Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R12nV5OOUDLt71

Ćwiczenie 1

Połącz w pary wyrażenie trygonometryczne i jego wartość. sinus początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 9. minus, jeden sinus początek ułamka, pięć PI, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 9. minus, jeden sinus początek ułamka, trzy PI, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 9. minus, jeden kosinus początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 9. minus, jeden kosinus początek ułamka, pięć PI, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 9. minus, jeden kosinus początek ułamka, trzy PI, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 9. minus, jeden tangens początek ułamka, dwa PI, mianownik, trzy, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 9. minus, jeden tangens początek ułamka, pięć PI, mianownik, sześć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 9. minus, jeden tangens początek ułamka, trzy PI, mianownik, cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 3. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 4. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 5. minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 6. początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 7. minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, 8. minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, 9. minus, jeden

ROmKDDyRDrlhY1

Ćwiczenie 2

Ćwiczenie 3

Wykaż, że jeśli $α, β, γ$ są miarami kątów wewnętrznych trójkąta, to zachodzi równość $\cos \frac{α}{2} = \sin \frac{β + γ}{2}$ .

Zaczniemy od przekształcenia lewej strony tezy. Z sumy miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynika równość:

$\cos \frac{α}{2} = \cos \frac{π - (β + γ)}{2}$ .

Z rozdzielności dzielenia względem odejmowania mamy

$\cos \frac{π - (β + γ)}{2} = \cos (\frac{π}{2} - \frac{β + γ}{2})$ .

Ze wzoru $\cos (\frac{π}{2} - x) = \sin x$ otrzymujemy $\cos (\frac{π}{2} - \frac{β + γ}{2}) = \sin \frac{β + γ}{2}$ , co kończy dowód.

R1Ws8kY1jUueQ2

Ćwiczenie 4

Oblicz wartość wyrażenia początek ułamka, sinus nawias, sto sześćdziesiąt stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, minus, trzy kosinus nawias, siedemdziesiąt stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka dla x, nie równa się, dwadzieścia stopni, plus, k, razy, sto osiemdziesiąt stopni, przecinek, k, należy do, liczby całkowite.
Uporządkuj poniższe wyrażenia, aby otrzymać rozwiązanie zadania. Elementy do uszeregowania: 1. równa się, początek ułamka, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, trzy kosinus nawias, siedemdziesiąt stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 2. równa się, początek ułamka, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, trzy sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 3. początek ułamka, sinus nawias, sto sześćdziesiąt stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, minus, trzy kosinus nawias, siedemdziesiąt stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 4. równa się, początek ułamka, sinus nawias, sto osiemdziesiąt stopni, minus, nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, minus, trzy kosinus nawias, siedemdziesiąt stopni, plus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 5. równa się, minus, dwa, 6. równa się, początek ułamka, minus, dwa sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, 7. równa się, początek ułamka, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, minus, trzy kosinus nawias, dziewięćdziesiąt stopni, minus, nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu, mianownik, sinus nawias, dwadzieścia stopni, minus, x, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się

RG7QCPuLvEWx22

Ćwiczenie 5

Porównaj liczby. Wpisz znak mniejszy niż, przecinek, większy niż lub równa się. sinus początek ułamka, PI, mianownik, osiem, koniec ułamka 1. równa się, 2. równa się, 3. mniejszy niż, 4. mniejszy niż, 5. równa się, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. większy niż, 9. równa się sinus początek ułamka, siedem PI, mianownik, osiem, koniec ułamka
sinus początek ułamka, PI, mianownik, osiem, koniec ułamka 1. równa się, 2. równa się, 3. mniejszy niż, 4. mniejszy niż, 5. równa się, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. większy niż, 9. równa się sinus początek ułamka, osiem PI, mianownik, dziewięć, koniec ułamka
sinus początek ułamka, PI, mianownik, osiem, koniec ułamka 1. równa się, 2. równa się, 3. mniejszy niż, 4. mniejszy niż, 5. równa się, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. większy niż, 9. równa się sinus początek ułamka, sześć PI, mianownik, siedem, koniec ułamka
kosinus początek ułamka, PI, mianownik, dziesięć, koniec ułamka 1. równa się, 2. równa się, 3. mniejszy niż, 4. mniejszy niż, 5. równa się, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. większy niż, 9. równa się kosinus początek ułamka, PI, mianownik, dziewięć, koniec ułamka
kosinus początek ułamka, osiem PI, mianownik, dziewięć, koniec ułamka 1. równa się, 2. równa się, 3. mniejszy niż, 4. mniejszy niż, 5. równa się, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. większy niż, 9. równa się kosinus początek ułamka, PI, mianownik, dziewięć, koniec ułamka
kosinus początek ułamka, PI, mianownik, dziesięć, koniec ułamka 1. równa się, 2. równa się, 3. mniejszy niż, 4. mniejszy niż, 5. równa się, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. większy niż, 9. równa się kosinus nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, dziesięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu
tangens początek ułamka, PI, mianownik, jedenaście, koniec ułamka 1. równa się, 2. równa się, 3. mniejszy niż, 4. mniejszy niż, 5. równa się, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. większy niż, 9. równa się tangens początek ułamka, dwanaście PI, mianownik, jedenaście, koniec ułamka
tangens początek ułamka, PI, mianownik, jedenaście, koniec ułamka 1. równa się, 2. równa się, 3. mniejszy niż, 4. mniejszy niż, 5. równa się, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. większy niż, 9. równa się minus, tangens początek ułamka, dziewięć PI, mianownik, dziesięć, koniec ułamka
tangens początek ułamka, PI, mianownik, jedenaście, koniec ułamka 1. równa się, 2. równa się, 3. mniejszy niż, 4. mniejszy niż, 5. równa się, 6. większy niż, 7. mniejszy niż, 8. większy niż, 9. równa się minus, tangens nawias, minus, początek ułamka, PI, mianownik, jedenaście, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu

Ćwiczenie 6

Wykaż, że jeśli tylko $x \neq k \cdot \frac{π}{2}, k \in ℤ$ , to wyrażenie

$tg (π - x) \cdot \frac{- 2 \cos (π - x) + 3 \cos (2 π - x) + \sin (\frac{π}{2} - x)}{\sin (- x) + 2 \sin (π - x)}$

przyjmuje stałą wartość niezależnie od wartości $x$ .

Przekształcimy poszczególne wyrażenia trygonometryczne wchodzące w skład rozważanego wyrażenia.

Wzory redukcyjne:

$tg (π - x) = - tg x$ ,

$\cos (π - x) = - \cos x$ .

Z okresowości funkcji cosinus i parzystości funkcji cosinus: $\cos (2 π - x) = \cos (- x) = \cos x$ .

Z tożsamości trygonometrycznych:

$\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$ ,

$tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ .

Z nieparzystości funkcji sinus:

$\sin (- x) = - \sin x$ ,

$\sin (π - x) = \sin x$ .

Wobec powyższego mamy:

$tg (π - x) \cdot \frac{- 2 \cos (π - x) + 3 \cos (2 π - x) + \sin (\frac{π}{2} - x)}{\sin (- x) + 2 \sin (π - x)} =$

$= - tg x \cdot \frac{2 \cos x + 3 \cos x + \cos x}{- \sin x + 2 \sin x} =$

$= - \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{6 \cos x}{\sin x} = - 6$ ,

co kończy dowód.

Ćwiczenie 7

Aby przekształcić wyrażenie $\sin (\frac{π}{2} + x)$ , możemy postąpić następująco:

$\sin (\frac{π}{2} + x) = \sin (π - \frac{π}{2} + x) = \sin (π - (\frac{π}{2} - x))$ .

Na mocy wzoru redukcyjnego $\sin (π - α) = \sin α$ , gdzie $α = \frac{π}{2} - x$ , mamy:

$\sin (π - (\frac{π}{2} - x)) = \sin (\frac{π}{2} - x)$ .

Na mocy odpowiedniego wzoru redukcyjnego:

$\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$ .

Zatem mamy, że

$\sin (\frac{π}{2} + x) = \cos x$ .

Rozwiąż poniższy test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

Rhi6t2gg5AeLh

RZzChLsB7jLjO3

Ćwiczenie 8

R15OY4UOqu0yt3

Ćwiczenie 9

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Liczba kosinus sto sześćdziesiąt stopni jest równa:
minus, sinus siedemdziesiąt stopni minus, kosinus dwadzieścia stopni minus, sinus dwadzieścia stopni

Wiadomo, że kosinus trzydzieści pięć stopni, w przybliżeniu równe, zero przecinek osiem jeden dziewięć. Wówczas:
sinus trzydzieści pięć stopni, w przybliżeniu równe, zero przecinek pięć siedem cztery kosinus sto czterdzieści pięć stopni, w przybliżeniu równe, minus, zero przecinek osiem jeden dziewięć sinus sto czterdzieści pięć stopni, w przybliżeniu równe, zero przecinek pięć siedem cztery

Wskaż prawdziwą relację między podanymi liczbami.
sinus początek ułamka, PI, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka, większy niż, sinus początek ułamka, dziewiętnaście PI, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka sinus początek ułamka, PI, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka, mniejszy niż, sinus początek ułamka, dziewiętnaście PI, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka sinus początek ułamka, PI, mianownik, siedemnaście, koniec ułamka, równa się, sinus początek ułamka, dziewiętnaście PI, mianownik, dwadzieścia, koniec ułamka

Wskaż prawdziwą relację między podanymi liczbami.
sinus dwa, większy niż, kosinus dwa sinus dwa, mniejszy niż, kosinus dwa sinus dwa, równa się, kosinus dwa

Wyrażenie kosinus nawias, PI, minus, x, zamknięcie nawiasu, razy, sinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu jest dla każdej liczby x równe:
minus, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x minus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x minus, sinus x, razy, kosinus x

Wyrażenie kosinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, plus, x, zamknięcie nawiasu, razy, sinus nawias, początek ułamka, PI, mianownik, dwa, koniec ułamka, minus, x, zamknięcie nawiasu jest dla każdej liczby x równe:
minus, sinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x minus, kosinus indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, x minus, sinus x, razy, kosinus x

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela