Przeczytaj

Przykład 1

Znajdziemy rozwiązania całkowite równania $x + y = 3$ .

Rozwiązanie

Wiemy już, że rozwiązaniami takiego równania są pary liczb $(x, y)$ , które spełniają to równanie.

W tym przykładzie wybieramy tylko takie pary, w których liczby $x$ oraz $y$ należą do zbioru liczb całkowitych.

Wypiszmy kilka przykładowych rozwiązań:

$x$	$y$	Rozwiązanie – para liczb całkowitych
$x = 0$	$y = 3$	$(0, 3)$
$x = 1$	$y = 2$	$(1, 2)$
$x = 2$	$y = 1$	$(2, 1)$
$x = 3$	$y = 0$	$(3, 0)$
$x = 4$	$y = - 1$	$(4, - 1)$
$x = 5$	$y = - 2$	$(5, - 2)$
$x = 6$	$y = - 3$	$(6, - 3)$

Widać, że istnieje nieskończenie wiele rozwiązań.

Równanie diofantyczne pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Definicja: Równanie diofantyczne pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Równaniem diofantycznym pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie postaci $a x + b y = c$ , gdzie: $a$ , $b$ i $c \in ℤ$ i szukane rozwiązania $(x, y)$ stanowią pary liczb całkowitych.

Przykład 2

Wyznaczymy rozwiązania całkowite równania $3 x + 2 y = 1$ .

Rozwiązanie

Rozwiązaniem, które daje się łatwo zauważyć jest $x = 1$ i $y = - 1$ .

Innymi rozwiązaniami tego równania są np. pary: $(- 1, 2)$ , $(3, - 4)$ , ale już nie tak łatwo to odgadnąć.

o rozwiązaniach równania diofantycznego

Twierdzenie: o rozwiązaniach równania diofantycznego

Równanie diofantyczne postaci $a x + b y = c$ , gdzie $a$ , $b$ i $c \in ℤ$ , ma rozwiązania $(x, y)$ , gdzie $x$ i $y$ są liczbami całkowitymi wtedy i tylko wtedy, gdy $N W D (a, b)$ jest dzielnikiem liczby $c$ .

Przykład 3

Spróbujemy wyznaczyć rozwiązanie całkowite równania $2 x + 4 y = 5$ .

Rozwiązanie

To równanie nie ma rozwiązań całkowitych.

Wykażemy to korzystając z twierdzenia o rozwiązaniach równania diofantycznego. W przykładzie:

$a = 2$

$b = 4$

$N W D (a, b) = N W D (2, 4) = 2$

$c = 5$

$2 ∤ 5$ (dwa nie dzieli pięciu)

Zatem $N W D (a, b)$ nie jest dzielnikiem $c$ , więc równanie diofantyczne $2 x + 4 y = 5$ nie ma rozwiązania (w zbiorze liczb całkowitych).

o parze liczb będącej rozwiązaniem równania diofantycznego

Twierdzenie: o parze liczb będącej rozwiązaniem równania diofantycznego

Jeśli para $(x_{0}, y_{0})$ jest rozwiązaniem równania diofantycznego postaci $a x + b y = c$ , gdzie $a$ , $b$ i $c \in ℤ$ i jeśli $d = N W D (a, b)$ , to każde rozwiązanie dane jest wzorem:

\{\begin{cases} x = x_{0} + \frac{b}{d} \cdot t, & t \in ℤ \\ y = y_{0} - \frac{a}{d} \cdot t, & t \in ℤ \end{cases}

Przykład 4

Rozwiążemy równanie diofantycznerównanie diofantyczne $10 x + 5 y = - 5$ .

Rozwiązanie

Sprawdzamy, czy równanie ma rozwiązanie.

Wyznaczamy współczynniki $a$ , $b$ i $c$ .

$a = 10$

$b = 5$

$c = - 5$

Obliczamy największy wspólny dzielnik współczynników $a$ i $b$ .

$N W D (a, b) = N W D (5, 10) = 5$

$5$ jest dzielnikiem $c = - 5$ , w więc zgodnie z powyższym twierdzeniem, istnieją rozwiązania tego równania.

Możemy łatwo zauważyć, że jednym z rozwiązań tego równania jest para liczb $(1, - 3)$ , aby znaleźć inne rozwiązania możemy skorzystać z twierdzenia.

Korzystając z twierdzenia o parze liczb będącej rozwiązaniem równania diofantycznego, jeśli przyjmiemy $x_{0} = 1$ i $y_{0} = - 3$ , otrzymujemy:

dla $t = 1$
$\{\begin{cases} x = 1 + \frac{5}{5} \cdot 1 = 1 + 1 = 2 \\ y = - 3 - \frac{10}{5} \cdot 1 = - 3 - 2 = - 5 \end{cases}$
Rozwiązaniem jest para $(2, - 5)$ .
Sprawdzamy: $L = 10 \cdot 2 + 5 \cdot (- 5) = 20 - 25 = - 5 = P$

dla $t = - 2$
$\{\begin{cases} x = 1 + \frac{5}{5} \cdot (- 2) = 1 - 2 = - 1 \\ y = - 3 - \frac{10}{5} \cdot (- 2) = - 3 + 4 = 1 \end{cases}$
Rozwiązaniem jest para $(- 1, 1)$ .
Sprawdzamy: $L = 10 \cdot (- 1) + 5 \cdot 1 = - 10 + 5 = - 5 = P$

Możesz w ten sposób znaleźć jeszcze inne rozwiązania. Jest ich, jak wiesz, nieskończenie wiele.

Przykład 5

A teraz sprawdzimy, czy udało się nam prawidłowo odczytać wiek Diofantosa.

Rozwiązanie

Oznaczmy:

czas życia Diofantosa – $x$
dzieciństwo – $\frac{1}{6} x$
okres młodości – $\frac{1}{12} x$
czas między wiekiem młodzieńczym, a ślubem – $\frac{1}{7} x$
oczekiwanie na syna – $5$
czas życia syna – $\frac{1}{2} x$
czas, jaki Diofantos żył po śmierci syna – $4$

Układamy równanie z jedną niewiadomą:

$\frac{1}{6} x + \frac{1}{12} x + \frac{1}{7} x + 5 + \frac{1}{2} x + 4 = x$

Rozwiązujemy je metodą równań równoważnych:

$\frac{2}{12} x + \frac{1}{12} x + \frac{1}{7} x + 5 + \frac{6}{12} x + 4 = x$

$\frac{1}{7} x + 9 + \frac{9}{12} x = x$

$x - \frac{12}{84} x - \frac{63}{84} x = 9$

$\frac{9}{84} x = 9 |\cdot \frac{84}{9}$

$x = 84$

A zatem:

Diofantos żył $84$ lata. A oto pozostałe informacje:

jego dzieciństwo to $14$ lat, lica pokwitły mu w wieku $21$ lat, a ożenił się, gdy miał $33$ lata.
gdy miał $38$ lat urodził mu się syn, który żył jedynie $42$ lata.

Słownik

równania diofantyczne pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

równania postaci $a x + b y = c$ , w którym współczynniki $a$ , $b$ , $c$ są liczbami całkowitymi oraz rozwiązania $(x, y)$ stanowią pary liczb całkowitych

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik