Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Ciąg, podobnie jak każdą funkcję, nazywamy monotonicznym, jeżeli jest rosnący, malejący, stały, nierosnący albo niemalejący.

W przypadku takich ciągów,  z reguły łatwo zauważyć wyraźną zależność między wyrazami  ciągu.

Przykład 1

Wykres nieskończonego ciągu an zawarty jest w wykresie funkcji liniowej f przedstawionym na rysunku.

RGKfqFOMTG2tR

Na podstawie wykresu możemy odczytać kolejne wyrazy ciągu:

0, 2, 4, 6,

Wnioskujemy, że różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest stała i równa 2, czyli ciąg jest rosnący.

Aby to udowodnić, określimy najpierw wzór funkcji f. Wykres tej funkcji przechodzi przez punkty

A=1,0E=0,2. Zatem współrzędne każdego z tych punktów spełniają równanie

fx=ax+b

Rozwiązujemy układ równań

{0=a+b2=b

Stąd a=2b=-2.

Zatem fx=2x2.

Wynika z tego, że wzór ogólny ciągu ma postać an=2n2.

Obliczamy różnicę między kolejnymi wyrazami ciągu.

an+1an=2n+122n+2=2>0 - ciąg rosnący.

Zauważmy, że różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest równa współczynnikowi kierunkowemu prostej, w której zawarty jest wykres ciągu.

Przykład 2

Wykres nieskończonego ciągu an zawarty jest w wykresie funkcji liniowej f przedstawionym na rysunku.

R17UXaxA06wyR

Na podstawie wykresu możemy odczytać kolejne wyrazy ciągu:

3, 2, 1, 0, -1, -2,

Wnioskujemy, że różnica między kolejnymi wyrazami jest stała i równa -1, czyli ciąg jest malejący.

Aby to udowodnić, określimy najpierw wzór funkcji f. Wykres tej funkcji przechodzi przez punkty A=1,3B=4,0. Zatem współrzędne każdego z  tych punktów spełniają równanie

fx=ax+b

Rozwiązujemy układ równań

{3=a+b0=4a+b

Stąd a=1b=4.

Zatem fx=x+4.

Wynika z tego, że wzór ogólny ciągu ma postać an=-n+4.

Obliczamy różnicę między kolejnymi wyrazami ciągu.

an+1an=n+1+4+n4=1<0 – ciąg malejący.

Zauważmy, że różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest równa współczynnikowi kierunkowemu prostej, w której zawarty jest wykres ciągu.

Korzystając z rozważań zawartych w powyższych przykładach, możemy zapisać:

jeśli wykres ciągu an jest zawarty w wykresie funkcji liniowej fx=ax+b to dla a>0 ciąg jest rosnący, a dla a<0 ciąg jest malejący.

Podobny wniosek możemy zapisać, gdy znamy wzór ogólny ciągu.

monotoniczność ciągu an=an+b
Twierdzenie: monotoniczność ciągu an=an+b

Ciąg an określony wzorem ogólnym an=an+b jest dla każdej liczby rzeczywistej b

  • rosnący, gdy a>0

  • malejący, gdy a<0

  • stały, gdy a=0

Przykład 3

Rozważmy dwa ciągi. Ciąg an określony wzorem ogólnym an=1n+1 i ciąg bn określony wzorem ogólnym bn=1n+1.

Początkowe wyrazy ciągu an to: 12, 13, 14, 15,

Początkowe wyrazy ciągu bn to: 12, 13, 14, 15,

Ciąg an jest ciągiem malejącym, a ciąg bn jest ciągiem rosnącym i bn=an.

Wniosek

Jeżeli ciąg an jest ciągiem malejącym, to ciąg bn określony wzorem ogólnym bn=an jest ciągiem rosnącym.

Istotnie, jeśli ciąg an jest ciągiem malejącym, to an+1<an.

Mnożąc obie strony tej nierówności przez -1 otrzymujemy

an+1>an, czyli to bn+1>bn,

co oznacza, że ciąg bn jest ciągiem rosnącym.

Podobny wniosek można zapisać, gdy ciąg an jest ciągiem rosnącym.

Wniosek

Jeżeli ciąg an jest ciągiem rosnącym, to ciąg bn określony wzorem ogólnym bn=an jest ciągiem malejącym.

ciągi ściśle monotoniczne
Definicja: ciągi ściśle monotoniczne

Ciągi rosnące i malejące nazywamy ciągami ściśle monotonicznymi.

Ciągi monotonicznemonotoniczność ciąguCiągi monotoniczne, to nie tylko ciągi ściśle monotoniczne, ale też ciągi nierosnące i niemalejące.

Przykład 4

Uzasadnimy, że ciąg określony wzorem ogólnym an=n2 jest ciągiem niemalejącym.

Przypomnijmy, że x to część całkowita liczby x. Czyli największa liczba całkowita nie większa od x.

Na przykład:

5=5

713=7

Zatem jeśli n jest liczbą parzystą, to n2 jest liczbą całkowitą i n2=n2.

Jeśli liczba n jest liczbą nieparzystą, to n+12=n2+1.

Możemy więc zapisać, że jeśli n+k+ to

an+1an={0,n=2k1,n=2k1

Czyli dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest nierówność an+1an0, co dowodzi, że ciąg jest niemalejący.

Ciąg rosnący posiada wyraz najmniejszy. Czyli każdy wyraz takiego ciągu jest większy od pewnej liczby rzeczywistej. O takim ciągu mówimy, że jest ograniczony z dołu.

ciąg ograniczony z dołu
Definicja: ciąg ograniczony z dołu

Mówimy, że ciąg an jest ograniczony z dołu, jeżeli istnieje taka liczba rzeczywista m, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n spełniona jest nierówność anm.

Ciąg malejący posiada wyraz największy. Czyli każdy wyraz takiego ciągu jest mniejszy od pewnej liczby rzeczywistej. O takim ciągu mówimy, że jest ograniczony z góry.

ciąg ograniczony z góry
Definicja: ciąg ograniczony z góry

Mówimy, że ciąg an jest ograniczony z góry, jeżeli istnieje taka liczba rzeczywista M, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n spełniona jest nierówność anM.

ciąg ograniczony
Definicja: ciąg ograniczony

Ciąg an nazywamy ograniczonym, jeśli istnieją dwie takie liczby rzeczywiste mM, że dla każdej liczby naturalnej n+ spełniona jest nierówność:

manM

Liczby mM nazywamy odpowiednio ograniczeniem dolnym i górnym ciągu.

Przykład 5

Wykażemy, że ciąg an określony wzorem

{a1=3an+1=an+1nn+1,x1

jest ograniczony.

Wypisujemy kilka początkowych wyrazów ciągu.

3, 312, 323, 334, 345,

Możemy zapisać przypuszczalny wzór na n – ty wyraz ciągu

an=3+n1n=3+11n=41n.

Sprawdzamy swoje przypuszczenia.

a1=3

an+1an=41n+14+1n

an+1an=n+1nnn+1=1nn+1

an+1=an+1nn+1

Czyli znaleziony wzór jest poprawny.

R1ItSQpfVvLE3

Na podstawie powyższych rozważań zauważamy, że ciąg an jest ciągiem rosnącym. Najmniejszy wyraz tego ciągu to 3, a największy to 4. A zatem jest to ciąg ograniczony.

3an4

Liczba ograniczająca ten ciąg z góry to na przykład  4, a liczba ograniczająca ciąg z dołu to na przykład  3.

Słownik

monotoniczność ciągu
monotoniczność ciągu

ciąg an określony wzorem ogólnym an=an+b jest dla każdej liczby rzeczywistej b

  • rosnący, gdy a>0

  • malejący, gdy a<0

  • stały, gdy a=0