Ilustracja pierwsza. Wykażemy, że ciąg $\left(a_n\right)$ określony dla $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$ wzorem ogólnym $a_n=n\left(n-7\right)-8$ nie jest monotoniczny. Rozwiązanie. Zapisujemy wzór ciągu w prostszej postaci. $a_n=n^2-7n-8$

Ilustracja druga. Wyznaczamy wyraz $a_{n+1}$. Aby otrzymać wzór na ten wyraz, wystarczy podstawić pod $n$ wyraz $n+1$. $a_n={\left(n+1\right)}^2-7\left(n+1\right)-8$ Wymnażamy nawiasy. $a_n=n^2+2n+1-7n-7-8$ Upraszamy równanie poprzez zredukowanie wyrazów podobnych i otrzymujemy szukany wzór. $a_n=n^2-5n-14$

Ilustracja trzecia. Obliczamy różnicę pomiędzy kolejnymi wyrazami ciągu $\left(a_n\right)$. $a_{n+1}-a_n=n^2-5n-14-n^2+7n+8$ Upraszczamy wyrazy podobne, otrzymując różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu. $a_{n+1}-a_n=2n-6$

Ilustracja czwarta. Badamy znak różnicy między kolejnymi wyrazami ciągu. $a_{n+1}-a_n<0$ Podstawiamy różnicę do nierówności. $2n-6<0$ Zatem mamy $n<3$. Więc $n\in \left\{1;2\right\}$. Wniosek: różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest ujemna dla $n<3$., 2. {audio}Nierówność $a_{n+1}-a_n<0$ jest spełniona tylko dla $n=1$ i $n=2$. Zatem ciąg nie jest malejący dla $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$.

Ilustracja piąta. Różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest dodatnia dla $n>3$. Nasze kroki będą analogiczne jak poprzednio. $a_{n+1}-a_n>0$, więc $2n-6>0$. Stąd mamy $n>3$. Zatem zbiór rozwiązań jest w tym przypadku następujący: $n\in \left\{4;5;;...\right\}$. Nierówność $a_{n+1}-a_n>0$ jest spełniona dla $n>3$. Zatem ciąg nie jest rosnący dla $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}_{+}$. Wykazaliśmy więc, że ciąg $\left(a_n\right)$ nie jest monotoniczny.