relację między podanymi liczbami.

\sin \frac{π}{17} > \sin \frac{19 π}{20}

\sin \frac{π}{17} < \sin \frac{19 π}{20}

\sin \frac{π}{17} = \sin \frac{19 π}{20}

Wskaż prawdziwą relację między podanymi liczbami.

\sin 2 > \cos 2

\sin 2 < \cos 2

\sin 2 = \cos 2

Wyrażenie

\cos (π - x) \cdot \sin (\frac{π}{2} - x)

jest dla każdej liczby

x

równe:

- \sin^{2} x

- \cos^{2} x

- \sin x \cdot \cos x

Wyrażenie

\cos (\frac{π}{2} + x) \cdot \sin (\frac{π}{2} - x)

jest dla każdej liczby

x

równe:

- \sin^{2} x

- \cos^{2} x

- \sin x \cdot \cos x

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela