Wykaż, że jeśli α, β, γ są miarami kątów wewnętrznych trójkąta, to zachodzi równość cosα2=sinβ+γ2.
Zaczniemy od przekształcenia lewej strony tezy. Z sumy miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynika równość:
cosα2=cosπ-β+γ2.
Z rozdzielności dzielenia względem odejmowania mamy
cosπ-β+γ2=cosπ2-β+γ2.
Ze wzoru cosπ2-x=sinx otrzymujemy cosπ2-β+γ2=sinβ+γ2, co kończy dowód.
Wykaż, że jeśli tylko x≠k·π2, k∈ℤ, to wyrażenie
tgπ-x·-2cosπ-x+3cos2π-x+sinπ2-xsin-x+2sinπ-x
przyjmuje stałą wartość niezależnie od wartości x.
Przekształcimy poszczególne wyrażenia trygonometryczne wchodzące w skład rozważanego wyrażenia.
Wzory redukcyjne:
tgπ-x=-tgx,
cosπ-x=-cosx.
Z okresowości funkcji cosinus i parzystości funkcji cosinus: cos2π-x=cos-x=cosx.
Z tożsamości trygonometrycznych:
sinπ2-x=cosx,
tgx=sinxcosx.
Z nieparzystości funkcji sinus:
sin-x=-sinx,
sinπ-x=sinx.
Wobec powyższego mamy:
tgπ-x·-2cosπ-x+3cos2π-x+sinπ2-xsin-x+2sinπ-x=
=-tgx·2cosx+3cosx+cosx-sinx+2sinx=
=-sinxcosx·6cosxsinx=-6,
co kończy dowód.
Aby przekształcić wyrażenie sinπ2+x, możemy postąpić następująco:
sinπ2+x=sinπ-π2+x=sinπ-π2-x.
Na mocy wzoru redukcyjnego sinπ-α=sinα, gdzie α=π2-x, mamy:
sinπ-π2-x=sinπ2-x.
Na mocy odpowiedniego wzoru redukcyjnego:
sinπ2-x=cosx.
Zatem mamy, że
sinπ2+x=cosx.
Rozwiąż poniższy test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.