Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1Cso0qPnE38z1

Ćwiczenie 1

R1RbhJMbHMFTI1

Ćwiczenie 2

RnY3epywkfIa12

Ćwiczenie 3

RF4z6cAfDzsc22

Ćwiczenie 4

Wiadomo, że ciąg

(a_{n})

o wyrazach dodatnich jest ciągiem malejącym. Ciągi

(b_{n})

(c_{n})

(d_{n})

(e_{n})

(g_{n})

określone są podanymi wzorami. Przeciągnij wzory tych ciągów do odpowiednich pól. grupa 1 Możliwe odpowiedzi: 1. element 2 grupy 2, 2. element 3 grupy 1, 3. element 1 grupy 1, 4. element 4 grupy 1, 5. element 1 grupy 2, 6. element 3 grupy 2, 7. element 2 grupy 1 grupa 2 Możliwe odpowiedzi: 1. element 2 grupy 2, 2. element 3 grupy 1, 3. element 1 grupy 1, 4. element 4 grupy 1, 5. element 1 grupy 2, 6. element 3 grupy 2, 7. element 2 grupy 1

RPiylBjEoebnM2

Ćwiczenie 5

RO9Osr1dlIVpN2

Ćwiczenie 6

Każdy z ciągów

(a_{n})

(b_{n})

(c_{n})

określonych odpowiednio wzorem ogólnym

a_{n} = \frac{n}{n + 5}

b_{n} = 9

c_{n} = \frac{6}{n}

jest ciągiem ograniczonym.
Uzupełnij nierówności, wpisując odpowiednio: największą liczbę naturalną ograniczającą dany ciąg z dołu i najmniejszą liczbę naturalną ograniczającą dany ciąg z góry. Tu uzupełnij

\leq a_{n} \leq

Tu uzupełnij Tu uzupełnij

\leq b_{n} \leq

Tu uzupełnij Tu uzupełnij

\leq c_{n} \leq

Tu uzupełnij

Ćwiczenie 7

Wyznacz wszystkie nieujemne wyrazy ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem ogólnym

$a_{n} = \frac{(n - 1)! - n!}{(n - 1)! + n!}$

Przekształcamy wzór ciągu

$a_{n} = \frac{(n - 1)! - n!}{(n - 1)! + n!}$

$a_{n} = \frac{(n - 1)! (1 - n)}{(n - 1)! (1 + n)} = \frac{1 - n}{1 + n}$ .

Badamy monotoniczność ciągu

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{- n}{n + 2} - \frac{1 - n}{1 + n} = \frac{- n - n^{2} - (n + 2 - n^{2} - 2 n)}{(1 + n) (2 + n)}$

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{- 2}{(1 + n) (2 + n)} < 0$ – ciąg malejący.

Obliczamy kilka początkowych wyrazów ciągu.

$a_{1} = 0$

$a_{2} = - \frac{1}{3}$

$a_{3} = - \frac{2}{4}$

Ponieważ ciąg jest malejący, zatem największy wyraz ciągu to $0$ . Każdy następny wyraz ciągu jest ujemny. Zatem tylko jeden wyraz ciągu jest nieujemny i jest on równy $0$ .

Ćwiczenie 8

Znajdź najmniejszy wyraz ciągu $(a_{n})$ określonego wzorem ogólnym

$a_{n} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n (n + 1)}$ .

$a_{n} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n (n + 1)} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

$a_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$

Badamy monotoniczność ciągu.

$a_{n + 1} - a_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} - \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} > 0$ - ciąg rosnący.

Najmniejszym wyrazem ciągu jest więc pierwszy wyraz ciągu.

$a_{1} = 0, 5$

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela