Grafika pierwsza przedstawia Algorytm Euklidesa. Algorytm ten służy do obliczenia NWD, czyli największego wspólnego dzielnika dwóch liczb całkowitych. Pamiętaj, że największy wspólny dzielnik możesz też wyznaczyć, korzystając z rozkładów liczb $a$ i $b$ na czynniki pierwsze. Aby obliczyć $NWD(a,b)$, gdzie $a>b$ wykonujemy kolejno następujące kroki. Krok pierwszy: Dzielimy z resztą liczbę a przez liczbę b. Zapisujemy w postaci: $a=b\cdot n+r$. Następnie mamy dwie możliwości, pierwsza to jeśli $r=0$ to $NWD(a,b)=b$. Druga możliwość to jeśli r jest różne od zera, to przypisujemy liczbie a wartość liczby b, liczbie b wartość otrzymanej reszty, a następnie wykonujemy ponownie punkt 1 i powtarzamy schemat.

Grafika druga przedstawia przykład pierwszy. Treść przykładu brzmi: Rozwiąż równanie diofantyczne $600x-224y=120$. Najpierw obliczmy największy wspólny dzielnik liczb $600$ i $224$. Zrobimy to korzystając z algorytmu Eulkidesa. Krok pierwszy: Dzielimy z resztą liczbę $a$ przez liczbę $b$. Zapisujemy w postaci: < $a=b\cdot n+r$. W naszym przypadku równanie ma postać: $600=224\cdot 2+152$. Ponieważ $r\ne 0$, to przypisujemy liczbie $a$ wartość liczby $b$, liczbie $b$ wartość otrzymanej reszty, a następnie wykonujemy ponownie punkt 1. z algorytmu Euklidesa. Zatem otrzymujemy: $224=152\cdot 1+72$. Następnie zapisujemy: $152=72\cdot 2+8$ i ostatecznie otrzymujemy: $72=8\cdot 9+0$, zatem $NWD(600,224)=8$. Ponieważ $r=0$, to największy wspólny dzielnik liczb $600$ i $224$ jest równy $8$. A zatem $d=NWD\left(600,224\right)=8$. Równanie diofantyczne postaci $ax+by=c$, gdzie $a$, $b$ i $c$ to liczby całkowite, ma rozwiązania $\left(x,y\right)$, gdzie $x$ i $y$ są liczbami całkowitymi wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb $a$ i $b$ jest dzielnikiem liczby $c$. $d=8$ jest dzielnikiem $c=120$, więc równanie ma rozwiązanie.

Grafika trzecia pokazuje jak można znaleźć rozwiązanie $(x_0,y_0)$. Odwracamy algorytm Euklidesa: Z równania $152=72\cdot 2+8$ wyznaczamy $8$. Zapisujemy $8=152-72\cdot 2$. Z równania Z równania $224=152\cdot 1+72$wyznaczamy $72$ i podstawiamy do powyższego równania. wyznaczamy $72$ i podstawiamy do powyższego równania. Zatem zapisujemy: $8=152-2\cdot \left(224-152\cdot 1\right)$. Następnie opuszczamy nawias $8=152-2\cdot 224+2\cdot 152\cdot 1$ i upraszczamy zapis

Grafika czwarta. Otrzymaliśmy rozwiązanie $\left(x_0,y_0\right)=\left(45,120\right)$. Na podstawie poznanych wzorów możemy obliczyć inne przykładowe rozwiązania $(x,y)$, gdzie $x\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ i $y\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{ll}x=x_0+\frac{{\displaystyle b}}{{\displaystyle d}}\cdot t,& t\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}\\ \begin{array}{ll}y=y_0-\frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle d}}\cdot t,& t\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array}\end{array}\right.$. Korzystając z poznanego twierdzenia, wiemy że:
Jeśli para $\left(x_0, y_0\right)$ jest rozwiązaniem równania diofantycznego postaci $ax+by=c$, gdzie $a$, $b$ i $c$ są liczbami całkowitymi oraz jeśli $d$ jest największym wspólnym dzielnikiem licz $a$ i $b$, to każde rozwiązanie możemy obliczyć z podanego wzoru.

Grafika piąta. Przyjmijmy $t=-1$. Podstawiając do wzoru otrzymane wcześniej dane, otrzymujemy: $a=600$, $b=-224$, $d=8$, $x_0=45$, $y_0=120$. Wtedy $\left\{\begin{array}{l}x=45+\frac{{\displaystyle -224}}{{\displaystyle 8}}\cdot \left(-1\right)=73\\ y=120-\frac{{\displaystyle 600}}{{\displaystyle 8}}\cdot \left(-1\right)=195\end{array}\right.$. Sprawdźmy czy para $\left(73,195\right)$ spełnia równanie. $L=600\cdot 73-224\cdot 195=43800-43680=120=P$, czyli $L=P$. A zatem para $\left(73,195\right)$ jest rozwiązaniem równania diofantycznego $600x-224y=120$.

Grafika szósta. Przyjmijmy $t=1.\; Podstawiając\; do\; wzoru\; otrzymane\; wcześniej\; dane,\; otrzymujemy:$ a=600$,$ b=-224$,$ d=8$,$ x_0=45$,$ y_0=120$.\; Wtedy$ \left\{\begin{array}{l}x=45+\frac{{\displaystyle -224}}{{\displaystyle 8}}\cdot 1=17\\ y=120-\frac{{\displaystyle 600}}{{\displaystyle 8}}\cdot 1=45\end{array}\right.$.\; Sprawdźmy\; czy\; para$ \left(17,45\right)$spełnia\; równanie.$ L=600\cdot 17-224\cdot 45=10200-10080=120=P$czyli$ L=P$.\; A\; zatem\; para$ \left(17,45\right)$jest\; rozwiązaniem\; równania\; diofantycznego$ 600x-224y=120$.$